数学クラブ

月日（）

● 次の問に答えなさい [1Z4-00]

(1) 次の図のように２直線があり，それぞれ

-5

(1)

(2)


y	=	2	x	＋	1


y	=	−	x	−	2

です．点Pは２直線の交点．点A，Bは，x軸と２直線のそれぞれの交点です．△PABがx軸を軸として１回転させた時の立体の体積を求めなさい．

月日（）

【解答例】

(1) 次の図のように２直線があり，それぞれ

-5

(1)

(2)


y	=	2	x	＋	1


y	=	−	x	−	2

です．点Pは２直線の交点．点A，Bは，x軸と２直線のそれぞれの交点です．△PABがx軸を軸として１回転させた時の立体の体積を求めなさい．

						・・・(1)
−2	x	＋	y	=	1

					・・・(2)
x	＋	y	=	−2

交点Pを求める
式(1)-式(2)


		−3	x


		=	3


		x

		・・・(3)
=	−1

式(1)に式(3)を代入する


−2	×	(	−1	)	＋	y


		=	1


		y


		=	−1


(	x	，	y	)


=	(	−1	，	−1	)

点Aの x座標を求める


		0


=	2	x	＋	1


		x

		1
=	−
		2

点Bの x座標を求める


		0


=	−	x	−	2


		x


		=	−2

点Aを頂点とし点Pを含む円を底面とする円錐Aと，点Bを頂点とし点Pを含む円を底面とする円錐Bに分けて体積を考える．

円錐Aと円錐Bの共通の底面の面積Spを求める．底面円の半径は，点Pのy座標より，


		Sp


		=	π

円錐Aの高さh_Aを求める．点Aと点Pのx座標より，

			1						1
h_A	=	−		−	(	−1	)	=
			2						2

同様に円錐Bの高さh_Bを求める．点Bと点Pのx座標より，


h_B	=	−1	−	(	−2	)	=	1

回転体の体積Vは，円錐Aの体積と円錐Bの体積の和だから．


		V

	1				1
=		Sp	h_A	＋		Sp	h_B
	3				3

	1
=		Sp	(	h_A	＋	h_B	)
	3

	1					1
=		×	π	×	(		＋	1	)
	3					2

	1
=		π
	2

(1)
1
π
2