図形の性質と証明
定期試験対策テスト 時間 60分 1/14 ページ
点
1
次の空欄に適する語を書きなさい．
1
1点×6
| 空欄に記入 |
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び，記号≡を使って表しなさい．また，合同条件を書きなさい． [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
6cm A B 11cm C | 9cm 65° D E F | 6cm 60° G H I |
9cm 65° J K L | 6cm 60° M N O | 6cm P Q 11cm R |
| (1) | |
| (2) | |
| (3) |
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定期試験対策テスト 2/14 ページ
3
次のことがらについて，逆を答えなさい．また，それが正しい場合には○，間違っている場合には×を（ ）に書きなさい．逆が間違っている場合に反例を書きなさい． [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) a＝b ならば a＋c＝b＋c である．
(2) △ABC≡△DEF ならば ∠C＝∠F である．
(3) 整数a，bについて，aとbが奇数 ならば a＋bは偶数 である．
| (1) | 逆： ( ) 反例： |
| (2) | 逆： ( ) 反例： |
| (3) | 逆： ( ) 反例： |
4
次の空欄に適する語を書きなさい．
4
1点×4
▱ABCDについて，∠A＝∠D，AB＝BCのとき，この四角形は| 空欄に記入 |
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5
次の問に答えなさい． [2i1-z0]
5
7点 部分点可
次の図で，∠A＝∠Cならば，BA＝BCであることを証明しなさい．
A
B
C
D
| 空欄に記入 |
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6
次の問に答えなさい． [2i2-z0]
6
7点 部分点可
二等辺三角形ABCの底角∠B，∠Cの二等分線の交点をDとするとき，DB＝DCであることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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7
次の問に答えなさい． [2K0-z1]
7
1点×4
次の図で，AB＝BC＝CAならば，∠A＝∠B＝∠Cであることを証明しなさい．
△ABCで，仮定より
AB＝BC ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
∠A＝ ---②
また，仮定より
AB＝CA ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする なので
∠B＝ ---④
② ④ から，
∠A＝∠B＝
A
B
C
△ABCで，仮定より
AB＝BC ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
∠A＝ ---②
また，仮定より
AB＝CA ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする なので
∠B＝ ---④
② ④ から，
∠A＝∠B＝
| 余白に記入 |
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8
次の問に答えなさい． [2K2-z0]
8
7点 部分点可
正三角形ABCの辺BC，CA上にそれぞれ点D，Eがあります．BD＝CEであるとき，∠BAD＝∠CBEになることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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9
次の問に答えなさい． [2L2-z1]
9
1点×5
次の図で，AB＝BC，∠ADB＝∠CDB＝90°ならば，△ABD≡△CBDを証明しなさい．
△ABDと△CBDで
仮定より
AB＝ ---①
∠ADB＝ ＝90° ---②
また，BDは共通だから
BD＝ ---③
①②③ から， ので
△ABD≡
A
B
C
D
△ABDと△CBDで
仮定より
AB＝ ---①
∠ADB＝ ＝90° ---②
また，BDは共通だから
BD＝ ---③
①②③ から， ので
△ABD≡
| 余白に記入 |
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10
次の問に答えなさい． [2L4-z0]
10
7点 部分点可
正方形ABCDの辺BC，CD上に，AE＝BFとなる点E，Fがあります．このとき，BE＝CFであることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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定期試験対策テスト 9/14 ページ
11
次の問に答えなさい． [2M1-z0]
11
7点 部分点可
次の図で，AB//DC，AD//BCならば，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠Dを証明しなさい．
A
B
C
D
| 余白に記入 |
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12
次の問に答えなさい． [2M3-z0]
12
7点 部分点可
次の図で，△ABC≡△EDF，AC//EFならば，四角形BHDGは平行四辺形であることを証明しなさい．
A
B
C
D
E
F
G
H
| 余白に記入 |
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13
次の問に答えなさい． [2N1-z0]
13
7点 部分点可
次の▱ABCDについて，AC＝BDであるとき▱ABCDが長方形となることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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14
次の問に答えなさい． [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で，PQ//ABであるとき，△PAB＝△QABとなることを証明しなさい．
PQ//ABなので
PH＝
△PABと で
底辺 は共通で，高さが等しいから は等しい．
よって
△PAB＝△QAB
PQ//ABなので
PH＝
△PABと で
底辺 は共通で，高さが等しいから は等しい．
よって
△PAB＝△QAB
| 余白に記入 |
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定期試験対策テスト 13/14 ページ
15
次の問に答えなさい． [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で，AD//BCであるとき，△ABO＝△DOCとなることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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定期試験対策テスト 14/14 ページ
16
次の問に答えなさい． [2P2-z0]
16
完答 6点
四角形ABCDは平行四辺形です．EF//ACのとき，△AFDと面積が等しい三角形をすべて見つけなさい．
17
次の問に答えなさい． [2P1-z0]
17
6点
四角形ABCDで，辺ABをBの方向に延長した直線上に点Eをとり，△AEDの面積が，四角形ABCDの面積と等しくなるように，点Eの位置を求めて△AEDを三角定規を使って描きなさい．
A
B
C
D
| 図に記入 |
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【解答例】
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1
次の空欄に適する語を書きなさい．
1
1点×6
| 空欄に記入 |
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び，記号≡を使って表しなさい．また，合同条件を書きなさい． [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
6cm A B 11cm C | 9cm 65° D E F | 6cm 60° G H I |
9cm 65° J K L | 6cm 60° M N O | 6cm P Q 11cm R |
| (1) | △DEF≡△JKL １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい |
| (2) | △ABC≡△PQR 直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい |
| (3) | △GHI≡△MNO 直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい． |
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【解答例】
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3
次のことがらについて，逆を答えなさい．また，それが正しい場合には○，間違っている場合には×を（ ）に書きなさい．逆が間違っている場合に反例を書きなさい． [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) a＝b ならば a＋c＝b＋c である．
(2) △ABC≡△DEF ならば ∠C＝∠F である．
(3) 整数a，bについて，aとbが奇数 ならば a＋bは偶数 である．
| (1) | 逆：a＋c＝b＋c ならば a＝b である． （○） 反例： |
| (2) | 逆：∠C＝∠F ならば △ABC≡△DEF である． （×） 反例：AB≠DEの場合 |
| (3) | 逆：整数a，bについて，a＋bが偶数 ならば aとbは奇数 である． （×） 反例：a＝2，b＝4の場合 |
4
次の空欄に適する語を書きなさい．
4
1点×4
| 空欄に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 3/14 ページ
5
次の問に答えなさい． [2i1-z0]
5
7点 部分点可
次の図で，∠A＝∠Cならば，BA＝BCであることを証明しなさい．
∠Bの二等分線をひきACとの交点を点Dとおく
△ABDと△CBDで
仮定より，
∠A＝∠C ---①
BDは∠Bの二等分線だから
∠ABD＝∠CBD ---②
三角形の内角の和は180°なので
∠A＋∠ABD＋∠BDA＝180° ---③
∠C＋∠CBD＋∠BDC＝180° ---④
① ② ③ ④ から，
∠BDA＝∠BDC ---⑤
また，BDは共通だから
BD＝BD ---⑥
② ⑤ ⑥ から， １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい ので
△ABD≡△CBD
合同な図形では 対応する辺の大きさは等しいので
BA＝BC
A
B
C
D
∠Bの二等分線をひきACとの交点を点Dとおく
△ABDと△CBDで
仮定より，
∠A＝∠C ---①
BDは∠Bの二等分線だから
∠ABD＝∠CBD ---②
三角形の内角の和は180°なので
∠A＋∠ABD＋∠BDA＝180° ---③
∠C＋∠CBD＋∠BDC＝180° ---④
① ② ③ ④ から，
∠BDA＝∠BDC ---⑤
また，BDは共通だから
BD＝BD ---⑥
② ⑤ ⑥ から， １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい ので
△ABD≡△CBD
合同な図形では 対応する辺の大きさは等しいので
BA＝BC
| 空欄に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 4/14 ページ
6
次の問に答えなさい． [2i2-z0]
6
7点 部分点可
二等辺三角形ABCの底角∠B，∠Cの二等分線の交点をDとするとき，DB＝DCであることを証明しなさい．
仮定より
二等辺三角形の２つの底角は等しいので
∠ABC＝∠ACB ---③
①②③より
∠DBC＝∠DCB
２つの角が等しい三角形は二等辺三角形であるから
DB＝DC
仮定より
| 1 | ---① | |||||
| ∠DBC | = | ∠ABC | ||||
| 2 | ||||||
| 1 | ---② | |||||
| ∠DCB | = | ∠ACB | ||||
| 2 | ||||||
∠ABC＝∠ACB ---③
①②③より
∠DBC＝∠DCB
２つの角が等しい三角形は二等辺三角形であるから
DB＝DC
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 5/14 ページ
7
次の問に答えなさい． [2K0-z1]
7
1点×4
次の図で，AB＝BC＝CAならば，∠A＝∠B＝∠Cであることを証明しなさい．
△ABCで，仮定より
AB＝BC ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
∠A＝ ∠C ---②
また，仮定より
AB＝CA ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする 二等辺三角形 なので
∠B＝ ∠C ---④
② ④ から，
∠A＝∠B＝ ∠C
A
B
C
△ABCで，仮定より
AB＝BC ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
∠A＝ ∠C ---②
また，仮定より
AB＝CA ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする 二等辺三角形 なので
∠B＝ ∠C ---④
② ④ から，
∠A＝∠B＝ ∠C
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 6/14 ページ
8
次の問に答えなさい． [2K2-z0]
8
7点 部分点可
正三角形ABCの辺BC，CA上にそれぞれ点D，Eがあります．BD＝CEであるとき，∠BAD＝∠CBEになることを証明しなさい．
△ABDと△BCEで
仮定より
BD＝CE ---①
△ABCは正三角形だから，
AB＝BC ---②
∠ABD＝∠BCE＝60° ---③
①②③より，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABD≡△BCE
合同な図形では，対応する角は等しいので
∠BAD＝∠CBE
△ABDと△BCEで
仮定より
BD＝CE ---①
△ABCは正三角形だから，
AB＝BC ---②
∠ABD＝∠BCE＝60° ---③
①②③より，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABD≡△BCE
合同な図形では，対応する角は等しいので
∠BAD＝∠CBE
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 7/14 ページ
9
次の問に答えなさい． [2L2-z1]
9
1点×5
次の図で，AB＝BC，∠ADB＝∠CDB＝90°ならば，△ABD≡△CBDを証明しなさい．
△ABDと△CBDで
仮定より
AB＝ CB ---①
∠ADB＝ ∠CDB ＝90° ---②
また，BDは共通だから
BD＝ BD ---③
①②③ から， 直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい ので
△ABD≡ △CBD
A
B
C
D
△ABDと△CBDで
仮定より
AB＝ CB ---①
∠ADB＝ ∠CDB ＝90° ---②
また，BDは共通だから
BD＝ BD ---③
①②③ から， 直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい ので
△ABD≡ △CBD
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 8/14 ページ
10
次の問に答えなさい． [2L4-z0]
10
7点 部分点可
正方形ABCDの辺BC，CD上に，AE＝BFとなる点E，Fがあります．このとき，BE＝CFであることを証明しなさい．
△ABEと△BCFで
仮定より
AE＝BF ---①
四角形ABCDは正方形なので
AB＝BC ---②
∠ABE＝∠BCF＝90° ---③
①②③より，直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので
△ABE≡△BCF
合同な図形では，対応する辺は等しいので
BE＝CF
△ABEと△BCFで
仮定より
AE＝BF ---①
四角形ABCDは正方形なので
AB＝BC ---②
∠ABE＝∠BCF＝90° ---③
①②③より，直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので
△ABE≡△BCF
合同な図形では，対応する辺は等しいので
BE＝CF
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 9/14 ページ
11
次の問に答えなさい． [2M1-z0]
11
7点 部分点可
次の図で，AB//DC，AD//BCならば，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠Dを証明しなさい．
△ABCと△CDAで
平行線の錯角は等しいので
AB//DCから∠BAC＝∠DCA ---①
AD//BCから∠DAC＝∠BCA ---②
また，ACは共通だから
AC＝CA ---③
①②③ から，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABC≡△CDA
合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
∠B＝∠D
また，
∠BAD＝∠BAC＋∠DAC ---④
∠DCB＝∠DCA＋∠BCA ---⑤
① ② ④ ⑤ から，∠BAD＝∠DCB
A
B
C
D
△ABCと△CDAで
平行線の錯角は等しいので
AB//DCから∠BAC＝∠DCA ---①
AD//BCから∠DAC＝∠BCA ---②
また，ACは共通だから
AC＝CA ---③
①②③ から，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABC≡△CDA
合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
∠B＝∠D
また，
∠BAD＝∠BAC＋∠DAC ---④
∠DCB＝∠DCA＋∠BCA ---⑤
① ② ④ ⑤ から，∠BAD＝∠DCB
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 10/14 ページ
12
次の問に答えなさい． [2M3-z0]
12
7点 部分点可
次の図で，△ABC≡△EDF，AC//EFならば，四角形BHDGは平行四辺形であることを証明しなさい．AC//EFより，錯角は等しいので
∠A＝∠FBG ---①
∠F＝∠GDA ---②
△ABC≡△EDFより，合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
∠E＝∠A ---③
∠F＝∠C ---④
① ③ から，∠E＝∠FBG ---⑤
② ④ から，∠C＝∠GDA ---⑥
同位角の等しい２直線は 平行なので
⑤ から，DH//GB ---⑦
⑥ から，BH//GD ---⑧
⑦ ⑧ から，2組の向かい合う辺がそれぞれ平行なので，四角形BHDGは 平行四辺形である．
A
B
C
D
E
F
G
H
∠A＝∠FBG ---①
∠F＝∠GDA ---②
△ABC≡△EDFより，合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
∠E＝∠A ---③
∠F＝∠C ---④
① ③ から，∠E＝∠FBG ---⑤
② ④ から，∠C＝∠GDA ---⑥
同位角の等しい２直線は 平行なので
⑤ から，DH//GB ---⑦
⑥ から，BH//GD ---⑧
⑦ ⑧ から，2組の向かい合う辺がそれぞれ平行なので，四角形BHDGは 平行四辺形である．
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 11/14 ページ
13
次の問に答えなさい． [2N1-z0]
13
7点 部分点可
次の▱ABCDについて，AC＝BDであるとき▱ABCDが長方形となることを証明しなさい．
△ABCと△DCBで
仮定より，
AC＝DB ---①
BCは，共通だから
BC＝CB ---②
平行四辺形の向かい合う辺は等しいので
AB＝DC ---③
① ② ③ から，３組の辺がそれぞれ等しいので
△ABC≡△DCB
合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
∠ABC＝∠DCB ---④
平行四辺形の向かい合う角は等しいから，④より，４つの角はすべて等しくなる．したがって，四角形ABCDは長方形である．
△ABCと△DCBで
仮定より，
AC＝DB ---①
BCは，共通だから
BC＝CB ---②
平行四辺形の向かい合う辺は等しいので
AB＝DC ---③
① ② ③ から，３組の辺がそれぞれ等しいので
△ABC≡△DCB
合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
∠ABC＝∠DCB ---④
平行四辺形の向かい合う角は等しいから，④より，４つの角はすべて等しくなる．したがって，四角形ABCDは長方形である．
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 12/14 ページ
14
次の問に答えなさい． [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で，PQ//ABであるとき，△PAB＝△QABとなることを証明しなさい．
PQ//ABなので
PH＝ QK
△PABと △QAB で
底辺 AB は共通で，高さが等しいから 面積 は等しい．
よって
△PAB＝△QAB
PQ//ABなので
PH＝ QK
△PABと △QAB で
底辺 AB は共通で，高さが等しいから 面積 は等しい．
よって
△PAB＝△QAB
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 13/14 ページ
15
次の問に答えなさい． [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で，AD//BCであるとき，△ABO＝△DOCとなることを証明しなさい．
△ABCは，△ABOと△OBCに分けられるので
△ABC＝△ABO＋△OBC ---①
△DBCは，△DOCと△OBCに分けられるので
△DBC＝△DOC＋△OBC ---②
AD//BCなので
△ABC＝△DBC ---③
①②③より
△ABO＝△DOC
△ABCは，△ABOと△OBCに分けられるので
△ABC＝△ABO＋△OBC ---①
△DBCは，△DOCと△OBCに分けられるので
△DBC＝△DOC＋△OBC ---②
AD//BCなので
△ABC＝△DBC ---③
①②③より
△ABO＝△DOC
| 余白に記入 |
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