図形の性質と証明
定期試験対策テスト 時間 60分 1/14 ページ
点
1
次の空欄に適する語を書きなさい．
1
1点×6
| 空欄に記入 |
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び，記号≡を使って表しなさい．また，合同条件を書きなさい． [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
7cm 50° A B C | 4cm 45° D E F | 7cm 50° G H I |
6cm J K 10cm L | 4cm 45° M N O | 6cm P Q 10cm R |
| (1) | |
| (2) | |
| (3) |
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定期試験対策テスト 2/14 ページ
3
次のことがらについて，逆を答えなさい．また，それが正しい場合には○，間違っている場合には×を（ ）に書きなさい．逆が間違っている場合に反例を書きなさい． [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) △ABCについて ∠A＋∠B＝90°ならば ∠C＝90°である．
(2) 関数 y＝3x−1 において x＝1 ならば y＝2 である．
(3) x＜y ならば x−6＜y−6 である．
| (1) | 逆： ( ) 反例： |
| (2) | 逆： ( ) 反例： |
| (3) | 逆： ( ) 反例： |
4
次の空欄に適する語を書きなさい．
4
1点×4
▱ABCDについて，AC＝BD，AC⊥BDのとき，この四角形は
▱ABCDについて，AB＝ADのとき，この四角形は| 空欄に記入 |
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5
次の問に答えなさい． [2i0-z0]
5
7点 部分点可
次の図で，AB＝CBならば，∠A＝∠Cであることを証明しなさい．
A
B
C
D
| 空欄に記入 |
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6
次の問に答えなさい． [2i2-z0]
6
7点 部分点可
二等辺三角形ABCの底角∠B，∠Cの二等分線の交点をDとするとき，DB＝DCであることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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7
次の問に答えなさい． [2K0-z1]
7
1点×4
次の図で，AB＝BC＝CAならば，∠A＝∠B＝∠Cであることを証明しなさい．
△ABCで，仮定より
AB＝BC ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
∠A＝ ---②
また，仮定より
AB＝CA ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする なので
∠B＝ ---④
② ④ から，
∠A＝∠B＝
A
B
C
△ABCで，仮定より
AB＝BC ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
∠A＝ ---②
また，仮定より
AB＝CA ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする なので
∠B＝ ---④
② ④ から，
∠A＝∠B＝
| 余白に記入 |
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8
次の問に答えなさい． [2K2-z0]
8
7点 部分点可
次の図で，△ABCは正三角形です．辺AB，BC，CA上に，AD＝BE＝CFとなるような点D，E，Fをとります．このとき，△DEFが正三角形になることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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9
次の問に答えなさい． [2L2-z1]
9
1点×5
次の図で，AB＝BC，∠ADB＝∠CDB＝90°ならば，△ABD≡△CBDを証明しなさい．
△ABDと△CBDで
仮定より
AB＝ ---①
∠ADB＝ ＝90° ---②
また，BDは共通だから
BD＝ ---③
①②③ から， ので
△ABD≡
A
B
C
D
△ABDと△CBDで
仮定より
AB＝ ---①
∠ADB＝ ＝90° ---②
また，BDは共通だから
BD＝ ---③
①②③ から， ので
△ABD≡
| 余白に記入 |
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10
次の問に答えなさい． [2L4-z0]
10
7点 部分点可
正方形ABCDの辺BC，CD上に，AE＝BFとなる点E，Fがあります．このとき，BE＝CFであることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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11
次の問に答えなさい． [2M2-z0]
11
7点 部分点可
平行四辺形ABCDで，対角線の交点をOとして，AO＝CO，BO＝DOを証明しなさい．
A
B
C
D
O
| 余白に記入 |
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12
次の問に答えなさい． [2M3-z0]
12
7点 部分点可
次の図の平行四辺形ABCDで，辺BC，辺AD上の点をそれぞれM，Nとする．BM＝DNならば，四角形AMCNは平行四辺形であることを証明しなさい．
A
B
C
D
M
N
| 余白に記入 |
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13
次の問に答えなさい． [2N1-z0]
13
7点 部分点可
次の長方形ABCDについてAC＝BDとなることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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14
次の問に答えなさい． [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で，△PAB＝△QABであるとき，PQ//ABとなることを証明しなさい．
仮定より，
△PAB＝
を共通な底辺とみると，高さは等しいので
PH＝
よって
仮定より，
△PAB＝
を共通な底辺とみると，高さは等しいので
PH＝
よって
| 余白に記入 |
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定期試験対策テスト 13/14 ページ
15
次の問に答えなさい． [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で，DE//BCであるとき，△ABE＝△ACDとなることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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定期試験対策テスト 14/14 ページ
16
次の問に答えなさい． [2P2-z0]
16
完答 6点
四角形ABCDは平行四辺形です．EF//BDのとき，△ABEと面積が等しい三角形をすべて見つけなさい．
17
次の問に答えなさい． [2P1-z0]
17
6点
四角形ABCDで，辺ABをAの方向に延長した直線上に点Eをとり，△BCEの面積が，四角形ABCDの面積と等しくなるように，点Eの位置を求めて△BCEを三角定規を使って描きなさい．
A
B
C
D
| 図に記入 |
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【解答例】
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1
次の空欄に適する語を書きなさい．
1
1点×6
| 空欄に記入 |
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び，記号≡を使って表しなさい．また，合同条件を書きなさい． [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
7cm 50° A B C | 4cm 45° D E F | 7cm 50° G H I |
6cm J K 10cm L | 4cm 45° M N O | 6cm P Q 10cm R |
| (1) | △DEF≡△MNO １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい |
| (2) | △JKL≡△PQR 直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい |
| (3) | △ABC≡△GHI 直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい． |
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【解答例】
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3
次のことがらについて，逆を答えなさい．また，それが正しい場合には○，間違っている場合には×を（ ）に書きなさい．逆が間違っている場合に反例を書きなさい． [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) △ABCについて ∠A＋∠B＝90°ならば ∠C＝90°である．
(2) 関数 y＝3x−1 において x＝1 ならば y＝2 である．
(3) x＜y ならば x−6＜y−6 である．
| (1) | 逆：△ABCについて ∠C＝90°ならば ∠A＋∠B＝90°である． （○） 反例： |
| (2) | 逆：関数 y＝3x−1 において y＝2 ならば x＝1 である． （○） 反例： |
| (3) | 逆：x−6＜y−6 ならば x＜y である． （○） 反例： |
4
次の空欄に適する語を書きなさい．
4
1点×4
| 空欄に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 3/14 ページ
5
次の問に答えなさい． [2i0-z0]
5
7点 部分点可
次の図で，AB＝CBならば，∠A＝∠Cであることを証明しなさい．
ACの中点を点Dとおく
△ABDと△CBDで
点DはACの中点なので
AD＝CD ---①
仮定より，
AB＝CB ---②
また，BDは共通だから
BD＝BD ---③
① ② ③ から， ３組の辺がそれぞれ等しい ので
△ABD≡△CBD
合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
∠A＝∠C
A
B
C
D
ACの中点を点Dとおく
△ABDと△CBDで
点DはACの中点なので
AD＝CD ---①
仮定より，
AB＝CB ---②
また，BDは共通だから
BD＝BD ---③
① ② ③ から， ３組の辺がそれぞれ等しい ので
△ABD≡△CBD
合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
∠A＝∠C
| 空欄に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 4/14 ページ
6
次の問に答えなさい． [2i2-z0]
6
7点 部分点可
二等辺三角形ABCの底角∠B，∠Cの二等分線の交点をDとするとき，DB＝DCであることを証明しなさい．
仮定より
二等辺三角形の２つの底角は等しいので
∠ABC＝∠ACB ---③
①②③より
∠DBC＝∠DCB
２つの角が等しい三角形は二等辺三角形であるから
DB＝DC
仮定より
| 1 | ---① | |||||
| ∠DBC | = | ∠ABC | ||||
| 2 | ||||||
| 1 | ---② | |||||
| ∠DCB | = | ∠ACB | ||||
| 2 | ||||||
∠ABC＝∠ACB ---③
①②③より
∠DBC＝∠DCB
２つの角が等しい三角形は二等辺三角形であるから
DB＝DC
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 5/14 ページ
7
次の問に答えなさい． [2K0-z1]
7
1点×4
次の図で，AB＝BC＝CAならば，∠A＝∠B＝∠Cであることを証明しなさい．
△ABCで，仮定より
AB＝BC ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
∠A＝ ∠C ---②
また，仮定より
AB＝CA ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする 二等辺三角形 なので
∠B＝ ∠C ---④
② ④ から，
∠A＝∠B＝ ∠C
A
B
C
△ABCで，仮定より
AB＝BC ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
∠A＝ ∠C ---②
また，仮定より
AB＝CA ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする 二等辺三角形 なので
∠B＝ ∠C ---④
② ④ から，
∠A＝∠B＝ ∠C
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 6/14 ページ
8
次の問に答えなさい． [2K2-z0]
8
7点 部分点可
次の図で，△ABCは正三角形です．辺AB，BC，CA上に，AD＝BE＝CFとなるような点D，E，Fをとります．このとき，△DEFが正三角形になることを証明しなさい．
△ADFと△BEDと△CFEで
仮定より
AB＝BC＝CA ---①
AD＝BE＝CF ---②
∠FAD＝∠DBE＝∠ECF＝60° ---③
①②より
AF＝BD＝CE ---④
②③④より，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ADF≡△BED≡△CFE
したがって，
FD＝DE＝EF
３つの辺の長さが等しいので，△DEFは正三角形である．
△ADFと△BEDと△CFEで
仮定より
AB＝BC＝CA ---①
AD＝BE＝CF ---②
∠FAD＝∠DBE＝∠ECF＝60° ---③
①②より
AF＝BD＝CE ---④
②③④より，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ADF≡△BED≡△CFE
したがって，
FD＝DE＝EF
３つの辺の長さが等しいので，△DEFは正三角形である．
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 7/14 ページ
9
次の問に答えなさい． [2L2-z1]
9
1点×5
次の図で，AB＝BC，∠ADB＝∠CDB＝90°ならば，△ABD≡△CBDを証明しなさい．
△ABDと△CBDで
仮定より
AB＝ CB ---①
∠ADB＝ ∠CDB ＝90° ---②
また，BDは共通だから
BD＝ BD ---③
①②③ から， 直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい ので
△ABD≡ △CBD
A
B
C
D
△ABDと△CBDで
仮定より
AB＝ CB ---①
∠ADB＝ ∠CDB ＝90° ---②
また，BDは共通だから
BD＝ BD ---③
①②③ から， 直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい ので
△ABD≡ △CBD
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 8/14 ページ
10
次の問に答えなさい． [2L4-z0]
10
7点 部分点可
正方形ABCDの辺BC，CD上に，AE＝BFとなる点E，Fがあります．このとき，BE＝CFであることを証明しなさい．
△ABEと△BCFで
仮定より
AE＝BF ---①
四角形ABCDは正方形なので
AB＝BC ---②
∠ABE＝∠BCF＝90° ---③
①②③より，直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので
△ABE≡△BCF
合同な図形では，対応する辺は等しいので
BE＝CF
△ABEと△BCFで
仮定より
AE＝BF ---①
四角形ABCDは正方形なので
AB＝BC ---②
∠ABE＝∠BCF＝90° ---③
①②③より，直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので
△ABE≡△BCF
合同な図形では，対応する辺は等しいので
BE＝CF
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 9/14 ページ
11
次の問に答えなさい． [2M2-z0]
11
7点 部分点可
平行四辺形ABCDで，対角線の交点をOとして，AO＝CO，BO＝DOを証明しなさい．
平行線の錯角は等しいので，AD//BCより
∠OAD＝∠OCB ---①
∠ODA＝∠OBC ---②
平行四辺形の，向かいあう辺は等しいので
AD＝CB ---③
①②③ から，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△OAD≡△OCB
合同な図形では 対応する辺の大きさは等しいので
AO＝CO，BO＝DO
A
B
C
D
O
平行線の錯角は等しいので，AD//BCより
∠OAD＝∠OCB ---①
∠ODA＝∠OBC ---②
平行四辺形の，向かいあう辺は等しいので
AD＝CB ---③
①②③ から，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△OAD≡△OCB
合同な図形では 対応する辺の大きさは等しいので
AO＝CO，BO＝DO
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 10/14 ページ
12
次の問に答えなさい． [2M3-z0]
12
7点 部分点可
次の図の平行四辺形ABCDで，辺BC，辺AD上の点をそれぞれM，Nとする．BM＝DNならば，四角形AMCNは平行四辺形であることを証明しなさい．仮定より，BM＝DN ---①
平行四辺形の向かい合う辺は等しいので
BC＝AD ---②
① ② から，
CM＝NA ---③
また，平行四辺形の向かい合う辺は平行だから
CM//NA ---④
③ ④ から，
１組の向かい合う辺が等しく平行な四角形は平行四辺形である
A
B
C
D
M
N
平行四辺形の向かい合う辺は等しいので
BC＝AD ---②
① ② から，
CM＝NA ---③
また，平行四辺形の向かい合う辺は平行だから
CM//NA ---④
③ ④ から，
１組の向かい合う辺が等しく平行な四角形は平行四辺形である
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 11/14 ページ
13
次の問に答えなさい． [2N1-z0]
13
7点 部分点可
次の長方形ABCDについてAC＝BDとなることを証明しなさい．
△ABCと△DCBで
BCは，共通だから
BC＝CB ---①
長方形ABCDは，平行四辺形だから
AB＝DC ---②
長方形の性質より
∠ABC＝∠DCB＝90° ---③
① ② ③ から，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABC≡△DCB
合同な図形では 対応する辺の大きさは等しいので
AC＝DB
△ABCと△DCBで
BCは，共通だから
BC＝CB ---①
長方形ABCDは，平行四辺形だから
AB＝DC ---②
長方形の性質より
∠ABC＝∠DCB＝90° ---③
① ② ③ から，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABC≡△DCB
合同な図形では 対応する辺の大きさは等しいので
AC＝DB
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 12/14 ページ
14
次の問に答えなさい． [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で，△PAB＝△QABであるとき，PQ//ABとなることを証明しなさい．
仮定より，
△PAB＝ △QAB
AB を共通な底辺とみると，高さは等しいので
PH＝ QK
よって
AB//PQ
仮定より，
△PAB＝ △QAB
AB を共通な底辺とみると，高さは等しいので
PH＝ QK
よって
AB//PQ
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 13/14 ページ
15
次の問に答えなさい． [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で，DE//BCであるとき，△ABE＝△ACDとなることを証明しなさい．
△ABEは，△ADEと△DBEに分けられるので
△ABE＝△ADE＋△DBE ---①
△ADCは，△ADEと△DCEに分けられるので
△ADC＝△ADE＋△DCE ---②
DE//BCなので
△DEB＝△DCE ---③
①②③より
△ABE＝△ADC
△ABEは，△ADEと△DBEに分けられるので
△ABE＝△ADE＋△DBE ---①
△ADCは，△ADEと△DCEに分けられるので
△ADC＝△ADE＋△DCE ---②
DE//BCなので
△DEB＝△DCE ---③
①②③より
△ABE＝△ADC
| 余白に記入 |
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