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図形の性質と証明
定期試験対策テスト    時間 60分        1/14 ページ
1
次の空欄に適する語を書きなさい.
1
1点×6
(1) AB=ACである二等辺三角形ABCで辺BCを      といいます   [2i3-z0]
(2) 二等辺三角形は,                                 と定義されます.   [2i3-z0]
(3) 直角三角形で,直角に対する辺を      といいます   [2i3-z0]
(4) 証明されたことがらのうち,基本になるものを      といいます.   [2i3-z0]
(5) 平行四辺形は                        角がそれぞれ等しい   [2M4-z0]
(6) 平行四辺形は対角線が                                    [2M4-z0]
空欄に記入
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び,記号≡を使って表しなさい.また,合同条件を書きなさい.   [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
3cm
55°
A
B
C

6cm
D
4cm
E
F

7cm
G
H
12cm
I

3cm
55°
J
K
L

6cm
M
4cm
N
O

7cm
P
Q
12cm
R

(1)



(2)



(3)



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定期試験対策テスト        2/14 ページ
3
次のことがらについて,逆を答えなさい.また,それが正しい場合には○,間違っている場合には×を(    )に書きなさい.逆が間違っている場合に反例を書きなさい.   [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) △ABCと△DEFについて AB=DE,BC=EF,∠B=∠E ならば △ABC≡△DEF である.
(2) xが4の約数ならば,xは12の約数である.
(3) △ABC≡△DEF ならば AB=DE である.
(1) 逆:
(     )
反例:

(2) 逆:
(     )
反例:

(3) 逆:
(     )
反例:

4
次の空欄に適する語を書きなさい.
4
1点×4
(1)          は,4つの辺がすべて等しい四角形と定義されます.   [2N0-z0]
(2) ▱ABCDについて,∠B=∠Cのとき,この四角形は         になります.   [2N0-z0]
(3) ▱ABCDについて,AB=ADのとき,この四角形は         になります.   [2N0-z0]
(4) 長方形は,                                 四角形と定義されます.   [2N0-z0]
空欄に記入
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5
次の問に答えなさい.   [2i0-z0]
5
7点 部分点可
次の図で,AB=CBならば,∠A=∠Cであることを証明しなさい.
A
B
C
D


空欄に記入
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6
次の問に答えなさい.   [2i2-z0]
6
7点 部分点可
△ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点D,Eがあり,BD=CEとする.このとき,DC=EBならば,△ABCは二等辺三角形になることを証明しなさい.


余白に記入
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7
次の問に答えなさい.   [2K1-z1]
7
1点×4
次の図で,∠A=∠B=∠Cならば,AB=BC=CAであることを証明しなさい.
A
B
C

△ABCで,仮定より
    ∠A=∠C    ---①

①から,△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
    AB=          ---②

また,仮定より
    ∠B=∠C    ---③

③から,△ABCはBCを底辺とする                  なので
    AB=          ---④

② ④ から,
    AB=BC=      
余白に記入
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8
次の問に答えなさい.   [2K2-z0]
8
7点 部分点可
次の図のように線分BD上に2つの正三角形ABCとECDがあります.点A,点Dおよび点B,点Eをそれぞれ結んだとき,△ACD≡△BCEになることを証明しなさい.


余白に記入
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9
次の問に答えなさい.   [2L2-z1]
9
1点×5
次の図で,AB=BC,∠ADB=∠CDB=90°ならば,△ABD≡△CBDを証明しなさい.
A
B
C
D


△ABDと△CBDで
仮定より
    AB=          ---①
    ∠ADB=      =90°    ---②

また,BDは共通だから
    BD=          ---③

①②③ から,                                                ので

    △ABD≡        
余白に記入
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10
次の問に答えなさい.   [2L4-z0]
10
7点 部分点可
AB=ACの二等辺三角形ABCがあります.B,Cから,それぞれAC,ABに垂線BE,CDをひくとき,△DBC≡△ECBであることを証明しなさい.


余白に記入
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11
次の問に答えなさい.   [2M5-z0]
11
7点 部分点可
次の四角形ABCDで,BC//AD,BC=ADならば,四角形ABCDは平行四辺形であることを証明しなさい.

余白に記入
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12
次の問に答えなさい.   [2M3-z0]
12
7点 部分点可
次の図で,△ABC≡△EDF,AC//EFならば,四角形BHDGは平行四辺形であることを証明しなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H
余白に記入
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定期試験対策テスト        11/14 ページ
13
次の問に答えなさい.   [2N2-z0]
13
7点 部分点可
ひし形ABCDについてAC⊥BDとなることを証明しなさい.


余白に記入
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定期試験対策テスト        12/14 ページ
14
次の問に答えなさい.   [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で,PQ//ABであるとき,△PAB=△QABとなることを証明しなさい.


PQ//ABなので
    PH=      

△PABと      

底辺      は共通で,高さが等しいから      は等しい.
よって
    △PAB=△QAB
余白に記入
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定期試験対策テスト        13/14 ページ
15
次の問に答えなさい.   [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で,AD//BCであるとき,△ABO=△DOCとなることを証明しなさい.


余白に記入
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定期試験対策テスト        14/14 ページ
16
次の問に答えなさい.   [2P2-z0]
16
完答 6点
四角形ABCDは平行四辺形です.EF//BDのとき,△BCFと面積が等しい三角形をすべて見つけなさい.




 
17
次の問に答えなさい.   [2P1-z0]
17
6点
四角形ABCDで,辺ABをAの方向に延長した直線上に点Eをとり,△BCEの面積が,四角形ABCDの面積と等しくなるように,点Eの位置を求めて△BCEを三角定規を使って描きなさい.
A
B
C
D
図に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト    時間 60分        1/14 ページ
1
次の空欄に適する語を書きなさい.
1
1点×6
(1) AB=ACである二等辺三角形ABCで辺BCを底辺といいます   [2i3-z0]
(2) 二等辺三角形は,2つの辺が等しい三角形と定義されます.   [2i3-z0]
(3) 直角三角形で,直角に対する辺を斜辺といいます   [2i3-z0]
(4) 証明されたことがらのうち,基本になるものを定理といいます.   [2i3-z0]
(5) 平行四辺形は2組の向かいあう角がそれぞれ等しい   [2M4-z0]
(6) 平行四辺形は対角線がそれぞれの中点で交わる   [2M4-z0]
空欄に記入
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び,記号≡を使って表しなさい.また,合同条件を書きなさい.   [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
3cm
55°
A
B
C

6cm
D
4cm
E
F

7cm
G
H
12cm
I

3cm
55°
J
K
L

6cm
M
4cm
N
O

7cm
P
Q
12cm
R

(1)   △DEF≡△MNO  2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
(2) △GHI≡△PQR  直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい
(3) △ABC≡△JKL  直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい.
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【解答例】
定期試験対策テスト        2/14 ページ
3
次のことがらについて,逆を答えなさい.また,それが正しい場合には○,間違っている場合には×を(    )に書きなさい.逆が間違っている場合に反例を書きなさい.   [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) △ABCと△DEFについて AB=DE,BC=EF,∠B=∠E ならば △ABC≡△DEF である.
(2) xが4の約数ならば,xは12の約数である.
(3) △ABC≡△DEF ならば AB=DE である.
(1)  逆:△ABCと△DEFについて △ABC≡△DEF ならば AB=DE,BC=EF,∠B=∠E である.  (○) 
反例: 
(2)  逆:xが12の約数ならば,xは4の約数である.  (×) 
反例:x=3の場合 
(3)  逆:AB=DE ならば △ABC≡△DEF である.  (×) 
反例:BC≠EFの場合 
4
次の空欄に適する語を書きなさい.
4
1点×4
(1) ひし形は,4つの辺がすべて等しい四角形と定義されます.   [2N0-z0]
(2) ▱ABCDについて,∠B=∠Cのとき,この四角形は長方形になります.   [2N0-z0]
(3) ▱ABCDについて,AB=ADのとき,この四角形はひし形になります.   [2N0-z0]
(4) 長方形は,4つの角がすべて等しい四角形と定義されます.   [2N0-z0]
空欄に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        3/14 ページ
5
次の問に答えなさい.   [2i0-z0]
5
7点 部分点可
次の図で,AB=CBならば,∠A=∠Cであることを証明しなさい.
A
B
C
D


ACの中点を点Dとおく
△ABDと△CBDで

点DはACの中点なので
    AD=CD    ---①

仮定より,
    AB=CB    ---②

また,BDは共通だから
    BD=BD    ---③

① ② ③ から, 3組の辺がそれぞれ等しい ので

    △ABD≡△CBD

合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので

    ∠A=∠C
空欄に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        4/14 ページ
6
次の問に答えなさい.   [2i2-z0]
6
7点 部分点可
△ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点D,Eがあり,BD=CEとする.このとき,DC=EBならば,△ABCは二等辺三角形になることを証明しなさい.


△DBCと△ECBで
仮定より
    BD=CE    ---①
    DC=EB    ---②

BCは共通なので
    BC=CB    ---③

①②③より,3組の辺がそれぞれ等しいので
    △DBC≡△ECB

合同な図形では,対応する角は等しいので
    ∠DBC=∠ECB

したがって,△ABCは二等辺三角形である.
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        5/14 ページ
7
次の問に答えなさい.   [2K1-z1]
7
1点×4
次の図で,∠A=∠B=∠Cならば,AB=BC=CAであることを証明しなさい.
A
B
C

△ABCで,仮定より
    ∠A=∠C    ---①

①から,△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
    AB=  BC      ---②

また,仮定より
    ∠B=∠C    ---③

③から,△ABCはBCを底辺とする 二等辺三角形 なので
    AB=  CA      ---④

② ④ から,
    AB=BC=  CA  
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        6/14 ページ
8
次の問に答えなさい.   [2K2-z0]
8
7点 部分点可
次の図のように線分BD上に2つの正三角形ABCとECDがあります.点A,点Dおよび点B,点Eをそれぞれ結んだとき,△ACD≡△BCEになることを証明しなさい.


△ACDと△BCEで
仮定より,△ABC,△ECDは正三角形だから,

    AC=BC    ---①
    CD=CE    ---②
    ∠ECD=∠ACB=60°    ---③

また,

    ∠ACD=∠ECD+∠ACE    ---④
    ∠BCE=∠ACB+∠ACE    ---⑤

③④⑤より

    ∠ACD=∠BCE    ---⑥

①②⑥より,2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

    △ACD≡△BCE
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【解答例】
定期試験対策テスト        7/14 ページ
9
次の問に答えなさい.   [2L2-z1]
9
1点×5
次の図で,AB=BC,∠ADB=∠CDB=90°ならば,△ABD≡△CBDを証明しなさい.
A
B
C
D


△ABDと△CBDで
仮定より
    AB=  CB      ---①
    ∠ADB=  ∠CDB  =90°    ---②

また,BDは共通だから
    BD= BD     ---③

①②③ から, 直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい ので

    △ABD≡ △CBD 
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【解答例】
定期試験対策テスト        8/14 ページ
10
次の問に答えなさい.   [2L4-z0]
10
7点 部分点可
AB=ACの二等辺三角形ABCがあります.B,Cから,それぞれAC,ABに垂線BE,CDをひくとき,△DBC≡△ECBであることを証明しなさい.


△DBCと△ECBで
仮定より
    ∠BDC=∠CEB=90°    ---①

△ABCは二等辺三角形なので
    ∠DBC=∠ECB    ---②

BCは共通なので
    BC=CB    ---③

①②③より,直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので
    △DBC≡△ECB
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【解答例】
定期試験対策テスト        9/14 ページ
11
次の問に答えなさい.   [2M5-z0]
11
7点 部分点可
次の四角形ABCDで,BC//AD,BC=ADならば,四角形ABCDは平行四辺形であることを証明しなさい.

△ABCと△CDAで
仮定より
    BC=AD    ---①

BC//ADから平行線の錯角は等しいので
    ∠BCA=∠DAC    ---②

また,ACは共通だから
    AC=CA    ---③

①②③ から,2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
    △ABC≡△CDA

合同な図形では 対応する辺は等しいので
    AB=CD

四角形ABCDは,向かいあう辺が等しいので平行四辺形である
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【解答例】
定期試験対策テスト        10/14 ページ
12
次の問に答えなさい.   [2M3-z0]
12
7点 部分点可
次の図で,△ABC≡△EDF,AC//EFならば,四角形BHDGは平行四辺形であることを証明しなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H
AC//EFより,錯角は等しいので
    ∠A=∠FBG    ---①
    ∠F=∠GDA    ---②

△ABC≡△EDFより,合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
    ∠E=∠A    ---③
    ∠F=∠C    ---④

① ③ から,∠E=∠FBG    ---⑤
② ④ から,∠C=∠GDA    ---⑥

同位角の等しい2直線は 平行なので
    ⑤ から,DH//GB    ---⑦
    ⑥ から,BH//GD    ---⑧

⑦ ⑧ から,2組の向かい合う辺がそれぞれ平行なので,四角形BHDGは 平行四辺形である.
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【解答例】
定期試験対策テスト        11/14 ページ
13
次の問に答えなさい.   [2N2-z0]
13
7点 部分点可
ひし形ABCDについてAC⊥BDとなることを証明しなさい.


△ABOと△ADOで,AOは共通だから
    AO=AO    ---①

ひし形ABCDは,4つの辺すべてが等しいから
    AB=AD    ---②

ひし形ABCDは,平行四辺形なので
    BO=DO    ---③

① ② ③ から,3組の辺がそれぞれ等しいので
    △ABO≡△ADO

合同な図形では 対応する角は等しいので
    ∠AOB=∠AOD=∠90°

よって,AC⊥BD
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【解答例】
定期試験対策テスト        12/14 ページ
14
次の問に答えなさい.   [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で,PQ//ABであるとき,△PAB=△QABとなることを証明しなさい.


PQ//ABなので
    PH= QK 

△PABと △QAB 

底辺 AB は共通で,高さが等しいから 面積 は等しい.
よって
    △PAB=△QAB
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【解答例】
定期試験対策テスト        13/14 ページ
15
次の問に答えなさい.   [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で,AD//BCであるとき,△ABO=△DOCとなることを証明しなさい.


△ABCは,△ABOと△OBCに分けられるので
    △ABC=△ABO+△OBC    ---①

△DBCは,△DOCと△OBCに分けられるので
    △DBC=△DOC+△OBC    ---②

AD//BCなので
    △ABC=△DBC    ---③

①②③より
    △ABO=△DOC
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        14/14 ページ
16
次の問に答えなさい.   [2P2-z0]
16
完答 6点
四角形ABCDは平行四辺形です.EF//BDのとき,△BCFと面積が等しい三角形をすべて見つけなさい.
△BDF,△BDE,△CDE
17
次の問に答えなさい.   [2P1-z0]
17
6点
四角形ABCDで,辺ABをAの方向に延長した直線上に点Eをとり,△BCEの面積が,四角形ABCDの面積と等しくなるように,点Eの位置を求めて△BCEを三角定規を使って描きなさい.
A
B
C
D
E
図に記入
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