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図形の性質と証明
定期試験対策テスト    時間 60分        1/14 ページ
1
次の空欄に適する語を書きなさい.
1
1点×6
(1)          三角形は,2つの底角が等しい   [2i3-z0]
(2) 直角三角形で,直角に対する辺を      といいます   [2i3-z0]
(3) 頂角が60°の二等辺三角形は            です.   [2i3-z0]
(4) AB=ACである二等辺三角形ABCで辺BCを      といいます   [2i3-z0]
(5) 平行四辺形は         がそれぞれの中点で交わる   [2M4-z0]
(6) 平行四辺形は                        辺が等しく平行である   [2M4-z0]
空欄に記入
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び,記号≡を使って表しなさい.また,合同条件を書きなさい.   [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
8cm
A
B
14cm
C

6cm
D
4cm
E
F

8cm
G
H
14cm
I

3cm
55°
J
K
L

6cm
M
4cm
N
O

3cm
55°
P
Q
R

(1)



(2)



(3)



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定期試験対策テスト        2/14 ページ
3
次のことがらについて,逆を答えなさい.また,それが正しい場合には○,間違っている場合には×を(    )に書きなさい.逆が間違っている場合に反例を書きなさい.   [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) 関数 y=3x−1 において x=1 ならば y=2 である.
(2) △ABCについて ∠A+∠B=90°ならば ∠C=90°である.
(3) △ABC≡△DEF ならば ∠C=∠F である.
(1) 逆:
(     )
反例:

(2) 逆:
(     )
反例:

(3) 逆:
(     )
反例:

4
次の空欄に適する語を書きなさい.
4
1点×4
(1) ▱ABCDについて,AB=ADのとき,この四角形は         になります.   [2N0-z0]
(2) ▱ABCDについて,∠A=∠D,AB=BCのとき,この四角形は         になります.   [2N0-z0]
(3) 平行四辺形の対角線の長さが等しく垂直に交わるとき,この四角形は         になります.   [2N0-z0]
(4) 長方形は,                                 四角形と定義されます.   [2N0-z0]
空欄に記入
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定期試験対策テスト        3/14 ページ
5
次の問に答えなさい.   [2i1-z0]
5
7点 部分点可
次の図で,∠A=∠Cならば,BA=BCであることを証明しなさい.
A
B
C
D

空欄に記入
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6
次の問に答えなさい.   [2i2-z0]
6
7点 部分点可
△ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点D,Eがあり,BD=CEとする.このとき,DC=EBならば,△ABCは二等辺三角形になることを証明しなさい.


余白に記入
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7
次の問に答えなさい.   [2K0-z1]
7
1点×4
次の図で,AB=BC=CAならば,∠A=∠B=∠Cであることを証明しなさい.
A
B
C


△ABCで,仮定より
    AB=BC    ---①

①から,△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
    ∠A=          ---②

また,仮定より
    AB=CA    ---③

③から,△ABCはBCを底辺とする                  なので
    ∠B=          ---④

② ④ から,
    ∠A=∠B=      
余白に記入
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8
次の問に答えなさい.   [2K2-z0]
8
7点 部分点可
次の図で,△ABCは正三角形です.辺AB,BC,CA上に,AD=BE=CFとなるような点D,E,Fをとります.このとき,△DEFが正三角形になることを証明しなさい.


余白に記入
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9
次の問に答えなさい.   [2L2-z1]
9
1点×5
次の図で,AB=BC,∠ADB=∠CDB=90°ならば,△ABD≡△CBDを証明しなさい.
A
B
C
D


△ABDと△CBDで
仮定より
    AB=          ---①
    ∠ADB=      =90°    ---②

また,BDは共通だから
    BD=          ---③

①②③ から,                                                ので

    △ABD≡        
余白に記入
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10
次の問に答えなさい.   [2L4-z0]
10
7点 部分点可
AB=ACの二等辺三角形ABCがあります.B,Cから,それぞれAC,ABに垂線BE,CDをひくとき,△DBC≡△ECBであることを証明しなさい.


余白に記入
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定期試験対策テスト        9/14 ページ
11
次の問に答えなさい.   [2M5-z0]
11
7点 部分点可
次の四角形ABCDで,BC//AD,BC=ADならば,四角形ABCDは平行四辺形であることを証明しなさい.

余白に記入
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12
次の問に答えなさい.   [2M3-z0]
12
7点 部分点可
次の図で,△ABC≡△EDF,AC//EFならば,四角形BHDGは平行四辺形であることを証明しなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H
余白に記入
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定期試験対策テスト        11/14 ページ
13
次の問に答えなさい.   [2N1-z0]
13
7点 部分点可
次の▱ABCDについて,AC=BDであるとき▱ABCDが長方形となることを証明しなさい.


余白に記入
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定期試験対策テスト        12/14 ページ
14
次の問に答えなさい.   [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で,PQ//ABであるとき,△PAB=△QABとなることを証明しなさい.


PQ//ABなので
    PH=      

△PABと      

底辺      は共通で,高さが等しいから      は等しい.
よって
    △PAB=△QAB
余白に記入
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定期試験対策テスト        13/14 ページ
15
次の問に答えなさい.   [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で,AD//BCであるとき,△ABO=△DOCとなることを証明しなさい.


余白に記入
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定期試験対策テスト        14/14 ページ
16
次の問に答えなさい.   [2P2-z0]
16
完答 6点
四角形ABCDで,AD//BCのとき,面積が等しい三角形の組をすべて見つけなさい.




 
17
次の問に答えなさい.   [2P1-z0]
17
6点
四角形ABCDが折れ線EFGで2つの部分ア,イに分かれています.点Eを通りそれぞれの部分の面積を変えないような直線を三角定規を使って描きなさい.
A
B
C
D
E
F
G
(ア)
(イ)
図に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト    時間 60分        1/14 ページ
1
次の空欄に適する語を書きなさい.
1
1点×6
(1) 二等辺三角形は,2つの底角が等しい   [2i3-z0]
(2) 直角三角形で,直角に対する辺を斜辺といいます   [2i3-z0]
(3) 頂角が60°の二等辺三角形は正三角形です.   [2i3-z0]
(4) AB=ACである二等辺三角形ABCで辺BCを底辺といいます   [2i3-z0]
(5) 平行四辺形は対角線がそれぞれの中点で交わる   [2M4-z0]
(6) 平行四辺形は1組の向かいあう辺が等しく平行である   [2M4-z0]
空欄に記入
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び,記号≡を使って表しなさい.また,合同条件を書きなさい.   [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
8cm
A
B
14cm
C

6cm
D
4cm
E
F

8cm
G
H
14cm
I

3cm
55°
J
K
L

6cm
M
4cm
N
O

3cm
55°
P
Q
R

(1)   △DEF≡△MNO  2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
(2) △ABC≡△GHI  直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい
(3) △JKL≡△PQR  直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい.
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【解答例】
定期試験対策テスト        2/14 ページ
3
次のことがらについて,逆を答えなさい.また,それが正しい場合には○,間違っている場合には×を(    )に書きなさい.逆が間違っている場合に反例を書きなさい.   [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) 関数 y=3x−1 において x=1 ならば y=2 である.
(2) △ABCについて ∠A+∠B=90°ならば ∠C=90°である.
(3) △ABC≡△DEF ならば ∠C=∠F である.
(1)  逆:関数 y=3x−1 において y=2 ならば x=1 である.  (○) 
反例: 
(2)  逆:△ABCについて ∠C=90°ならば ∠A+∠B=90°である.  (○) 
反例: 
(3)  逆:∠C=∠F ならば △ABC≡△DEF である.  (×) 
反例:AB≠DEの場合 
4
次の空欄に適する語を書きなさい.
4
1点×4
(1) ▱ABCDについて,AB=ADのとき,この四角形はひし形になります.   [2N0-z0]
(2) ▱ABCDについて,∠A=∠D,AB=BCのとき,この四角形は正方形になります.   [2N0-z0]
(3) 平行四辺形の対角線の長さが等しく垂直に交わるとき,この四角形は正方形になります.   [2N0-z0]
(4) 長方形は,4つの角がすべて等しい四角形と定義されます.   [2N0-z0]
空欄に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        3/14 ページ
5
次の問に答えなさい.   [2i1-z0]
5
7点 部分点可
次の図で,∠A=∠Cならば,BA=BCであることを証明しなさい.
A
B
C
D

∠Bの二等分線をひきACとの交点を点Dとおく
△ABDと△CBDで
仮定より,
    ∠A=∠C    ---①

BDは∠Bの二等分線だから
    ∠ABD=∠CBD    ---②

三角形の内角の和は180°なので
    ∠A+∠ABD+∠BDA=180°    ---③
    ∠C+∠CBD+∠BDC=180°    ---④

① ② ③ ④ から,
    ∠BDA=∠BDC    ---⑤

また,BDは共通だから
    BD=BD    ---⑥

② ⑤ ⑥ から, 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい ので
    △ABD≡△CBD

合同な図形では 対応する辺の大きさは等しいので
    BA=BC
空欄に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        4/14 ページ
6
次の問に答えなさい.   [2i2-z0]
6
7点 部分点可
△ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点D,Eがあり,BD=CEとする.このとき,DC=EBならば,△ABCは二等辺三角形になることを証明しなさい.


△DBCと△ECBで
仮定より
    BD=CE    ---①
    DC=EB    ---②

BCは共通なので
    BC=CB    ---③

①②③より,3組の辺がそれぞれ等しいので
    △DBC≡△ECB

合同な図形では,対応する角は等しいので
    ∠DBC=∠ECB

したがって,△ABCは二等辺三角形である.
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        5/14 ページ
7
次の問に答えなさい.   [2K0-z1]
7
1点×4
次の図で,AB=BC=CAならば,∠A=∠B=∠Cであることを証明しなさい.
A
B
C


△ABCで,仮定より
    AB=BC    ---①

①から,△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
    ∠A=  ∠C      ---②

また,仮定より
    AB=CA    ---③

③から,△ABCはBCを底辺とする 二等辺三角形 なので
    ∠B=  ∠C      ---④

② ④ から,
    ∠A=∠B=  ∠C  
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        6/14 ページ
8
次の問に答えなさい.   [2K2-z0]
8
7点 部分点可
次の図で,△ABCは正三角形です.辺AB,BC,CA上に,AD=BE=CFとなるような点D,E,Fをとります.このとき,△DEFが正三角形になることを証明しなさい.


△ADFと△BEDと△CFEで
仮定より
    AB=BC=CA    ---①
    AD=BE=CF    ---②
    ∠FAD=∠DBE=∠ECF=60°    ---③

①②より
    AF=BD=CE    ---④

②③④より,2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
    △ADF≡△BED≡△CFE

したがって,
    FD=DE=EF

3つの辺の長さが等しいので,△DEFは正三角形である.

余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        7/14 ページ
9
次の問に答えなさい.   [2L2-z1]
9
1点×5
次の図で,AB=BC,∠ADB=∠CDB=90°ならば,△ABD≡△CBDを証明しなさい.
A
B
C
D


△ABDと△CBDで
仮定より
    AB=  CB      ---①
    ∠ADB=  ∠CDB  =90°    ---②

また,BDは共通だから
    BD= BD     ---③

①②③ から, 直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい ので

    △ABD≡ △CBD 
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        8/14 ページ
10
次の問に答えなさい.   [2L4-z0]
10
7点 部分点可
AB=ACの二等辺三角形ABCがあります.B,Cから,それぞれAC,ABに垂線BE,CDをひくとき,△DBC≡△ECBであることを証明しなさい.


△DBCと△ECBで
仮定より
    ∠BDC=∠CEB=90°    ---①

△ABCは二等辺三角形なので
    ∠DBC=∠ECB    ---②

BCは共通なので
    BC=CB    ---③

①②③より,直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので
    △DBC≡△ECB
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        9/14 ページ
11
次の問に答えなさい.   [2M5-z0]
11
7点 部分点可
次の四角形ABCDで,BC//AD,BC=ADならば,四角形ABCDは平行四辺形であることを証明しなさい.

△ABCと△CDAで
仮定より
    BC=AD    ---①

BC//ADから平行線の錯角は等しいので
    ∠BCA=∠DAC    ---②

また,ACは共通だから
    AC=CA    ---③

①②③ から,2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
    △ABC≡△CDA

合同な図形では 対応する辺は等しいので
    AB=CD

四角形ABCDは,向かいあう辺が等しいので平行四辺形である
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【解答例】
定期試験対策テスト        10/14 ページ
12
次の問に答えなさい.   [2M3-z0]
12
7点 部分点可
次の図で,△ABC≡△EDF,AC//EFならば,四角形BHDGは平行四辺形であることを証明しなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H
AC//EFより,錯角は等しいので
    ∠A=∠FBG    ---①
    ∠F=∠GDA    ---②

△ABC≡△EDFより,合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
    ∠E=∠A    ---③
    ∠F=∠C    ---④

① ③ から,∠E=∠FBG    ---⑤
② ④ から,∠C=∠GDA    ---⑥

同位角の等しい2直線は 平行なので
    ⑤ から,DH//GB    ---⑦
    ⑥ から,BH//GD    ---⑧

⑦ ⑧ から,2組の向かい合う辺がそれぞれ平行なので,四角形BHDGは 平行四辺形である.
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【解答例】
定期試験対策テスト        11/14 ページ
13
次の問に答えなさい.   [2N1-z0]
13
7点 部分点可
次の▱ABCDについて,AC=BDであるとき▱ABCDが長方形となることを証明しなさい.


△ABCと△DCBで
仮定より,
    AC=DB    ---①

BCは,共通だから
    BC=CB    ---②

平行四辺形の向かい合う辺は等しいので
    AB=DC    ---③

① ② ③ から,3組の辺がそれぞれ等しいので
    △ABC≡△DCB

合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
    ∠ABC=∠DCB    ---④

平行四辺形の向かい合う角は等しいから,④より,4つの角はすべて等しくなる.したがって,四角形ABCDは長方形である.
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【解答例】
定期試験対策テスト        12/14 ページ
14
次の問に答えなさい.   [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で,PQ//ABであるとき,△PAB=△QABとなることを証明しなさい.


PQ//ABなので
    PH= QK 

△PABと △QAB 

底辺 AB は共通で,高さが等しいから 面積 は等しい.
よって
    △PAB=△QAB
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【解答例】
定期試験対策テスト        13/14 ページ
15
次の問に答えなさい.   [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で,AD//BCであるとき,△ABO=△DOCとなることを証明しなさい.


△ABCは,△ABOと△OBCに分けられるので
    △ABC=△ABO+△OBC    ---①

△DBCは,△DOCと△OBCに分けられるので
    △DBC=△DOC+△OBC    ---②

AD//BCなので
    △ABC=△DBC    ---③

①②③より
    △ABO=△DOC
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        14/14 ページ
16
次の問に答えなさい.   [2P2-z0]
16
完答 6点
四角形ABCDで,AD//BCのとき,面積が等しい三角形の組をすべて見つけなさい.
△ABCと△DBC,△ABDと△ACD,△OABと△ODC
17
次の問に答えなさい.   [2P1-z0]
17
6点
四角形ABCDが折れ線EFGで2つの部分ア,イに分かれています.点Eを通りそれぞれの部分の面積を変えないような直線を三角定規を使って描きなさい.
A
B
C
D
E
F
G
(ア)
(イ)
図に記入
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