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図形の性質と証明
定期試験対策テスト    時間 60分        1/14 ページ
1
次の空欄に適する語を書きなさい.
1
1点×6
(1) AB=ACである二等辺三角形ABCで∠Aを      といいます   [2i3-z0]
(2) 直角三角形で,直角に対する辺を      といいます   [2i3-z0]
(3)          三角形は,2つの底角が等しい   [2i3-z0]
(4) 正三角形は,                                          と定義されます.   [2i3-z0]
(5) 平行四辺形は                        辺が等しく平行である   [2M4-z0]
(6) 平行四辺形は                        辺がそれぞれ等しい   [2M4-z0]
空欄に記入
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び,記号≡を使って表しなさい.また,合同条件を書きなさい.   [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
9cm
A
8cm
B
C

9cm
D
8cm
E
F

8cm
G
H
10cm
I

8cm
J
K
10cm
L

4cm
65°
M
N
O

4cm
65°
P
Q
R

(1)



(2)



(3)



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定期試験対策テスト        2/14 ページ
3
次のことがらについて,逆を答えなさい.また,それが正しい場合には○,間違っている場合には×を(    )に書きなさい.逆が間違っている場合に反例を書きなさい.   [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) △ABC≡△DEF ならば ∠C=∠F である.
(2) △ABCと△DEFについて AB=DE,∠A=∠D,∠B=∠E ならば △ABC≡△DEF である.
(3) 整数abについて,abが奇数 ならば abは偶数 である.
(1) 逆:
(     )
反例:

(2) 逆:
(     )
反例:

(3) 逆:
(     )
反例:

4
次の空欄に適する語を書きなさい.
4
1点×4
(1) ▱ABCDについて,∠A=∠D,AB=BCのとき,この四角形は         になります.   [2N0-z0]
(2)          は,4つの角がすべて等しい四角形と定義されます.   [2N0-z0]
(3) ▱ABCDについて,∠B=∠Cのとき,この四角形は         になります.   [2N0-z0]
(4) 平行四辺形の         の長さが等しいとき,この四角形は長方形になります.   [2N0-z0]
空欄に記入
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5
次の問に答えなさい.   [2i0-z0]
5
7点 部分点可
次の図で,AB=CBならば,∠A=∠Cであることを証明しなさい.
A
B
C
D


空欄に記入
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6
次の問に答えなさい.   [2i2-z0]
6
7点 部分点可
二等辺三角形ABCの底角∠B,∠Cの二等分線の交点をDとするとき,DB=DCであることを証明しなさい.


余白に記入
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7
次の問に答えなさい.   [2K0-z1]
7
1点×4
次の図で,AB=BC=CAならば,∠A=∠B=∠Cであることを証明しなさい.
A
B
C


△ABCで,仮定より
    AB=BC    ---①

①から,△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
    ∠A=          ---②

また,仮定より
    AB=CA    ---③

③から,△ABCはBCを底辺とする                  なので
    ∠B=          ---④

② ④ から,
    ∠A=∠B=      
余白に記入
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8
次の問に答えなさい.   [2K2-z0]
8
7点 部分点可
次の図で,△ABCは正三角形です.辺AB,BC,CA上に,AD=BE=CFとなるような点D,E,Fをとります.このとき,△DEFが正三角形になることを証明しなさい.


余白に記入
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9
次の問に答えなさい.   [2L2-z1]
9
1点×5
次の図で,AB=BC,∠ADB=∠CDB=90°ならば,△ABD≡△CBDを証明しなさい.
A
B
C
D


△ABDと△CBDで
仮定より
    AB=          ---①
    ∠ADB=      =90°    ---②

また,BDは共通だから
    BD=          ---③

①②③ から,                                                ので

    △ABD≡        
余白に記入
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10
次の問に答えなさい.   [2L4-z0]
10
7点 部分点可
正方形ABCDの辺BC,CD上に,AE=BFとなる点E,Fがあります.このとき,BE=CFであることを証明しなさい.


余白に記入
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11
次の問に答えなさい.   [2M0-z0]
11
7点 部分点可
次の図で,AB//DC,AD//BCならば,AB=CD,AD=BCを証明しなさい.
A
B
C
D


余白に記入
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12
次の問に答えなさい.   [2M3-z0]
12
7点 部分点可
▱ABCDで,対角線の交点Oを通る直線を図のように描き,AD,BCとの交点を,それぞれ,E,Fとします.このとき,OE=OFとなることを証明しなさい.


余白に記入
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13
次の問に答えなさい.   [2N1-z0]
13
7点 部分点可
次の▱ABCDについて,AC=BDであるとき▱ABCDが長方形となることを証明しなさい.


余白に記入
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定期試験対策テスト        12/14 ページ
14
次の問に答えなさい.   [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で,PQ//ABであるとき,△PAB=△QABとなることを証明しなさい.


PQ//ABなので
    PH=      

△PABと      

底辺      は共通で,高さが等しいから      は等しい.
よって
    △PAB=△QAB
余白に記入
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15
次の問に答えなさい.   [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で,DE//BCであるとき,△ABE=△ACDとなることを証明しなさい.


余白に記入
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定期試験対策テスト        14/14 ページ
16
次の問に答えなさい.   [2P2-z0]
16
完答 6点
四角形ABCDは平行四辺形です.EF//ACのとき,△AEBと面積が等しい三角形をすべて見つけなさい.




 
17
次の問に答えなさい.   [2P1-z0]
17
6点
四角形ABCDで,辺ABをBの方向に延長した直線上に点Eをとり,△AEDの面積が,四角形ABCDの面積と等しくなるように,点Eの位置を求めて△AEDを三角定規を使って描きなさい.
A
B
C
D
図に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト    時間 60分        1/14 ページ
1
次の空欄に適する語を書きなさい.
1
1点×6
(1) AB=ACである二等辺三角形ABCで∠Aを頂角といいます   [2i3-z0]
(2) 直角三角形で,直角に対する辺を斜辺といいます   [2i3-z0]
(3) 二等辺三角形は,2つの底角が等しい   [2i3-z0]
(4) 正三角形は,3つの辺がすべて等しい三角形と定義されます.   [2i3-z0]
(5) 平行四辺形は1組の向かいあう辺が等しく平行である   [2M4-z0]
(6) 平行四辺形は2組の向かいあう辺がそれぞれ等しい   [2M4-z0]
空欄に記入
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び,記号≡を使って表しなさい.また,合同条件を書きなさい.   [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
9cm
A
8cm
B
C

9cm
D
8cm
E
F

8cm
G
H
10cm
I

8cm
J
K
10cm
L

4cm
65°
M
N
O

4cm
65°
P
Q
R

(1)   △ABC≡△DEF  2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
(2) △GHI≡△JKL  直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい
(3) △MNO≡△PQR  直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい.
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【解答例】
定期試験対策テスト        2/14 ページ
3
次のことがらについて,逆を答えなさい.また,それが正しい場合には○,間違っている場合には×を(    )に書きなさい.逆が間違っている場合に反例を書きなさい.   [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) △ABC≡△DEF ならば ∠C=∠F である.
(2) △ABCと△DEFについて AB=DE,∠A=∠D,∠B=∠E ならば △ABC≡△DEF である.
(3) 整数abについて,abが奇数 ならば abは偶数 である.
(1)  逆:∠C=∠F ならば △ABC≡△DEF である.  (×) 
反例:AB≠DEの場合 
(2)  逆:△ABCと△DEFについて △ABC≡△DEF ならば AB=DE,∠A=∠D,∠B=∠E である.  (○) 
反例: 
(3)  逆:整数abについて,abが偶数 ならば abは奇数 である.  (×) 
反例:a=2,b=4の場合 
4
次の空欄に適する語を書きなさい.
4
1点×4
(1) ▱ABCDについて,∠A=∠D,AB=BCのとき,この四角形は正方形になります.   [2N0-z0]
(2) 長方形は,4つの角がすべて等しい四角形と定義されます.   [2N0-z0]
(3) ▱ABCDについて,∠B=∠Cのとき,この四角形は長方形になります.   [2N0-z0]
(4) 平行四辺形の対角線の長さが等しいとき,この四角形は長方形になります.   [2N0-z0]
空欄に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        3/14 ページ
5
次の問に答えなさい.   [2i0-z0]
5
7点 部分点可
次の図で,AB=CBならば,∠A=∠Cであることを証明しなさい.
A
B
C
D


ACの中点を点Dとおく
△ABDと△CBDで

点DはACの中点なので
    AD=CD    ---①

仮定より,
    AB=CB    ---②

また,BDは共通だから
    BD=BD    ---③

① ② ③ から, 3組の辺がそれぞれ等しい ので

    △ABD≡△CBD

合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので

    ∠A=∠C
空欄に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        4/14 ページ
6
次の問に答えなさい.   [2i2-z0]
6
7点 部分点可
二等辺三角形ABCの底角∠B,∠Cの二等分線の交点をDとするとき,DB=DCであることを証明しなさい.


仮定より
     1     ---①
 ∠DBC=∠ABC
  2 
     1     ---②
 ∠DCB=∠ACB
  2 
二等辺三角形の2つの底角は等しいので
    ∠ABC=∠ACB    ---③

①②③より
    ∠DBC=∠DCB

2つの角が等しい三角形は二等辺三角形であるから
    DB=DC
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        5/14 ページ
7
次の問に答えなさい.   [2K0-z1]
7
1点×4
次の図で,AB=BC=CAならば,∠A=∠B=∠Cであることを証明しなさい.
A
B
C


△ABCで,仮定より
    AB=BC    ---①

①から,△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
    ∠A=  ∠C      ---②

また,仮定より
    AB=CA    ---③

③から,△ABCはBCを底辺とする 二等辺三角形 なので
    ∠B=  ∠C      ---④

② ④ から,
    ∠A=∠B=  ∠C  
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        6/14 ページ
8
次の問に答えなさい.   [2K2-z0]
8
7点 部分点可
次の図で,△ABCは正三角形です.辺AB,BC,CA上に,AD=BE=CFとなるような点D,E,Fをとります.このとき,△DEFが正三角形になることを証明しなさい.


△ADFと△BEDと△CFEで
仮定より
    AB=BC=CA    ---①
    AD=BE=CF    ---②
    ∠FAD=∠DBE=∠ECF=60°    ---③

①②より
    AF=BD=CE    ---④

②③④より,2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
    △ADF≡△BED≡△CFE

したがって,
    FD=DE=EF

3つの辺の長さが等しいので,△DEFは正三角形である.

余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        7/14 ページ
9
次の問に答えなさい.   [2L2-z1]
9
1点×5
次の図で,AB=BC,∠ADB=∠CDB=90°ならば,△ABD≡△CBDを証明しなさい.
A
B
C
D


△ABDと△CBDで
仮定より
    AB=  CB      ---①
    ∠ADB=  ∠CDB  =90°    ---②

また,BDは共通だから
    BD= BD     ---③

①②③ から, 直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい ので

    △ABD≡ △CBD 
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        8/14 ページ
10
次の問に答えなさい.   [2L4-z0]
10
7点 部分点可
正方形ABCDの辺BC,CD上に,AE=BFとなる点E,Fがあります.このとき,BE=CFであることを証明しなさい.


△ABEと△BCFで
仮定より
    AE=BF    ---①

四角形ABCDは正方形なので
    AB=BC    ---②
    ∠ABE=∠BCF=90°    ---③

①②③より,直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので
    △ABE≡△BCF

合同な図形では,対応する辺は等しいので
    BE=CF
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【解答例】
定期試験対策テスト        9/14 ページ
11
次の問に答えなさい.   [2M0-z0]
11
7点 部分点可
次の図で,AB//DC,AD//BCならば,AB=CD,AD=BCを証明しなさい.
A
B
C
D


△ABCと△CDAで
平行線の錯角は等しいので

AB//DCから
    ∠BAC=∠DCA    ---①

AD//BCから
    ∠DAC=∠BCA    ---②

また,ACは共通だから
    AC=CA    ---③

①②③ から,1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
    △ABC≡△CDA

合同な図形では 対応する辺の大きさは等しいので
    AB=CD,BC=DA
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【解答例】
定期試験対策テスト        10/14 ページ
12
次の問に答えなさい.   [2M3-z0]
12
7点 部分点可
▱ABCDで,対角線の交点Oを通る直線を図のように描き,AD,BCとの交点を,それぞれ,E,Fとします.このとき,OE=OFとなることを証明しなさい.


△BOFと△DOEで
平行四辺形の特徴より
    BO=DO    ---①
    AD//BC    ---②

② から,平行線の錯角は等しいので
    ∠OBF=∠ODE    ---③

また,対頂角は等しいので
    ∠BOF=∠DOE    ---④

① ③ ④ から,
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
    △BOF≡△DOE

合同な図形では 対応する辺は等しいので
    OF=OE
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【解答例】
定期試験対策テスト        11/14 ページ
13
次の問に答えなさい.   [2N1-z0]
13
7点 部分点可
次の▱ABCDについて,AC=BDであるとき▱ABCDが長方形となることを証明しなさい.


△ABCと△DCBで
仮定より,
    AC=DB    ---①

BCは,共通だから
    BC=CB    ---②

平行四辺形の向かい合う辺は等しいので
    AB=DC    ---③

① ② ③ から,3組の辺がそれぞれ等しいので
    △ABC≡△DCB

合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
    ∠ABC=∠DCB    ---④

平行四辺形の向かい合う角は等しいから,④より,4つの角はすべて等しくなる.したがって,四角形ABCDは長方形である.
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【解答例】
定期試験対策テスト        12/14 ページ
14
次の問に答えなさい.   [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で,PQ//ABであるとき,△PAB=△QABとなることを証明しなさい.


PQ//ABなので
    PH= QK 

△PABと △QAB 

底辺 AB は共通で,高さが等しいから 面積 は等しい.
よって
    △PAB=△QAB
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【解答例】
定期試験対策テスト        13/14 ページ
15
次の問に答えなさい.   [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で,DE//BCであるとき,△ABE=△ACDとなることを証明しなさい.


△ABEは,△ADEと△DBEに分けられるので
    △ABE=△ADE+△DBE    ---①

△ADCは,△ADEと△DCEに分けられるので
    △ADC=△ADE+△DCE    ---②

DE//BCなので
    △DEB=△DCE    ---③

①②③より
    △ABE=△ADC
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        14/14 ページ
16
次の問に答えなさい.   [2P2-z0]
16
完答 6点
四角形ABCDは平行四辺形です.EF//ACのとき,△AEBと面積が等しい三角形をすべて見つけなさい.
△ACE,△ACF,△BCF
17
次の問に答えなさい.   [2P1-z0]
17
6点
四角形ABCDで,辺ABをBの方向に延長した直線上に点Eをとり,△AEDの面積が,四角形ABCDの面積と等しくなるように,点Eの位置を求めて△AEDを三角定規を使って描きなさい.
A
B
C
D
E
図に記入
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