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図形の性質と証明
定期試験対策テスト    時間 60分        1/14 ページ
1
次の空欄に適する語を書きなさい.
1
1点×6
(1) 正三角形は,                                          と定義されます.   [2i3-z0]
(2)                   は,2つの辺が等しい三角形と定義されます.   [2i3-z0]
(3) 直角三角形で,直角に対する辺を      といいます   [2i3-z0]
(4) 頂角が60°の二等辺三角形は            です.   [2i3-z0]
(5) 平行四辺形は                        辺がそれぞれ等しい   [2M4-z0]
(6) 平行四辺形は                        辺が等しく平行である   [2M4-z0]
空欄に記入
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び,記号≡を使って表しなさい.また,合同条件を書きなさい.   [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
8cm
A
B
11cm
C

9cm
50°
D
E
F

9cm
50°
G
H
I

8cm
J
K
11cm
L

3cm
65°
M
N
O

3cm
65°
P
Q
R

(1)



(2)



(3)



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定期試験対策テスト        2/14 ページ
3
次のことがらについて,逆を答えなさい.また,それが正しい場合には○,間違っている場合には×を(    )に書きなさい.逆が間違っている場合に反例を書きなさい.   [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) ab ならば acbc である.
(2) △ABCと△DEFについて AB=DE,BC=EF,∠B=∠E ならば △ABC≡△DEF である.
(3) △ABC≡△DEF ならば AB=DE である.
(1) 逆:
(     )
反例:

(2) 逆:
(     )
反例:

(3) 逆:
(     )
反例:

4
次の空欄に適する語を書きなさい.
4
1点×4
(1) ▱ABCDについて,AC=BD,AC⊥BDのとき,この四角形は         になります.   [2N0-z0]
(2) 平行四辺形の対角線の長さが等しく垂直に交わるとき,この四角形は         になります.   [2N0-z0]
(3) ▱ABCDについて,AB=ADのとき,この四角形は         になります.   [2N0-z0]
(4) ▱ABCDについて,∠B=∠Cのとき,この四角形は         になります.   [2N0-z0]
空欄に記入
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5
次の問に答えなさい.   [2i1-z0]
5
7点 部分点可
次の図で,∠A=∠Cならば,BA=BCであることを証明しなさい.
A
B
C
D

空欄に記入
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6
次の問に答えなさい.   [2i2-z0]
6
7点 部分点可
二等辺三角形ABCの底角∠B,∠Cの二等分線の交点をDとするとき,DB=DCであることを証明しなさい.


余白に記入
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7
次の問に答えなさい.   [2K0-z1]
7
1点×4
次の図で,AB=BC=CAならば,∠A=∠B=∠Cであることを証明しなさい.
A
B
C


△ABCで,仮定より
    AB=BC    ---①

①から,△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
    ∠A=          ---②

また,仮定より
    AB=CA    ---③

③から,△ABCはBCを底辺とする                  なので
    ∠B=          ---④

② ④ から,
    ∠A=∠B=      
余白に記入
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8
次の問に答えなさい.   [2K2-z0]
8
7点 部分点可
正三角形ABCの辺BC,CA上にそれぞれ点D,Eがあります.BD=CEであるとき,∠BAD=∠CBEになることを証明しなさい.


余白に記入
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9
次の問に答えなさい.   [2L3-z1]
9
1点×5
次の図で,∠ADB=∠CDB,∠A=∠C=90°ならば,△ABD≡△CBDであることを証明しなさい.
A
B
C
D

△ABDと△CBDで
仮定より,
    ∠ADB=          ---①
    ∠A=          ---②

また,BDは共通だから
    BD=          ---③

①②③ から,                                                ので

    △ABD≡        
余白に記入
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10
次の問に答えなさい.   [2L4-z0]
10
7点 部分点可
AB=ACの二等辺三角形ABCがあります.B,Cから,それぞれAC,ABに垂線BE,CDをひくとき,△DBC≡△ECBであることを証明しなさい.


余白に記入
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11
次の問に答えなさい.   [2M2-z0]
11
7点 部分点可
平行四辺形ABCDで,対角線の交点をOとして,AO=CO,BO=DOを証明しなさい.
A
B
C
D
O


余白に記入
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12
次の問に答えなさい.   [2M3-z0]
12
7点 部分点可
次の図で,△ABC≡△EDF,AC//EFならば,四角形BHDGは平行四辺形であることを証明しなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H
余白に記入
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定期試験対策テスト        11/14 ページ
13
次の問に答えなさい.   [2N2-z0]
13
7点 部分点可
ひし形ABCDについてAC⊥BDとなることを証明しなさい.


余白に記入
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定期試験対策テスト        12/14 ページ
14
次の問に答えなさい.   [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で,△PAB=△QABであるとき,PQ//ABとなることを証明しなさい.


仮定より,
    △PAB=             

      を共通な底辺とみると,高さは等しいので
    PH=      

よって
                         
余白に記入
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15
次の問に答えなさい.   [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で,AD//BCであるとき,△ABO=△DOCとなることを証明しなさい.


余白に記入
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定期試験対策テスト        14/14 ページ
16
次の問に答えなさい.   [2P2-z0]
16
完答 6点
四角形ABCDは平行四辺形です.EF//BDのとき,△BCFと面積が等しい三角形をすべて見つけなさい.




 
17
次の問に答えなさい.   [2P1-z0]
17
6点
四角形ABCDが折れ線EFGで2つの部分ア,イに分かれています.点Eを通りそれぞれの部分の面積を変えないような直線を三角定規を使って描きなさい.
A
B
C
D
E
F
G
(ア)
(イ)
図に記入
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【解答例】
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1
次の空欄に適する語を書きなさい.
1
1点×6
(1) 正三角形は,3つの辺がすべて等しい三角形と定義されます.   [2i3-z0]
(2) 二等辺三角形は,2つの辺が等しい三角形と定義されます.   [2i3-z0]
(3) 直角三角形で,直角に対する辺を斜辺といいます   [2i3-z0]
(4) 頂角が60°の二等辺三角形は正三角形です.   [2i3-z0]
(5) 平行四辺形は2組の向かいあう辺がそれぞれ等しい   [2M4-z0]
(6) 平行四辺形は1組の向かいあう辺が等しく平行である   [2M4-z0]
空欄に記入
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び,記号≡を使って表しなさい.また,合同条件を書きなさい.   [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
8cm
A
B
11cm
C

9cm
50°
D
E
F

9cm
50°
G
H
I

8cm
J
K
11cm
L

3cm
65°
M
N
O

3cm
65°
P
Q
R

(1)   △MNO≡△PQR  1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
(2) △ABC≡△JKL  直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい
(3) △DEF≡△GHI  直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい.
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【解答例】
定期試験対策テスト        2/14 ページ
3
次のことがらについて,逆を答えなさい.また,それが正しい場合には○,間違っている場合には×を(    )に書きなさい.逆が間違っている場合に反例を書きなさい.   [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) ab ならば acbc である.
(2) △ABCと△DEFについて AB=DE,BC=EF,∠B=∠E ならば △ABC≡△DEF である.
(3) △ABC≡△DEF ならば AB=DE である.
(1)  逆:acbc ならば ab である.  (○) 
反例: 
(2)  逆:△ABCと△DEFについて △ABC≡△DEF ならば AB=DE,BC=EF,∠B=∠E である.  (○) 
反例: 
(3)  逆:AB=DE ならば △ABC≡△DEF である.  (×) 
反例:BC≠EFの場合 
4
次の空欄に適する語を書きなさい.
4
1点×4
(1) ▱ABCDについて,AC=BD,AC⊥BDのとき,この四角形は正方形になります.   [2N0-z0]
(2) 平行四辺形の対角線の長さが等しく垂直に交わるとき,この四角形は正方形になります.   [2N0-z0]
(3) ▱ABCDについて,AB=ADのとき,この四角形はひし形になります.   [2N0-z0]
(4) ▱ABCDについて,∠B=∠Cのとき,この四角形は長方形になります.   [2N0-z0]
空欄に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        3/14 ページ
5
次の問に答えなさい.   [2i1-z0]
5
7点 部分点可
次の図で,∠A=∠Cならば,BA=BCであることを証明しなさい.
A
B
C
D

∠Bの二等分線をひきACとの交点を点Dとおく
△ABDと△CBDで
仮定より,
    ∠A=∠C    ---①

BDは∠Bの二等分線だから
    ∠ABD=∠CBD    ---②

三角形の内角の和は180°なので
    ∠A+∠ABD+∠BDA=180°    ---③
    ∠C+∠CBD+∠BDC=180°    ---④

① ② ③ ④ から,
    ∠BDA=∠BDC    ---⑤

また,BDは共通だから
    BD=BD    ---⑥

② ⑤ ⑥ から, 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい ので
    △ABD≡△CBD

合同な図形では 対応する辺の大きさは等しいので
    BA=BC
空欄に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        4/14 ページ
6
次の問に答えなさい.   [2i2-z0]
6
7点 部分点可
二等辺三角形ABCの底角∠B,∠Cの二等分線の交点をDとするとき,DB=DCであることを証明しなさい.


仮定より
     1     ---①
 ∠DBC=∠ABC
  2 
     1     ---②
 ∠DCB=∠ACB
  2 
二等辺三角形の2つの底角は等しいので
    ∠ABC=∠ACB    ---③

①②③より
    ∠DBC=∠DCB

2つの角が等しい三角形は二等辺三角形であるから
    DB=DC
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        5/14 ページ
7
次の問に答えなさい.   [2K0-z1]
7
1点×4
次の図で,AB=BC=CAならば,∠A=∠B=∠Cであることを証明しなさい.
A
B
C


△ABCで,仮定より
    AB=BC    ---①

①から,△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
    ∠A=  ∠C      ---②

また,仮定より
    AB=CA    ---③

③から,△ABCはBCを底辺とする 二等辺三角形 なので
    ∠B=  ∠C      ---④

② ④ から,
    ∠A=∠B=  ∠C  
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        6/14 ページ
8
次の問に答えなさい.   [2K2-z0]
8
7点 部分点可
正三角形ABCの辺BC,CA上にそれぞれ点D,Eがあります.BD=CEであるとき,∠BAD=∠CBEになることを証明しなさい.


△ABDと△BCEで
仮定より

    BD=CE    ---①

△ABCは正三角形だから,

    AB=BC    ---②
    ∠ABD=∠BCE=60°    ---③

①②③より,2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

    △ABD≡△BCE

合同な図形では,対応する角は等しいので

    ∠BAD=∠CBE

余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        7/14 ページ
9
次の問に答えなさい.   [2L3-z1]
9
1点×5
次の図で,∠ADB=∠CDB,∠A=∠C=90°ならば,△ABD≡△CBDであることを証明しなさい.
A
B
C
D

△ABDと△CBDで
仮定より,
    ∠ADB=  ∠CDB      ---①
    ∠A=  ∠C      ---②

また,BDは共通だから
    BD= BD     ---③

①②③ から, 直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい ので

    △ABD≡ △CBD 
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        8/14 ページ
10
次の問に答えなさい.   [2L4-z0]
10
7点 部分点可
AB=ACの二等辺三角形ABCがあります.B,Cから,それぞれAC,ABに垂線BE,CDをひくとき,△DBC≡△ECBであることを証明しなさい.


△DBCと△ECBで
仮定より
    ∠BDC=∠CEB=90°    ---①

△ABCは二等辺三角形なので
    ∠DBC=∠ECB    ---②

BCは共通なので
    BC=CB    ---③

①②③より,直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので
    △DBC≡△ECB
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【解答例】
定期試験対策テスト        9/14 ページ
11
次の問に答えなさい.   [2M2-z0]
11
7点 部分点可
平行四辺形ABCDで,対角線の交点をOとして,AO=CO,BO=DOを証明しなさい.
A
B
C
D
O


平行線の錯角は等しいので,AD//BCより
    ∠OAD=∠OCB    ---①
    ∠ODA=∠OBC    ---②

平行四辺形の,向かいあう辺は等しいので
    AD=CB    ---③

①②③ から,1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
    △OAD≡△OCB

合同な図形では 対応する辺の大きさは等しいので
    AO=CO,BO=DO
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【解答例】
定期試験対策テスト        10/14 ページ
12
次の問に答えなさい.   [2M3-z0]
12
7点 部分点可
次の図で,△ABC≡△EDF,AC//EFならば,四角形BHDGは平行四辺形であることを証明しなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H
AC//EFより,錯角は等しいので
    ∠A=∠FBG    ---①
    ∠F=∠GDA    ---②

△ABC≡△EDFより,合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
    ∠E=∠A    ---③
    ∠F=∠C    ---④

① ③ から,∠E=∠FBG    ---⑤
② ④ から,∠C=∠GDA    ---⑥

同位角の等しい2直線は 平行なので
    ⑤ から,DH//GB    ---⑦
    ⑥ から,BH//GD    ---⑧

⑦ ⑧ から,2組の向かい合う辺がそれぞれ平行なので,四角形BHDGは 平行四辺形である.
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【解答例】
定期試験対策テスト        11/14 ページ
13
次の問に答えなさい.   [2N2-z0]
13
7点 部分点可
ひし形ABCDについてAC⊥BDとなることを証明しなさい.


△ABOと△ADOで,AOは共通だから
    AO=AO    ---①

ひし形ABCDは,4つの辺すべてが等しいから
    AB=AD    ---②

ひし形ABCDは,平行四辺形なので
    BO=DO    ---③

① ② ③ から,3組の辺がそれぞれ等しいので
    △ABO≡△ADO

合同な図形では 対応する角は等しいので
    ∠AOB=∠AOD=∠90°

よって,AC⊥BD
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【解答例】
定期試験対策テスト        12/14 ページ
14
次の問に答えなさい.   [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で,△PAB=△QABであるとき,PQ//ABとなることを証明しなさい.


仮定より,
    △PAB= △QAB 

 AB を共通な底辺とみると,高さは等しいので
    PH= QK 

よって
     AB//PQ 
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【解答例】
定期試験対策テスト        13/14 ページ
15
次の問に答えなさい.   [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で,AD//BCであるとき,△ABO=△DOCとなることを証明しなさい.


△ABCは,△ABOと△OBCに分けられるので
    △ABC=△ABO+△OBC    ---①

△DBCは,△DOCと△OBCに分けられるので
    △DBC=△DOC+△OBC    ---②

AD//BCなので
    △ABC=△DBC    ---③

①②③より
    △ABO=△DOC
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        14/14 ページ
16
次の問に答えなさい.   [2P2-z0]
16
完答 6点
四角形ABCDは平行四辺形です.EF//BDのとき,△BCFと面積が等しい三角形をすべて見つけなさい.
△BDF,△BDE,△CDE
17
次の問に答えなさい.   [2P1-z0]
17
6点
四角形ABCDが折れ線EFGで2つの部分ア,イに分かれています.点Eを通りそれぞれの部分の面積を変えないような直線を三角定規を使って描きなさい.
A
B
C
D
E
F
G
(ア)
(イ)
図に記入
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