図形の性質と証明
定期試験対策テスト 時間 60分 1/14 ページ
点
1
次の空欄に適する語を書きなさい．
1
1点×6
| 空欄に記入 |
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び，記号≡を使って表しなさい．また，合同条件を書きなさい． [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
8cm A B 11cm C | 4cm 40° D E F | 7cm 60° G H I |
8cm J K 11cm L | 4cm 40° M N O | 7cm 60° P Q R |
| (1) | |
| (2) | |
| (3) |
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定期試験対策テスト 2/14 ページ
3
次のことがらについて，逆を答えなさい．また，それが正しい場合には○，間違っている場合には×を（ ）に書きなさい．逆が間違っている場合に反例を書きなさい． [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) △ABC≡△DEF ならば AB＝DE である．
(2) △ABCと△DEFについて AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E ならば △ABC≡△DEF である．
(3) △ABCと△DEFについて AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E ならば △ABC≡△DEF である．
| (1) | 逆： ( ) 反例： |
| (2) | 逆： ( ) 反例： |
| (3) | 逆： ( ) 反例： |
4
次の空欄に適する語を書きなさい．
4
1点×4
▱ABCDについて，AC＝BDのとき，この四角形は| 空欄に記入 |
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5
次の問に答えなさい． [2i1-z0]
5
7点 部分点可
次の図で，∠A＝∠Cならば，BA＝BCであることを証明しなさい．
A
B
C
D
| 空欄に記入 |
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6
次の問に答えなさい． [2i2-z0]
6
7点 部分点可
二等辺三角形ABCの底角∠B，∠Cの二等分線の交点をDとするとき，DB＝DCであることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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7
次の問に答えなさい． [2K1-z1]
7
1点×4
次の図で，∠A＝∠B＝∠Cならば，AB＝BC＝CAであることを証明しなさい．
△ABCで，仮定より
∠A＝∠C ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
AB＝ ---②
また，仮定より
∠B＝∠C ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする なので
AB＝ ---④
② ④ から，
AB＝BC＝
A
B
C
△ABCで，仮定より
∠A＝∠C ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
AB＝ ---②
また，仮定より
∠B＝∠C ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする なので
AB＝ ---④
② ④ から，
AB＝BC＝
| 余白に記入 |
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8
次の問に答えなさい． [2K2-z0]
8
7点 部分点可
次の図のように線分BD上に２つの正三角形ABCとECDがあります．点A，点Dおよび点B，点Eをそれぞれ結んだとき，△ACD≡△BCEになることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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9
次の問に答えなさい． [2L3-z1]
9
1点×5
次の図で，∠ADB＝∠CDB，∠A＝∠C＝90°ならば，△ABD≡△CBDであることを証明しなさい．
△ABDと△CBDで
仮定より，
∠ADB＝ ---①
∠A＝ ---②
また，BDは共通だから
BD＝ ---③
①②③ から， ので
△ABD≡
A
B
C
D
△ABDと△CBDで
仮定より，
∠ADB＝ ---①
∠A＝ ---②
また，BDは共通だから
BD＝ ---③
①②③ から， ので
△ABD≡
| 余白に記入 |
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10
次の問に答えなさい． [2L4-z0]
10
7点 部分点可
AB＝ACの二等辺三角形ABCがあります．B，Cから，それぞれAC，ABに垂線BE，CDをひくとき，△DBC≡△ECBであることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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11
次の問に答えなさい． [2M1-z0]
11
7点 部分点可
次の図で，AB//DC，AD//BCならば，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠Dを証明しなさい．
A
B
C
D
| 余白に記入 |
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12
次の問に答えなさい． [2M3-z0]
12
7点 部分点可
▱ABCDで，対角線の交点Oを通る直線を図のように描き，AD，BCとの交点を，それぞれ，E，Fとします．このとき，OE＝OFとなることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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14
次の問に答えなさい． [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で，△PAB＝△QABであるとき，PQ//ABとなることを証明しなさい．
仮定より，
△PAB＝
を共通な底辺とみると，高さは等しいので
PH＝
よって
仮定より，
△PAB＝
を共通な底辺とみると，高さは等しいので
PH＝
よって
| 余白に記入 |
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定期試験対策テスト 13/14 ページ
15
次の問に答えなさい． [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で，DE//BCであるとき，△ABE＝△ACDとなることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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定期試験対策テスト 14/14 ページ
16
次の問に答えなさい． [2P2-z0]
16
完答 6点
四角形ABCDは平行四辺形です．EF//BDのとき，△BCFと面積が等しい三角形をすべて見つけなさい．
17
次の問に答えなさい． [2P1-z0]
17
6点
次の五角形ABCDEと面積が等しい△DFGを三角定規を使って描きなさい．ただし，F，G は辺ABの延長上にあるものとします．
A
B
C
D
E
| 図に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 時間 60分 1/14 ページ
1
次の空欄に適する語を書きなさい．
1
1点×6
| 空欄に記入 |
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び，記号≡を使って表しなさい．また，合同条件を書きなさい． [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
8cm A B 11cm C | 4cm 40° D E F | 7cm 60° G H I |
8cm J K 11cm L | 4cm 40° M N O | 7cm 60° P Q R |
| (1) | △GHI≡△PQR １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい |
| (2) | △ABC≡△JKL 直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい |
| (3) | △DEF≡△MNO 直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい． |
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【解答例】
定期試験対策テスト 2/14 ページ
3
次のことがらについて，逆を答えなさい．また，それが正しい場合には○，間違っている場合には×を（ ）に書きなさい．逆が間違っている場合に反例を書きなさい． [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) △ABC≡△DEF ならば AB＝DE である．
(2) △ABCと△DEFについて AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E ならば △ABC≡△DEF である．
(3) △ABCと△DEFについて AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E ならば △ABC≡△DEF である．
| (1) | 逆：AB＝DE ならば △ABC≡△DEF である． （×） 反例：BC≠EFの場合 |
| (2) | 逆：△ABCと△DEFについて △ABC≡△DEF ならば AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E である． （○） 反例： |
| (3) | 逆：△ABCと△DEFについて △ABC≡△DEF ならば AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E である． （○） 反例： |
4
次の空欄に適する語を書きなさい．
4
1点×4
| 空欄に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 3/14 ページ
5
次の問に答えなさい． [2i1-z0]
5
7点 部分点可
次の図で，∠A＝∠Cならば，BA＝BCであることを証明しなさい．
∠Bの二等分線をひきACとの交点を点Dとおく
△ABDと△CBDで
仮定より，
∠A＝∠C ---①
BDは∠Bの二等分線だから
∠ABD＝∠CBD ---②
三角形の内角の和は180°なので
∠A＋∠ABD＋∠BDA＝180° ---③
∠C＋∠CBD＋∠BDC＝180° ---④
① ② ③ ④ から，
∠BDA＝∠BDC ---⑤
また，BDは共通だから
BD＝BD ---⑥
② ⑤ ⑥ から， １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい ので
△ABD≡△CBD
合同な図形では 対応する辺の大きさは等しいので
BA＝BC
A
B
C
D
∠Bの二等分線をひきACとの交点を点Dとおく
△ABDと△CBDで
仮定より，
∠A＝∠C ---①
BDは∠Bの二等分線だから
∠ABD＝∠CBD ---②
三角形の内角の和は180°なので
∠A＋∠ABD＋∠BDA＝180° ---③
∠C＋∠CBD＋∠BDC＝180° ---④
① ② ③ ④ から，
∠BDA＝∠BDC ---⑤
また，BDは共通だから
BD＝BD ---⑥
② ⑤ ⑥ から， １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい ので
△ABD≡△CBD
合同な図形では 対応する辺の大きさは等しいので
BA＝BC
| 空欄に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 4/14 ページ
6
次の問に答えなさい． [2i2-z0]
6
7点 部分点可
二等辺三角形ABCの底角∠B，∠Cの二等分線の交点をDとするとき，DB＝DCであることを証明しなさい．
仮定より
二等辺三角形の２つの底角は等しいので
∠ABC＝∠ACB ---③
①②③より
∠DBC＝∠DCB
２つの角が等しい三角形は二等辺三角形であるから
DB＝DC
仮定より
| 1 | ---① | |||||
| ∠DBC | = | ∠ABC | ||||
| 2 | ||||||
| 1 | ---② | |||||
| ∠DCB | = | ∠ACB | ||||
| 2 | ||||||
∠ABC＝∠ACB ---③
①②③より
∠DBC＝∠DCB
２つの角が等しい三角形は二等辺三角形であるから
DB＝DC
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 5/14 ページ
7
次の問に答えなさい． [2K1-z1]
7
1点×4
次の図で，∠A＝∠B＝∠Cならば，AB＝BC＝CAであることを証明しなさい．
△ABCで，仮定より
∠A＝∠C ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
AB＝ BC ---②
また，仮定より
∠B＝∠C ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする 二等辺三角形 なので
AB＝ CA ---④
② ④ から，
AB＝BC＝ CA
A
B
C
△ABCで，仮定より
∠A＝∠C ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
AB＝ BC ---②
また，仮定より
∠B＝∠C ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする 二等辺三角形 なので
AB＝ CA ---④
② ④ から，
AB＝BC＝ CA
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 6/14 ページ
8
次の問に答えなさい． [2K2-z0]
8
7点 部分点可
次の図のように線分BD上に２つの正三角形ABCとECDがあります．点A，点Dおよび点B，点Eをそれぞれ結んだとき，△ACD≡△BCEになることを証明しなさい．
△ACDと△BCEで
仮定より，△ABC，△ECDは正三角形だから，
AC＝BC ---①
CD＝CE ---②
∠ECD＝∠ACB＝60° ---③
また，
∠ACD＝∠ECD＋∠ACE ---④
∠BCE＝∠ACB＋∠ACE ---⑤
③④⑤より
∠ACD＝∠BCE ---⑥
①②⑥より，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ACD≡△BCE
△ACDと△BCEで
仮定より，△ABC，△ECDは正三角形だから，
AC＝BC ---①
CD＝CE ---②
∠ECD＝∠ACB＝60° ---③
また，
∠ACD＝∠ECD＋∠ACE ---④
∠BCE＝∠ACB＋∠ACE ---⑤
③④⑤より
∠ACD＝∠BCE ---⑥
①②⑥より，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ACD≡△BCE
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 7/14 ページ
9
次の問に答えなさい． [2L3-z1]
9
1点×5
次の図で，∠ADB＝∠CDB，∠A＝∠C＝90°ならば，△ABD≡△CBDであることを証明しなさい．
△ABDと△CBDで
仮定より，
∠ADB＝ ∠CDB ---①
∠A＝ ∠C ---②
また，BDは共通だから
BD＝ BD ---③
①②③ から， 直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい ので
△ABD≡ △CBD
A
B
C
D
△ABDと△CBDで
仮定より，
∠ADB＝ ∠CDB ---①
∠A＝ ∠C ---②
また，BDは共通だから
BD＝ BD ---③
①②③ から， 直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい ので
△ABD≡ △CBD
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 8/14 ページ
10
次の問に答えなさい． [2L4-z0]
10
7点 部分点可
AB＝ACの二等辺三角形ABCがあります．B，Cから，それぞれAC，ABに垂線BE，CDをひくとき，△DBC≡△ECBであることを証明しなさい．
△DBCと△ECBで
仮定より
∠BDC＝∠CEB＝90° ---①
△ABCは二等辺三角形なので
∠DBC＝∠ECB ---②
BCは共通なので
BC＝CB ---③
①②③より，直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので
△DBC≡△ECB
△DBCと△ECBで
仮定より
∠BDC＝∠CEB＝90° ---①
△ABCは二等辺三角形なので
∠DBC＝∠ECB ---②
BCは共通なので
BC＝CB ---③
①②③より，直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので
△DBC≡△ECB
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 9/14 ページ
11
次の問に答えなさい． [2M1-z0]
11
7点 部分点可
次の図で，AB//DC，AD//BCならば，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠Dを証明しなさい．
△ABCと△CDAで
平行線の錯角は等しいので
AB//DCから∠BAC＝∠DCA ---①
AD//BCから∠DAC＝∠BCA ---②
また，ACは共通だから
AC＝CA ---③
①②③ から，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABC≡△CDA
合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
∠B＝∠D
また，
∠BAD＝∠BAC＋∠DAC ---④
∠DCB＝∠DCA＋∠BCA ---⑤
① ② ④ ⑤ から，∠BAD＝∠DCB
A
B
C
D
△ABCと△CDAで
平行線の錯角は等しいので
AB//DCから∠BAC＝∠DCA ---①
AD//BCから∠DAC＝∠BCA ---②
また，ACは共通だから
AC＝CA ---③
①②③ から，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABC≡△CDA
合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
∠B＝∠D
また，
∠BAD＝∠BAC＋∠DAC ---④
∠DCB＝∠DCA＋∠BCA ---⑤
① ② ④ ⑤ から，∠BAD＝∠DCB
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 10/14 ページ
12
次の問に答えなさい． [2M3-z0]
12
7点 部分点可
▱ABCDで，対角線の交点Oを通る直線を図のように描き，AD，BCとの交点を，それぞれ，E，Fとします．このとき，OE＝OFとなることを証明しなさい．
△BOFと△DOEで
平行四辺形の特徴より
BO＝DO ---①
AD//BC ---②
② から，平行線の錯角は等しいので
∠OBF＝∠ODE ---③
また，対頂角は等しいので
∠BOF＝∠DOE ---④
① ③ ④ から，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△BOF≡△DOE
合同な図形では 対応する辺は等しいので
OF＝OE
△BOFと△DOEで
平行四辺形の特徴より
BO＝DO ---①
AD//BC ---②
② から，平行線の錯角は等しいので
∠OBF＝∠ODE ---③
また，対頂角は等しいので
∠BOF＝∠DOE ---④
① ③ ④ から，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△BOF≡△DOE
合同な図形では 対応する辺は等しいので
OF＝OE
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 11/14 ページ
13
次の問に答えなさい． [2N2-z0]
13
7点 部分点可
ひし形ABCDについてAC⊥BDとなることを証明しなさい．
△ABOと△ADOで，AOは共通だから
AO＝AO ---①
ひし形ABCDは，４つの辺すべてが等しいから
AB＝AD ---②
ひし形ABCDは，平行四辺形なので
BO＝DO ---③
① ② ③ から，３組の辺がそれぞれ等しいので
△ABO≡△ADO
合同な図形では 対応する角は等しいので
∠AOB＝∠AOD＝∠90°
よって，AC⊥BD
△ABOと△ADOで，AOは共通だから
AO＝AO ---①
ひし形ABCDは，４つの辺すべてが等しいから
AB＝AD ---②
ひし形ABCDは，平行四辺形なので
BO＝DO ---③
① ② ③ から，３組の辺がそれぞれ等しいので
△ABO≡△ADO
合同な図形では 対応する角は等しいので
∠AOB＝∠AOD＝∠90°
よって，AC⊥BD
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 12/14 ページ
14
次の問に答えなさい． [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で，△PAB＝△QABであるとき，PQ//ABとなることを証明しなさい．
仮定より，
△PAB＝ △QAB
AB を共通な底辺とみると，高さは等しいので
PH＝ QK
よって
AB//PQ
仮定より，
△PAB＝ △QAB
AB を共通な底辺とみると，高さは等しいので
PH＝ QK
よって
AB//PQ
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 13/14 ページ
15
次の問に答えなさい． [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で，DE//BCであるとき，△ABE＝△ACDとなることを証明しなさい．
△ABEは，△ADEと△DBEに分けられるので
△ABE＝△ADE＋△DBE ---①
△ADCは，△ADEと△DCEに分けられるので
△ADC＝△ADE＋△DCE ---②
DE//BCなので
△DEB＝△DCE ---③
①②③より
△ABE＝△ADC
△ABEは，△ADEと△DBEに分けられるので
△ABE＝△ADE＋△DBE ---①
△ADCは，△ADEと△DCEに分けられるので
△ADC＝△ADE＋△DCE ---②
DE//BCなので
△DEB＝△DCE ---③
①②③より
△ABE＝△ADC
| 余白に記入 |
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