図形の性質と証明
定期試験対策テスト 時間 60分 1/14 ページ
点
1
次の空欄に適する語を書きなさい．
1
1点×6
| 空欄に記入 |
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び，記号≡を使って表しなさい．また，合同条件を書きなさい． [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
7cm A B 9cm C | 5cm 40° D E F | 5cm 55° G H I |
7cm J K 9cm L | 5cm 55° M N O | 5cm 40° P Q R |
| (1) | |
| (2) | |
| (3) |
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図形の性質と証明
定期試験対策テスト 2/14 ページ
3
次のことがらについて，逆を答えなさい．また，それが正しい場合には○，間違っている場合には×を（ ）に書きなさい．逆が間違っている場合に反例を書きなさい． [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) △ABC≡△DEF ならば ∠C＝∠F である．
(2) a＝b ならば a＋c＝b＋c である．
(3) 整数a，bについて，aとbが奇数 ならば a＋bは偶数 である．
| (1) | 逆： ( ) 反例： |
| (2) | 逆： ( ) 反例： |
| (3) | 逆： ( ) 反例： |
4
次の空欄に適する語を書きなさい．
4
1点×4
▱ABCDについて，AC⊥BDのとき，この四角形は
▱ABCDについて，∠B＝∠Cのとき，この四角形は| 空欄に記入 |
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5
次の問に答えなさい． [2i1-z0]
5
7点 部分点可
次の図で，AB＝CB，AD＝CDならば，BD⊥ACであることを証明しなさい．
A
B
C
D
| 空欄に記入 |
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定期試験対策テスト 4/14 ページ
6
次の問に答えなさい． [2i2-z0]
6
7点 部分点可
△ABCの辺AB，AC上にそれぞれ点D，Eがあり，BD＝CEとする．このとき，DC＝EBならば，△ABCは二等辺三角形になることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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7
次の問に答えなさい． [2K0-z1]
7
1点×4
次の図で，AB＝BC＝CAならば，∠A＝∠B＝∠Cであることを証明しなさい．
△ABCで，仮定より
AB＝BC ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
∠A＝ ---②
また，仮定より
AB＝CA ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする なので
∠B＝ ---④
② ④ から，
∠A＝∠B＝
A
B
C
△ABCで，仮定より
AB＝BC ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
∠A＝ ---②
また，仮定より
AB＝CA ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする なので
∠B＝ ---④
② ④ から，
∠A＝∠B＝
| 余白に記入 |
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8
次の問に答えなさい． [2K2-z0]
8
7点 部分点可
正三角形ABCの辺BC，CA上にそれぞれ点D，Eがあります．BD＝CEであるとき，∠BAD＝∠CBEになることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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9
次の問に答えなさい． [2L3-z1]
9
1点×5
次の図で，∠ADB＝∠CDB，∠A＝∠C＝90°ならば，△ABD≡△CBDであることを証明しなさい．
△ABDと△CBDで
仮定より，
∠ADB＝ ---①
∠A＝ ---②
また，BDは共通だから
BD＝ ---③
①②③ から， ので
△ABD≡
A
B
C
D
△ABDと△CBDで
仮定より，
∠ADB＝ ---①
∠A＝ ---②
また，BDは共通だから
BD＝ ---③
①②③ から， ので
△ABD≡
| 余白に記入 |
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10
次の問に答えなさい． [2L4-z0]
10
7点 部分点可
正方形ABCDの辺BC，CD上に，AE＝BFとなる点E，Fがあります．このとき，BE＝CFであることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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11
次の問に答えなさい． [2M5-z0]
11
7点 部分点可
次の四角形ABCDで，BC//AD，BC＝ADならば，四角形ABCDは平行四辺形であることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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12
次の問に答えなさい． [2M3-z0]
12
7点 部分点可
▱ABCDで，対角線の交点Oを通る直線を図のように描き，AD，BCとの交点を，それぞれ，E，Fとします．このとき，OE＝OFとなることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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13
次の問に答えなさい． [2N1-z0]
13
7点 部分点可
次の▱ABCDについて，AC＝BDであるとき▱ABCDが長方形となることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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14
次の問に答えなさい． [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で，PQ//ABであるとき，△PAB＝△QABとなることを証明しなさい．
PQ//ABなので
PH＝
△PABと で
底辺 は共通で，高さが等しいから は等しい．
よって
△PAB＝△QAB
PQ//ABなので
PH＝
△PABと で
底辺 は共通で，高さが等しいから は等しい．
よって
△PAB＝△QAB
| 余白に記入 |
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定期試験対策テスト 13/14 ページ
15
次の問に答えなさい． [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で，AD//BCであるとき，△ABO＝△DOCとなることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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定期試験対策テスト 14/14 ページ
16
次の問に答えなさい． [2P2-z0]
16
完答 6点
四角形ABCDは平行四辺形です．EF//BDのとき，△ABEと面積が等しい三角形をすべて見つけなさい．
17
次の問に答えなさい． [2P1-z0]
17
6点
四角形ABCDで，辺ABをAの方向に延長した直線上に点Eをとり，△BCEの面積が，四角形ABCDの面積と等しくなるように，点Eの位置を求めて△BCEを三角定規を使って描きなさい．
A
B
C
D
| 図に記入 |
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【解答例】
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1
次の空欄に適する語を書きなさい．
1
1点×6
| 空欄に記入 |
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び，記号≡を使って表しなさい．また，合同条件を書きなさい． [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
7cm A B 9cm C | 5cm 40° D E F | 5cm 55° G H I |
7cm J K 9cm L | 5cm 55° M N O | 5cm 40° P Q R |
| (1) | △GHI≡△MNO １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい |
| (2) | △ABC≡△JKL 直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい |
| (3) | △DEF≡△PQR 直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい． |
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【解答例】
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3
次のことがらについて，逆を答えなさい．また，それが正しい場合には○，間違っている場合には×を（ ）に書きなさい．逆が間違っている場合に反例を書きなさい． [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) △ABC≡△DEF ならば ∠C＝∠F である．
(2) a＝b ならば a＋c＝b＋c である．
(3) 整数a，bについて，aとbが奇数 ならば a＋bは偶数 である．
| (1) | 逆：∠C＝∠F ならば △ABC≡△DEF である． （×） 反例：AB≠DEの場合 |
| (2) | 逆：a＋c＝b＋c ならば a＝b である． （○） 反例： |
| (3) | 逆：整数a，bについて，a＋bが偶数 ならば aとbは奇数 である． （×） 反例：a＝2，b＝4の場合 |
4
次の空欄に適する語を書きなさい．
4
1点×4
| 空欄に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 3/14 ページ
5
次の問に答えなさい． [2i1-z0]
5
7点 部分点可
次の図で，AB＝CB，AD＝CDならば，BD⊥ACであることを証明しなさい．
△ABDと△CBDで
仮定より，
AB＝CB ---①
AD＝CD ---②
また，BDは共通だから
BD＝BD ---③
① ② ③ から， ３組の辺がそれぞれ等しい ので
△ABD≡△CBD
合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
∠BDA＝∠BDC ---④
④と ∠BDA＋∠BDC＝180°から
∠BDA＝90°
つまり，BD⊥AC
A
B
C
D
△ABDと△CBDで
仮定より，
AB＝CB ---①
AD＝CD ---②
また，BDは共通だから
BD＝BD ---③
① ② ③ から， ３組の辺がそれぞれ等しい ので
△ABD≡△CBD
合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
∠BDA＝∠BDC ---④
④と ∠BDA＋∠BDC＝180°から
∠BDA＝90°
つまり，BD⊥AC
| 空欄に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 4/14 ページ
6
次の問に答えなさい． [2i2-z0]
6
7点 部分点可
△ABCの辺AB，AC上にそれぞれ点D，Eがあり，BD＝CEとする．このとき，DC＝EBならば，△ABCは二等辺三角形になることを証明しなさい．
△DBCと△ECBで
仮定より
BD＝CE ---①
DC＝EB ---②
BCは共通なので
BC＝CB ---③
①②③より，３組の辺がそれぞれ等しいので
△DBC≡△ECB
合同な図形では，対応する角は等しいので
∠DBC＝∠ECB
したがって，△ABCは二等辺三角形である．
△DBCと△ECBで
仮定より
BD＝CE ---①
DC＝EB ---②
BCは共通なので
BC＝CB ---③
①②③より，３組の辺がそれぞれ等しいので
△DBC≡△ECB
合同な図形では，対応する角は等しいので
∠DBC＝∠ECB
したがって，△ABCは二等辺三角形である．
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 5/14 ページ
7
次の問に答えなさい． [2K0-z1]
7
1点×4
次の図で，AB＝BC＝CAならば，∠A＝∠B＝∠Cであることを証明しなさい．
△ABCで，仮定より
AB＝BC ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
∠A＝ ∠C ---②
また，仮定より
AB＝CA ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする 二等辺三角形 なので
∠B＝ ∠C ---④
② ④ から，
∠A＝∠B＝ ∠C
A
B
C
△ABCで，仮定より
AB＝BC ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
∠A＝ ∠C ---②
また，仮定より
AB＝CA ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする 二等辺三角形 なので
∠B＝ ∠C ---④
② ④ から，
∠A＝∠B＝ ∠C
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 6/14 ページ
8
次の問に答えなさい． [2K2-z0]
8
7点 部分点可
正三角形ABCの辺BC，CA上にそれぞれ点D，Eがあります．BD＝CEであるとき，∠BAD＝∠CBEになることを証明しなさい．
△ABDと△BCEで
仮定より
BD＝CE ---①
△ABCは正三角形だから，
AB＝BC ---②
∠ABD＝∠BCE＝60° ---③
①②③より，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABD≡△BCE
合同な図形では，対応する角は等しいので
∠BAD＝∠CBE
△ABDと△BCEで
仮定より
BD＝CE ---①
△ABCは正三角形だから，
AB＝BC ---②
∠ABD＝∠BCE＝60° ---③
①②③より，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABD≡△BCE
合同な図形では，対応する角は等しいので
∠BAD＝∠CBE
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 7/14 ページ
9
次の問に答えなさい． [2L3-z1]
9
1点×5
次の図で，∠ADB＝∠CDB，∠A＝∠C＝90°ならば，△ABD≡△CBDであることを証明しなさい．
△ABDと△CBDで
仮定より，
∠ADB＝ ∠CDB ---①
∠A＝ ∠C ---②
また，BDは共通だから
BD＝ BD ---③
①②③ から， 直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい ので
△ABD≡ △CBD
A
B
C
D
△ABDと△CBDで
仮定より，
∠ADB＝ ∠CDB ---①
∠A＝ ∠C ---②
また，BDは共通だから
BD＝ BD ---③
①②③ から， 直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい ので
△ABD≡ △CBD
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 8/14 ページ
10
次の問に答えなさい． [2L4-z0]
10
7点 部分点可
正方形ABCDの辺BC，CD上に，AE＝BFとなる点E，Fがあります．このとき，BE＝CFであることを証明しなさい．
△ABEと△BCFで
仮定より
AE＝BF ---①
四角形ABCDは正方形なので
AB＝BC ---②
∠ABE＝∠BCF＝90° ---③
①②③より，直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので
△ABE≡△BCF
合同な図形では，対応する辺は等しいので
BE＝CF
△ABEと△BCFで
仮定より
AE＝BF ---①
四角形ABCDは正方形なので
AB＝BC ---②
∠ABE＝∠BCF＝90° ---③
①②③より，直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので
△ABE≡△BCF
合同な図形では，対応する辺は等しいので
BE＝CF
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 9/14 ページ
11
次の問に答えなさい． [2M5-z0]
11
7点 部分点可
次の四角形ABCDで，BC//AD，BC＝ADならば，四角形ABCDは平行四辺形であることを証明しなさい．
△ABCと△CDAで
仮定より
BC＝AD ---①
BC//ADから平行線の錯角は等しいので
∠BCA＝∠DAC ---②
また，ACは共通だから
AC＝CA ---③
①②③ から，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABC≡△CDA
合同な図形では 対応する辺は等しいので
AB＝CD
四角形ABCDは，向かいあう辺が等しいので平行四辺形である
△ABCと△CDAで
仮定より
BC＝AD ---①
BC//ADから平行線の錯角は等しいので
∠BCA＝∠DAC ---②
また，ACは共通だから
AC＝CA ---③
①②③ から，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABC≡△CDA
合同な図形では 対応する辺は等しいので
AB＝CD
四角形ABCDは，向かいあう辺が等しいので平行四辺形である
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 10/14 ページ
12
次の問に答えなさい． [2M3-z0]
12
7点 部分点可
▱ABCDで，対角線の交点Oを通る直線を図のように描き，AD，BCとの交点を，それぞれ，E，Fとします．このとき，OE＝OFとなることを証明しなさい．
△BOFと△DOEで
平行四辺形の特徴より
BO＝DO ---①
AD//BC ---②
② から，平行線の錯角は等しいので
∠OBF＝∠ODE ---③
また，対頂角は等しいので
∠BOF＝∠DOE ---④
① ③ ④ から，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△BOF≡△DOE
合同な図形では 対応する辺は等しいので
OF＝OE
△BOFと△DOEで
平行四辺形の特徴より
BO＝DO ---①
AD//BC ---②
② から，平行線の錯角は等しいので
∠OBF＝∠ODE ---③
また，対頂角は等しいので
∠BOF＝∠DOE ---④
① ③ ④ から，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△BOF≡△DOE
合同な図形では 対応する辺は等しいので
OF＝OE
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 11/14 ページ
13
次の問に答えなさい． [2N1-z0]
13
7点 部分点可
次の▱ABCDについて，AC＝BDであるとき▱ABCDが長方形となることを証明しなさい．
△ABCと△DCBで
仮定より，
AC＝DB ---①
BCは，共通だから
BC＝CB ---②
平行四辺形の向かい合う辺は等しいので
AB＝DC ---③
① ② ③ から，３組の辺がそれぞれ等しいので
△ABC≡△DCB
合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
∠ABC＝∠DCB ---④
平行四辺形の向かい合う角は等しいから，④より，４つの角はすべて等しくなる．したがって，四角形ABCDは長方形である．
△ABCと△DCBで
仮定より，
AC＝DB ---①
BCは，共通だから
BC＝CB ---②
平行四辺形の向かい合う辺は等しいので
AB＝DC ---③
① ② ③ から，３組の辺がそれぞれ等しいので
△ABC≡△DCB
合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
∠ABC＝∠DCB ---④
平行四辺形の向かい合う角は等しいから，④より，４つの角はすべて等しくなる．したがって，四角形ABCDは長方形である．
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 12/14 ページ
14
次の問に答えなさい． [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で，PQ//ABであるとき，△PAB＝△QABとなることを証明しなさい．
PQ//ABなので
PH＝ QK
△PABと △QAB で
底辺 AB は共通で，高さが等しいから 面積 は等しい．
よって
△PAB＝△QAB
PQ//ABなので
PH＝ QK
△PABと △QAB で
底辺 AB は共通で，高さが等しいから 面積 は等しい．
よって
△PAB＝△QAB
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 13/14 ページ
15
次の問に答えなさい． [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で，AD//BCであるとき，△ABO＝△DOCとなることを証明しなさい．
△ABCは，△ABOと△OBCに分けられるので
△ABC＝△ABO＋△OBC ---①
△DBCは，△DOCと△OBCに分けられるので
△DBC＝△DOC＋△OBC ---②
AD//BCなので
△ABC＝△DBC ---③
①②③より
△ABO＝△DOC
△ABCは，△ABOと△OBCに分けられるので
△ABC＝△ABO＋△OBC ---①
△DBCは，△DOCと△OBCに分けられるので
△DBC＝△DOC＋△OBC ---②
AD//BCなので
△ABC＝△DBC ---③
①②③より
△ABO＝△DOC
| 余白に記入 |
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