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図形の性質と証明
定期試験対策テスト    時間 60分        1/14 ページ
1
次の空欄に適する語を書きなさい.
1
1点×6
(1) AB=ACである二等辺三角形ABCで底辺の両端の角∠Bと∠Cを      といいます   [2i3-z0]
(2) 直角三角形で,直角に対する辺を      といいます   [2i3-z0]
(3) 頂角が60°の二等辺三角形は            です.   [2i3-z0]
(4) 証明されたことがらのうち,基本になるものを      といいます.   [2i3-z0]
(5) 平行四辺形は                        角がそれぞれ等しい   [2M4-z0]
(6) 平行四辺形は         がそれぞれの中点で交わる   [2M4-z0]
空欄に記入
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び,記号≡を使って表しなさい.また,合同条件を書きなさい.   [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
8cm
45°
A
B
C

8cm
45°
D
E
F

3cm
35°
G
H
I

5cm
J
K
7cm
L

3cm
35°
M
N
O

5cm
P
Q
7cm
R

(1)



(2)



(3)



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定期試験対策テスト        2/14 ページ
3
次のことがらについて,逆を答えなさい.また,それが正しい場合には○,間違っている場合には×を(    )に書きなさい.逆が間違っている場合に反例を書きなさい.   [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) △ABCと△DEFについて AB=DE,BC=EF,∠B=∠E ならば △ABC≡△DEF である.
(2) 整数abについて,abが偶数 ならば abは偶数 である.
(3) △ABCについて ∠A+∠B=90°ならば ∠C=90°である.
(1) 逆:
(     )
反例:

(2) 逆:
(     )
反例:

(3) 逆:
(     )
反例:

4
次の空欄に適する語を書きなさい.
4
1点×4
(1) ▱ABCDについて,AC=BDのとき,この四角形は         になります.   [2N0-z0]
(2) 平行四辺形の         の長さが等しく垂直に交わるとき,この四角形は正方形になります.   [2N0-z0]
(3)          は,4つの角がすべて等しい四角形と定義されます.   [2N0-z0]
(4) ▱ABCDについて,AB=ADのとき,この四角形は         になります.   [2N0-z0]
空欄に記入
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5
次の問に答えなさい.   [2i0-z0]
5
7点 部分点可
次の図で,AB=CBならば,∠A=∠Cであることを証明しなさい.
A
B
C
D


空欄に記入
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6
次の問に答えなさい.   [2i2-z0]
6
7点 部分点可
二等辺三角形ABCの底角∠B,∠Cの二等分線の交点をDとするとき,DB=DCであることを証明しなさい.


余白に記入
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7
次の問に答えなさい.   [2K0-z1]
7
1点×4
次の図で,AB=BC=CAならば,∠A=∠B=∠Cであることを証明しなさい.
A
B
C


△ABCで,仮定より
    AB=BC    ---①

①から,△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
    ∠A=          ---②

また,仮定より
    AB=CA    ---③

③から,△ABCはBCを底辺とする                  なので
    ∠B=          ---④

② ④ から,
    ∠A=∠B=      
余白に記入
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8
次の問に答えなさい.   [2K2-z0]
8
7点 部分点可
次の図のように線分BD上に2つの正三角形ABCとECDがあります.点A,点Dおよび点B,点Eをそれぞれ結んだとき,△ACD≡△BCEになることを証明しなさい.


余白に記入
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9
次の問に答えなさい.   [2L2-z1]
9
1点×5
次の図で,AB=BC,∠ADB=∠CDB=90°ならば,△ABD≡△CBDを証明しなさい.
A
B
C
D


△ABDと△CBDで
仮定より
    AB=          ---①
    ∠ADB=      =90°    ---②

また,BDは共通だから
    BD=          ---③

①②③ から,                                                ので

    △ABD≡        
余白に記入
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10
次の問に答えなさい.   [2L4-z0]
10
7点 部分点可
AB=ACの二等辺三角形ABCがあります.B,Cから,それぞれAC,ABに垂線BE,CDをひくとき,△DBC≡△ECBであることを証明しなさい.


余白に記入
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11
次の問に答えなさい.   [2M1-z0]
11
7点 部分点可
次の図で,AB//DC,AD//BCならば,∠BAD=∠DCB,∠B=∠Dを証明しなさい.
A
B
C
D

余白に記入
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12
次の問に答えなさい.   [2M3-z0]
12
7点 部分点可
次の図の平行四辺形ABCDで,辺BC,辺AD上の点をそれぞれM,Nとする.BM=DNならば,四角形AMCNは平行四辺形であることを証明しなさい.
A
B
C
D
M
N
余白に記入
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定期試験対策テスト        11/14 ページ
13
次の問に答えなさい.   [2N2-z0]
13
7点 部分点可
ひし形ABCDについてAC⊥BDとなることを証明しなさい.


余白に記入
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定期試験対策テスト        12/14 ページ
14
次の問に答えなさい.   [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で,△PAB=△QABであるとき,PQ//ABとなることを証明しなさい.


仮定より,
    △PAB=             

      を共通な底辺とみると,高さは等しいので
    PH=      

よって
                         
余白に記入
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15
次の問に答えなさい.   [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で,DE//BCであるとき,△ABE=△ACDとなることを証明しなさい.


余白に記入
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定期試験対策テスト        14/14 ページ
16
次の問に答えなさい.   [2P2-z0]
16
完答 6点
四角形ABCDは平行四辺形です.EF//BDのとき,△ABEと面積が等しい三角形をすべて見つけなさい.




 
17
次の問に答えなさい.   [2P1-z0]
17
6点
四角形ABCDで,辺ABをBの方向に延長した直線上に点Eをとり,△AEDの面積が,四角形ABCDの面積と等しくなるように,点Eの位置を求めて△AEDを三角定規を使って描きなさい.
A
B
C
D
図に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト    時間 60分        1/14 ページ
1
次の空欄に適する語を書きなさい.
1
1点×6
(1) AB=ACである二等辺三角形ABCで底辺の両端の角∠Bと∠Cを底角といいます   [2i3-z0]
(2) 直角三角形で,直角に対する辺を斜辺といいます   [2i3-z0]
(3) 頂角が60°の二等辺三角形は正三角形です.   [2i3-z0]
(4) 証明されたことがらのうち,基本になるものを定理といいます.   [2i3-z0]
(5) 平行四辺形は2組の向かいあう角がそれぞれ等しい   [2M4-z0]
(6) 平行四辺形は対角線がそれぞれの中点で交わる   [2M4-z0]
空欄に記入
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び,記号≡を使って表しなさい.また,合同条件を書きなさい.   [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
8cm
45°
A
B
C

8cm
45°
D
E
F

3cm
35°
G
H
I

5cm
J
K
7cm
L

3cm
35°
M
N
O

5cm
P
Q
7cm
R

(1)   △ABC≡△DEF  1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
(2) △JKL≡△PQR  直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい
(3) △GHI≡△MNO  直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい.
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【解答例】
定期試験対策テスト        2/14 ページ
3
次のことがらについて,逆を答えなさい.また,それが正しい場合には○,間違っている場合には×を(    )に書きなさい.逆が間違っている場合に反例を書きなさい.   [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) △ABCと△DEFについて AB=DE,BC=EF,∠B=∠E ならば △ABC≡△DEF である.
(2) 整数abについて,abが偶数 ならば abは偶数 である.
(3) △ABCについて ∠A+∠B=90°ならば ∠C=90°である.
(1)  逆:△ABCと△DEFについて △ABC≡△DEF ならば AB=DE,BC=EF,∠B=∠E である.  (○) 
反例: 
(2)  逆:整数abについて,abが偶数 ならば abは偶数 である.  (×) 
反例:a=1,b=3の場合 
(3)  逆:△ABCについて ∠C=90°ならば ∠A+∠B=90°である.  (○) 
反例: 
4
次の空欄に適する語を書きなさい.
4
1点×4
(1) ▱ABCDについて,AC=BDのとき,この四角形は長方形になります.   [2N0-z0]
(2) 平行四辺形の対角線の長さが等しく垂直に交わるとき,この四角形は正方形になります.   [2N0-z0]
(3) 長方形は,4つの角がすべて等しい四角形と定義されます.   [2N0-z0]
(4) ▱ABCDについて,AB=ADのとき,この四角形はひし形になります.   [2N0-z0]
空欄に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        3/14 ページ
5
次の問に答えなさい.   [2i0-z0]
5
7点 部分点可
次の図で,AB=CBならば,∠A=∠Cであることを証明しなさい.
A
B
C
D


ACの中点を点Dとおく
△ABDと△CBDで

点DはACの中点なので
    AD=CD    ---①

仮定より,
    AB=CB    ---②

また,BDは共通だから
    BD=BD    ---③

① ② ③ から, 3組の辺がそれぞれ等しい ので

    △ABD≡△CBD

合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので

    ∠A=∠C
空欄に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        4/14 ページ
6
次の問に答えなさい.   [2i2-z0]
6
7点 部分点可
二等辺三角形ABCの底角∠B,∠Cの二等分線の交点をDとするとき,DB=DCであることを証明しなさい.


仮定より
     1     ---①
 ∠DBC=∠ABC
  2 
     1     ---②
 ∠DCB=∠ACB
  2 
二等辺三角形の2つの底角は等しいので
    ∠ABC=∠ACB    ---③

①②③より
    ∠DBC=∠DCB

2つの角が等しい三角形は二等辺三角形であるから
    DB=DC
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        5/14 ページ
7
次の問に答えなさい.   [2K0-z1]
7
1点×4
次の図で,AB=BC=CAならば,∠A=∠B=∠Cであることを証明しなさい.
A
B
C


△ABCで,仮定より
    AB=BC    ---①

①から,△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
    ∠A=  ∠C      ---②

また,仮定より
    AB=CA    ---③

③から,△ABCはBCを底辺とする 二等辺三角形 なので
    ∠B=  ∠C      ---④

② ④ から,
    ∠A=∠B=  ∠C  
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        6/14 ページ
8
次の問に答えなさい.   [2K2-z0]
8
7点 部分点可
次の図のように線分BD上に2つの正三角形ABCとECDがあります.点A,点Dおよび点B,点Eをそれぞれ結んだとき,△ACD≡△BCEになることを証明しなさい.


△ACDと△BCEで
仮定より,△ABC,△ECDは正三角形だから,

    AC=BC    ---①
    CD=CE    ---②
    ∠ECD=∠ACB=60°    ---③

また,

    ∠ACD=∠ECD+∠ACE    ---④
    ∠BCE=∠ACB+∠ACE    ---⑤

③④⑤より

    ∠ACD=∠BCE    ---⑥

①②⑥より,2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

    △ACD≡△BCE
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        7/14 ページ
9
次の問に答えなさい.   [2L2-z1]
9
1点×5
次の図で,AB=BC,∠ADB=∠CDB=90°ならば,△ABD≡△CBDを証明しなさい.
A
B
C
D


△ABDと△CBDで
仮定より
    AB=  CB      ---①
    ∠ADB=  ∠CDB  =90°    ---②

また,BDは共通だから
    BD= BD     ---③

①②③ から, 直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい ので

    △ABD≡ △CBD 
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【解答例】
定期試験対策テスト        8/14 ページ
10
次の問に答えなさい.   [2L4-z0]
10
7点 部分点可
AB=ACの二等辺三角形ABCがあります.B,Cから,それぞれAC,ABに垂線BE,CDをひくとき,△DBC≡△ECBであることを証明しなさい.


△DBCと△ECBで
仮定より
    ∠BDC=∠CEB=90°    ---①

△ABCは二等辺三角形なので
    ∠DBC=∠ECB    ---②

BCは共通なので
    BC=CB    ---③

①②③より,直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので
    △DBC≡△ECB
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【解答例】
定期試験対策テスト        9/14 ページ
11
次の問に答えなさい.   [2M1-z0]
11
7点 部分点可
次の図で,AB//DC,AD//BCならば,∠BAD=∠DCB,∠B=∠Dを証明しなさい.
A
B
C
D

△ABCと△CDAで
平行線の錯角は等しいので
    AB//DCから∠BAC=∠DCA    ---①
    AD//BCから∠DAC=∠BCA    ---②

また,ACは共通だから
    AC=CA    ---③

①②③ から,1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
    △ABC≡△CDA
合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
    ∠B=∠D

また,
    ∠BAD=∠BAC+∠DAC    ---④
    ∠DCB=∠DCA+∠BCA    ---⑤

① ② ④ ⑤ から,∠BAD=∠DCB
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【解答例】
定期試験対策テスト        10/14 ページ
12
次の問に答えなさい.   [2M3-z0]
12
7点 部分点可
次の図の平行四辺形ABCDで,辺BC,辺AD上の点をそれぞれM,Nとする.BM=DNならば,四角形AMCNは平行四辺形であることを証明しなさい.
A
B
C
D
M
N
仮定より,BM=DN    ---①

平行四辺形の向かい合う辺は等しいので
    BC=AD    ---②

① ② から,
    CM=NA    ---③

また,平行四辺形の向かい合う辺は平行だから
    CM//NA    ---④

③ ④ から,
1組の向かい合う辺が等しく平行な四角形は平行四辺形である
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【解答例】
定期試験対策テスト        11/14 ページ
13
次の問に答えなさい.   [2N2-z0]
13
7点 部分点可
ひし形ABCDについてAC⊥BDとなることを証明しなさい.


△ABOと△ADOで,AOは共通だから
    AO=AO    ---①

ひし形ABCDは,4つの辺すべてが等しいから
    AB=AD    ---②

ひし形ABCDは,平行四辺形なので
    BO=DO    ---③

① ② ③ から,3組の辺がそれぞれ等しいので
    △ABO≡△ADO

合同な図形では 対応する角は等しいので
    ∠AOB=∠AOD=∠90°

よって,AC⊥BD
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【解答例】
定期試験対策テスト        12/14 ページ
14
次の問に答えなさい.   [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で,△PAB=△QABであるとき,PQ//ABとなることを証明しなさい.


仮定より,
    △PAB= △QAB 

 AB を共通な底辺とみると,高さは等しいので
    PH= QK 

よって
     AB//PQ 
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【解答例】
定期試験対策テスト        13/14 ページ
15
次の問に答えなさい.   [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で,DE//BCであるとき,△ABE=△ACDとなることを証明しなさい.


△ABEは,△ADEと△DBEに分けられるので
    △ABE=△ADE+△DBE    ---①

△ADCは,△ADEと△DCEに分けられるので
    △ADC=△ADE+△DCE    ---②

DE//BCなので
    △DEB=△DCE    ---③

①②③より
    △ABE=△ADC
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【解答例】
定期試験対策テスト        14/14 ページ
16
次の問に答えなさい.   [2P2-z0]
16
完答 6点
四角形ABCDは平行四辺形です.EF//BDのとき,△ABEと面積が等しい三角形をすべて見つけなさい.
△DBE,△DBF,△DAF
17
次の問に答えなさい.   [2P1-z0]
17
6点
四角形ABCDで,辺ABをBの方向に延長した直線上に点Eをとり,△AEDの面積が,四角形ABCDの面積と等しくなるように,点Eの位置を求めて△AEDを三角定規を使って描きなさい.
A
B
C
D
E
図に記入
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