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図形の性質と証明
定期試験対策テスト    時間 60分        1/14 ページ
1
次の空欄に適する語を書きなさい.
1
1点×6
(1) AB=ACである二等辺三角形ABCで底辺の両端の角∠Bと∠Cを      といいます   [2i3-z0]
(2) AB=ACである二等辺三角形ABCで∠Aを      といいます   [2i3-z0]
(3) 正三角形は,                                          と定義されます.   [2i3-z0]
(4) AB=ACである二等辺三角形ABCで辺BCを      といいます   [2i3-z0]
(5) 平行四辺形は1組の向かいあう辺が等しく      である   [2M4-z0]
(6) 平行四辺形は                        辺がそれぞれ等しい   [2M4-z0]
空欄に記入
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び,記号≡を使って表しなさい.また,合同条件を書きなさい.   [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
8cm
A
7cm
B
C

9cm
D
E
13cm
F

9cm
35°
G
H
I

9cm
J
K
13cm
L

8cm
M
7cm
N
O

9cm
35°
P
Q
R

(1)



(2)



(3)



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定期試験対策テスト        2/14 ページ
3
次のことがらについて,逆を答えなさい.また,それが正しい場合には○,間違っている場合には×を(    )に書きなさい.逆が間違っている場合に反例を書きなさい.   [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) ab ならば acbc である.
(2) xが4の約数ならば,xは12の約数である.
(3) xy ならば x−6<y−6 である.
(1) 逆:
(     )
反例:

(2) 逆:
(     )
反例:

(3) 逆:
(     )
反例:

4
次の空欄に適する語を書きなさい.
4
1点×4
(1) ▱ABCDについて,AC=BDのとき,この四角形は         になります.   [2N0-z0]
(2) 平行四辺形の         の長さが等しく垂直に交わるとき,この四角形は正方形になります.   [2N0-z0]
(3) 平行四辺形の対角線の長さが等しいとき,この四角形は         になります.   [2N0-z0]
(4) ▱ABCDについて,AC⊥BDのとき,この四角形は         になります.   [2N0-z0]
空欄に記入
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5
次の問に答えなさい.   [2i0-z0]
5
7点 部分点可
次の図で,AB=CBならば,∠A=∠Cであることを証明しなさい.
A
B
C
D


空欄に記入
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6
次の問に答えなさい.   [2C-90]
6
7点 部分点可
二等辺三角形ABCの底角∠B,∠Cの二等分線の交点をDとするとき,DB=DCであることを証明しなさい.


余白に記入
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7
次の問に答えなさい.   [2K1-z1]
7
1点×4
次の図で,∠A=∠B=∠Cならば,AB=BC=CAであることを証明しなさい.
A
B
C

△ABCで,仮定より
    ∠A=∠C    ---①

①から,△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
    AB=          ---②

また,仮定より
    ∠B=∠C    ---③

③から,△ABCはBCを底辺とする                  なので
    AB=          ---④

② ④ から,
    AB=BC=      
余白に記入
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8
次の問に答えなさい.   [2K2-z0]
8
7点 部分点可
正三角形ABCの辺BC,CA上にそれぞれ点D,Eがあります.BD=CEであるとき,∠BAD=∠CBEになることを証明しなさい.


余白に記入
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9
次の問に答えなさい.   [2L3-z1]
9
1点×5
次の図で,∠ADB=∠CDB,∠A=∠C=90°ならば,△ABD≡△CBDであることを証明しなさい.
A
B
C
D

△ABDと△CBDで
仮定より,
    ∠ADB=          ---①
    ∠A=          ---②

また,BDは共通だから
    BD=          ---③

①②③ から,                                                ので

    △ABD≡        
余白に記入
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10
次の問に答えなさい.   [2L4-z0]
10
7点 部分点可
AB=ACの二等辺三角形ABCがあります.B,Cから,それぞれAC,ABに垂線BE,CDをひくとき,△DBC≡△ECBであることを証明しなさい.


余白に記入
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11
次の問に答えなさい.   [2M2-z0]
11
7点 部分点可
平行四辺形ABCDで,対角線の交点をOとして,AO=CO,BO=DOを証明しなさい.
A
B
C
D
O


余白に記入
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12
次の問に答えなさい.   [2M3-z0]
12
7点 部分点可
▱ABCDで,対角線の交点Oを通る直線を図のように描き,AD,BCとの交点を,それぞれ,E,Fとします.このとき,OE=OFとなることを証明しなさい.


余白に記入
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13
次の問に答えなさい.   [2N1-z0]
13
7点 部分点可
次の▱ABCDについて,AC=BDであるとき▱ABCDが長方形となることを証明しなさい.


余白に記入
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14
次の問に答えなさい.   [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で,△PAB=△QABであるとき,PQ//ABとなることを証明しなさい.


仮定より,
    △PAB=             

      を共通な底辺とみると,高さは等しいので
    PH=      

よって
                         
余白に記入
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15
次の問に答えなさい.   [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で,AD//BCであるとき,△ABO=△DOCとなることを証明しなさい.


余白に記入
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定期試験対策テスト        14/14 ページ
16
次の問に答えなさい.   [2P2-z0]
16
完答 6点
四角形ABCDで,AD//BCのとき,面積が等しい三角形の組をすべて見つけなさい.




 
17
次の問に答えなさい.   [2P1-z0]
17
6点
四角形ABCDが折れ線EFGで2つの部分ア,イに分かれています.点Eを通りそれぞれの部分の面積を変えないような直線を三角定規を使って描きなさい.
A
B
C
D
E
F
G
(ア)
(イ)
図に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト    時間 60分        1/14 ページ
1
次の空欄に適する語を書きなさい.
1
1点×6
(1) AB=ACである二等辺三角形ABCで底辺の両端の角∠Bと∠Cを底角といいます   [2i3-z0]
(2) AB=ACである二等辺三角形ABCで∠Aを頂角といいます   [2i3-z0]
(3) 正三角形は,3つの辺がすべて等しい三角形と定義されます.   [2i3-z0]
(4) AB=ACである二等辺三角形ABCで辺BCを底辺といいます   [2i3-z0]
(5) 平行四辺形は1組の向かいあう辺が等しく平行である   [2M4-z0]
(6) 平行四辺形は2組の向かいあう辺がそれぞれ等しい   [2M4-z0]
空欄に記入
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び,記号≡を使って表しなさい.また,合同条件を書きなさい.   [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
8cm
A
7cm
B
C

9cm
D
E
13cm
F

9cm
35°
G
H
I

9cm
J
K
13cm
L

8cm
M
7cm
N
O

9cm
35°
P
Q
R

(1)   △ABC≡△MNO  2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
(2) △DEF≡△JKL  直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい
(3) △GHI≡△PQR  直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい.
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【解答例】
定期試験対策テスト        2/14 ページ
3
次のことがらについて,逆を答えなさい.また,それが正しい場合には○,間違っている場合には×を(    )に書きなさい.逆が間違っている場合に反例を書きなさい.   [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) ab ならば acbc である.
(2) xが4の約数ならば,xは12の約数である.
(3) xy ならば x−6<y−6 である.
(1)  逆:acbc ならば ab である.  (○) 
反例: 
(2)  逆:xが12の約数ならば,xは4の約数である.  (×) 
反例:x=3の場合 
(3)  逆:x−6<y−6 ならば xy である.  (○) 
反例: 
4
次の空欄に適する語を書きなさい.
4
1点×4
(1) ▱ABCDについて,AC=BDのとき,この四角形は長方形になります.   [2N0-z0]
(2) 平行四辺形の対角線の長さが等しく垂直に交わるとき,この四角形は正方形になります.   [2N0-z0]
(3) 平行四辺形の対角線の長さが等しいとき,この四角形は長方形になります.   [2N0-z0]
(4) ▱ABCDについて,AC⊥BDのとき,この四角形はひし形になります.   [2N0-z0]
空欄に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        3/14 ページ
5
次の問に答えなさい.   [2i0-z0]
5
7点 部分点可
次の図で,AB=CBならば,∠A=∠Cであることを証明しなさい.
A
B
C
D


ACの中点を点Dとおく
△ABDと△CBDで

点DはACの中点なので
    AD=CD    ---①

仮定より,
    AB=CB    ---②

また,BDは共通だから
    BD=BD    ---③

① ② ③ から, 3組の辺がそれぞれ等しい ので

    △ABD≡△CBD

合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので

    ∠A=∠C
空欄に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        4/14 ページ
6
次の問に答えなさい.   [2C-90]
6
7点 部分点可
二等辺三角形ABCの底角∠B,∠Cの二等分線の交点をDとするとき,DB=DCであることを証明しなさい.


仮定より
     1     ---①
 ∠DBC=∠ABC
  2 
     1     ---②
 ∠DCB=∠ACB
  2 
二等辺三角形の2つの底角は等しいので
    ∠ABC=∠ACB    ---③

①②③より
    ∠DBC=∠DCB

2つの角が等しい三角形は二等辺三角形であるから
    DB=DC
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        5/14 ページ
7
次の問に答えなさい.   [2K1-z1]
7
1点×4
次の図で,∠A=∠B=∠Cならば,AB=BC=CAであることを証明しなさい.
A
B
C

△ABCで,仮定より
    ∠A=∠C    ---①

①から,△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
    AB=  BC      ---②

また,仮定より
    ∠B=∠C    ---③

③から,△ABCはBCを底辺とする 二等辺三角形 なので
    AB=  CA      ---④

② ④ から,
    AB=BC=  CA  
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        6/14 ページ
8
次の問に答えなさい.   [2K2-z0]
8
7点 部分点可
正三角形ABCの辺BC,CA上にそれぞれ点D,Eがあります.BD=CEであるとき,∠BAD=∠CBEになることを証明しなさい.


△ABDと△BCEで
仮定より

    BD=CE    ---①

△ABCは正三角形だから,

    AB=BC    ---②
    ∠ABD=∠BCE=60°    ---③

①②③より,2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

    △ABD≡△BCE

合同な図形では,対応する角は等しいので

    ∠BAD=∠CBE

余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        7/14 ページ
9
次の問に答えなさい.   [2L3-z1]
9
1点×5
次の図で,∠ADB=∠CDB,∠A=∠C=90°ならば,△ABD≡△CBDであることを証明しなさい.
A
B
C
D

△ABDと△CBDで
仮定より,
    ∠ADB=  ∠CDB      ---①
    ∠A=  ∠C      ---②

また,BDは共通だから
    BD= BD     ---③

①②③ から, 直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい ので

    △ABD≡ △CBD 
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        8/14 ページ
10
次の問に答えなさい.   [2L4-z0]
10
7点 部分点可
AB=ACの二等辺三角形ABCがあります.B,Cから,それぞれAC,ABに垂線BE,CDをひくとき,△DBC≡△ECBであることを証明しなさい.


△DBCと△ECBで
仮定より
    ∠BDC=∠CEB=90°    ---①

△ABCは二等辺三角形なので
    ∠DBC=∠ECB    ---②

BCは共通なので
    BC=CB    ---③

①②③より,直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので
    △DBC≡△ECB
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【解答例】
定期試験対策テスト        9/14 ページ
11
次の問に答えなさい.   [2M2-z0]
11
7点 部分点可
平行四辺形ABCDで,対角線の交点をOとして,AO=CO,BO=DOを証明しなさい.
A
B
C
D
O


平行線の錯角は等しいので,AD//BCより
    ∠OAD=∠OCB    ---①
    ∠ODA=∠OBC    ---②

平行四辺形の,向かいあう辺は等しいので
    AD=CB    ---③

①②③ から,1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
    △OAD≡△OCB

合同な図形では 対応する辺の大きさは等しいので
    AO=CO,BO=DO
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        10/14 ページ
12
次の問に答えなさい.   [2M3-z0]
12
7点 部分点可
▱ABCDで,対角線の交点Oを通る直線を図のように描き,AD,BCとの交点を,それぞれ,E,Fとします.このとき,OE=OFとなることを証明しなさい.


△BOFと△DOEで
平行四辺形の特徴より
    BO=DO    ---①
    AD//BC    ---②

② から,平行線の錯角は等しいので
    ∠OBF=∠ODE    ---③

また,対頂角は等しいので
    ∠BOF=∠DOE    ---④

① ③ ④ から,
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
    △BOF≡△DOE

合同な図形では 対応する辺は等しいので
    OF=OE
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【解答例】
定期試験対策テスト        11/14 ページ
13
次の問に答えなさい.   [2N1-z0]
13
7点 部分点可
次の▱ABCDについて,AC=BDであるとき▱ABCDが長方形となることを証明しなさい.


△ABCと△DCBで
仮定より,
    AC=DB    ---①

BCは,共通だから
    BC=CB    ---②

平行四辺形の向かい合う辺は等しいので
    AB=DC    ---③

① ② ③ から,3組の辺がそれぞれ等しいので
    △ABC≡△DCB

合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
    ∠ABC=∠DCB    ---④

平行四辺形の向かい合う角は等しいから,④より,4つの角はすべて等しくなる.したがって,四角形ABCDは長方形である.
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【解答例】
定期試験対策テスト        12/14 ページ
14
次の問に答えなさい.   [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で,△PAB=△QABであるとき,PQ//ABとなることを証明しなさい.


仮定より,
    △PAB= △QAB 

 AB を共通な底辺とみると,高さは等しいので
    PH= QK 

よって
     AB//PQ 
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【解答例】
定期試験対策テスト        13/14 ページ
15
次の問に答えなさい.   [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で,AD//BCであるとき,△ABO=△DOCとなることを証明しなさい.


△ABCは,△ABOと△OBCに分けられるので
    △ABC=△ABO+△OBC    ---①

△DBCは,△DOCと△OBCに分けられるので
    △DBC=△DOC+△OBC    ---②

AD//BCなので
    △ABC=△DBC    ---③

①②③より
    △ABO=△DOC
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        14/14 ページ
16
次の問に答えなさい.   [2P2-z0]
16
完答 6点
四角形ABCDで,AD//BCのとき,面積が等しい三角形の組をすべて見つけなさい.
△ABCと△DBC,△ABDと△ACD,△OABと△ODC
17
次の問に答えなさい.   [2P1-z0]
17
6点
四角形ABCDが折れ線EFGで2つの部分ア,イに分かれています.点Eを通りそれぞれの部分の面積を変えないような直線を三角定規を使って描きなさい.
A
B
C
D
E
F
G
(ア)
(イ)
図に記入
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