図形の性質と証明
定期試験対策テスト 時間 60分 1/14 ページ
点
1
次の空欄に適する語を書きなさい．
1
1点×6
| 空欄に記入 |
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び，記号≡を使って表しなさい．また，合同条件を書きなさい． [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
5cm A B 7cm C | 5cm D E 7cm F | 6cm 65° G H I |
4cm J 2cm K L | 4cm M 2cm N O | 6cm 65° P Q R |
| (1) | |
| (2) | |
| (3) |
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図形の性質と証明
定期試験対策テスト 2/14 ページ
3
次のことがらについて，逆を答えなさい．また，それが正しい場合には○，間違っている場合には×を（ ）に書きなさい．逆が間違っている場合に反例を書きなさい． [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) x＜y ならば x−6＜y−6 である．
(2) xが4の約数ならば，xは12の約数である．
(3) △ABCと△DEFについて AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF ならば △ABC≡△DEF である．
| (1) | 逆： ( ) 反例： |
| (2) | 逆： ( ) 反例： |
| (3) | 逆： ( ) 反例： |
4
次の空欄に適する語を書きなさい．
4
1点×4
▱ABCDについて，AC＝BD，AC⊥BDのとき，この四角形は| 空欄に記入 |
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定期試験対策テスト 3/14 ページ
5
次の問に答えなさい． [2i1-z0]
5
7点 部分点可
次の図で，AB＝CB，AD＝CDならば，BD⊥ACであることを証明しなさい．
A
B
C
D
| 空欄に記入 |
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定期試験対策テスト 4/14 ページ
6
次の問に答えなさい． [2i2-z0]
6
7点 部分点可
△ABCの辺AB，AC上にそれぞれ点D，Eがあり，BD＝CEとする．このとき，DC＝EBならば，△ABCは二等辺三角形になることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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7
次の問に答えなさい． [2K1-z1]
7
1点×4
次の図で，∠A＝∠B＝∠Cならば，AB＝BC＝CAであることを証明しなさい．
△ABCで，仮定より
∠A＝∠C ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
AB＝ ---②
また，仮定より
∠B＝∠C ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする なので
AB＝ ---④
② ④ から，
AB＝BC＝
A
B
C
△ABCで，仮定より
∠A＝∠C ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
AB＝ ---②
また，仮定より
∠B＝∠C ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする なので
AB＝ ---④
② ④ から，
AB＝BC＝
| 余白に記入 |
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8
次の問に答えなさい． [2K2-z0]
8
7点 部分点可
次の図で，△ABCは正三角形です．辺AB，BC，CA上に，AD＝BE＝CFとなるような点D，E，Fをとります．このとき，△DEFが正三角形になることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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9
次の問に答えなさい． [2L2-z1]
9
1点×5
次の図で，AB＝BC，∠ADB＝∠CDB＝90°ならば，△ABD≡△CBDを証明しなさい．
△ABDと△CBDで
仮定より
AB＝ ---①
∠ADB＝ ＝90° ---②
また，BDは共通だから
BD＝ ---③
①②③ から， ので
△ABD≡
A
B
C
D
△ABDと△CBDで
仮定より
AB＝ ---①
∠ADB＝ ＝90° ---②
また，BDは共通だから
BD＝ ---③
①②③ から， ので
△ABD≡
| 余白に記入 |
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10
次の問に答えなさい． [2L4-z0]
10
7点 部分点可
正方形ABCDの辺BC，CD上に，AE＝BFとなる点E，Fがあります．このとき，BE＝CFであることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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定期試験対策テスト 9/14 ページ
11
次の問に答えなさい． [2M2-z0]
11
7点 部分点可
平行四辺形ABCDで，対角線の交点をOとして，AO＝CO，BO＝DOを証明しなさい．
A
B
C
D
O
| 余白に記入 |
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12
次の問に答えなさい． [2M3-z0]
12
7点 部分点可
▱ABCDで，対角線の交点Oを通る直線を図のように描き，AD，BCとの交点を，それぞれ，E，Fとします．このとき，OE＝OFとなることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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13
次の問に答えなさい． [2N1-z0]
13
7点 部分点可
次の長方形ABCDについてAC＝BDとなることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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14
次の問に答えなさい． [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で，PQ//ABであるとき，△PAB＝△QABとなることを証明しなさい．
PQ//ABなので
PH＝
△PABと で
底辺 は共通で，高さが等しいから は等しい．
よって
△PAB＝△QAB
PQ//ABなので
PH＝
△PABと で
底辺 は共通で，高さが等しいから は等しい．
よって
△PAB＝△QAB
| 余白に記入 |
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定期試験対策テスト 13/14 ページ
15
次の問に答えなさい． [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で，DE//BCであるとき，△ABE＝△ACDとなることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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定期試験対策テスト 14/14 ページ
16
次の問に答えなさい． [2P2-z0]
16
完答 6点
四角形ABCDは平行四辺形です．EF//ACのとき，△AEBと面積が等しい三角形をすべて見つけなさい．
17
次の問に答えなさい． [2P1-z0]
17
6点
四角形ABCDが折れ線EFGで２つの部分ア，イに分かれています．点Eを通りそれぞれの部分の面積を変えないような直線を三角定規を使って描きなさい．
A
B
C
D
E
F
G
(ア)
(イ)
| 図に記入 |
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【解答例】
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1
次の空欄に適する語を書きなさい．
1
1点×6
| 空欄に記入 |
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び，記号≡を使って表しなさい．また，合同条件を書きなさい． [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
5cm A B 7cm C | 5cm D E 7cm F | 6cm 65° G H I |
4cm J 2cm K L | 4cm M 2cm N O | 6cm 65° P Q R |
| (1) | △JKL≡△MNO ２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい |
| (2) | △ABC≡△DEF 直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい |
| (3) | △GHI≡△PQR 直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい． |
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【解答例】
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3
次のことがらについて，逆を答えなさい．また，それが正しい場合には○，間違っている場合には×を（ ）に書きなさい．逆が間違っている場合に反例を書きなさい． [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) x＜y ならば x−6＜y−6 である．
(2) xが4の約数ならば，xは12の約数である．
(3) △ABCと△DEFについて AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF ならば △ABC≡△DEF である．
| (1) | 逆：x−6＜y−6 ならば x＜y である． （○） 反例： |
| (2) | 逆：xが12の約数ならば，xは4の約数である． （×） 反例：x＝3の場合 |
| (3) | 逆：△ABCと△DEFについて △ABC≡△DEF ならば AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF である． （○） 反例： |
4
次の空欄に適する語を書きなさい．
4
1点×4
| 空欄に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 3/14 ページ
5
次の問に答えなさい． [2i1-z0]
5
7点 部分点可
次の図で，AB＝CB，AD＝CDならば，BD⊥ACであることを証明しなさい．
△ABDと△CBDで
仮定より，
AB＝CB ---①
AD＝CD ---②
また，BDは共通だから
BD＝BD ---③
① ② ③ から， ３組の辺がそれぞれ等しい ので
△ABD≡△CBD
合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
∠BDA＝∠BDC ---④
④と ∠BDA＋∠BDC＝180°から
∠BDA＝90°
つまり，BD⊥AC
A
B
C
D
△ABDと△CBDで
仮定より，
AB＝CB ---①
AD＝CD ---②
また，BDは共通だから
BD＝BD ---③
① ② ③ から， ３組の辺がそれぞれ等しい ので
△ABD≡△CBD
合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
∠BDA＝∠BDC ---④
④と ∠BDA＋∠BDC＝180°から
∠BDA＝90°
つまり，BD⊥AC
| 空欄に記入 |
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【解答例】
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6
次の問に答えなさい． [2i2-z0]
6
7点 部分点可
△ABCの辺AB，AC上にそれぞれ点D，Eがあり，BD＝CEとする．このとき，DC＝EBならば，△ABCは二等辺三角形になることを証明しなさい．
△DBCと△ECBで
仮定より
BD＝CE ---①
DC＝EB ---②
BCは共通なので
BC＝CB ---③
①②③より，３組の辺がそれぞれ等しいので
△DBC≡△ECB
合同な図形では，対応する角は等しいので
∠DBC＝∠ECB
したがって，△ABCは二等辺三角形である．
△DBCと△ECBで
仮定より
BD＝CE ---①
DC＝EB ---②
BCは共通なので
BC＝CB ---③
①②③より，３組の辺がそれぞれ等しいので
△DBC≡△ECB
合同な図形では，対応する角は等しいので
∠DBC＝∠ECB
したがって，△ABCは二等辺三角形である．
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 5/14 ページ
7
次の問に答えなさい． [2K1-z1]
7
1点×4
次の図で，∠A＝∠B＝∠Cならば，AB＝BC＝CAであることを証明しなさい．
△ABCで，仮定より
∠A＝∠C ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
AB＝ BC ---②
また，仮定より
∠B＝∠C ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする 二等辺三角形 なので
AB＝ CA ---④
② ④ から，
AB＝BC＝ CA
A
B
C
△ABCで，仮定より
∠A＝∠C ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
AB＝ BC ---②
また，仮定より
∠B＝∠C ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする 二等辺三角形 なので
AB＝ CA ---④
② ④ から，
AB＝BC＝ CA
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 6/14 ページ
8
次の問に答えなさい． [2K2-z0]
8
7点 部分点可
次の図で，△ABCは正三角形です．辺AB，BC，CA上に，AD＝BE＝CFとなるような点D，E，Fをとります．このとき，△DEFが正三角形になることを証明しなさい．
△ADFと△BEDと△CFEで
仮定より
AB＝BC＝CA ---①
AD＝BE＝CF ---②
∠FAD＝∠DBE＝∠ECF＝60° ---③
①②より
AF＝BD＝CE ---④
②③④より，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ADF≡△BED≡△CFE
したがって，
FD＝DE＝EF
３つの辺の長さが等しいので，△DEFは正三角形である．
△ADFと△BEDと△CFEで
仮定より
AB＝BC＝CA ---①
AD＝BE＝CF ---②
∠FAD＝∠DBE＝∠ECF＝60° ---③
①②より
AF＝BD＝CE ---④
②③④より，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ADF≡△BED≡△CFE
したがって，
FD＝DE＝EF
３つの辺の長さが等しいので，△DEFは正三角形である．
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 7/14 ページ
9
次の問に答えなさい． [2L2-z1]
9
1点×5
次の図で，AB＝BC，∠ADB＝∠CDB＝90°ならば，△ABD≡△CBDを証明しなさい．
△ABDと△CBDで
仮定より
AB＝ CB ---①
∠ADB＝ ∠CDB ＝90° ---②
また，BDは共通だから
BD＝ BD ---③
①②③ から， 直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい ので
△ABD≡ △CBD
A
B
C
D
△ABDと△CBDで
仮定より
AB＝ CB ---①
∠ADB＝ ∠CDB ＝90° ---②
また，BDは共通だから
BD＝ BD ---③
①②③ から， 直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい ので
△ABD≡ △CBD
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 8/14 ページ
10
次の問に答えなさい． [2L4-z0]
10
7点 部分点可
正方形ABCDの辺BC，CD上に，AE＝BFとなる点E，Fがあります．このとき，BE＝CFであることを証明しなさい．
△ABEと△BCFで
仮定より
AE＝BF ---①
四角形ABCDは正方形なので
AB＝BC ---②
∠ABE＝∠BCF＝90° ---③
①②③より，直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので
△ABE≡△BCF
合同な図形では，対応する辺は等しいので
BE＝CF
△ABEと△BCFで
仮定より
AE＝BF ---①
四角形ABCDは正方形なので
AB＝BC ---②
∠ABE＝∠BCF＝90° ---③
①②③より，直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので
△ABE≡△BCF
合同な図形では，対応する辺は等しいので
BE＝CF
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 9/14 ページ
11
次の問に答えなさい． [2M2-z0]
11
7点 部分点可
平行四辺形ABCDで，対角線の交点をOとして，AO＝CO，BO＝DOを証明しなさい．
平行線の錯角は等しいので，AD//BCより
∠OAD＝∠OCB ---①
∠ODA＝∠OBC ---②
平行四辺形の，向かいあう辺は等しいので
AD＝CB ---③
①②③ から，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△OAD≡△OCB
合同な図形では 対応する辺の大きさは等しいので
AO＝CO，BO＝DO
A
B
C
D
O
平行線の錯角は等しいので，AD//BCより
∠OAD＝∠OCB ---①
∠ODA＝∠OBC ---②
平行四辺形の，向かいあう辺は等しいので
AD＝CB ---③
①②③ から，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△OAD≡△OCB
合同な図形では 対応する辺の大きさは等しいので
AO＝CO，BO＝DO
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 10/14 ページ
12
次の問に答えなさい． [2M3-z0]
12
7点 部分点可
▱ABCDで，対角線の交点Oを通る直線を図のように描き，AD，BCとの交点を，それぞれ，E，Fとします．このとき，OE＝OFとなることを証明しなさい．
△BOFと△DOEで
平行四辺形の特徴より
BO＝DO ---①
AD//BC ---②
② から，平行線の錯角は等しいので
∠OBF＝∠ODE ---③
また，対頂角は等しいので
∠BOF＝∠DOE ---④
① ③ ④ から，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△BOF≡△DOE
合同な図形では 対応する辺は等しいので
OF＝OE
△BOFと△DOEで
平行四辺形の特徴より
BO＝DO ---①
AD//BC ---②
② から，平行線の錯角は等しいので
∠OBF＝∠ODE ---③
また，対頂角は等しいので
∠BOF＝∠DOE ---④
① ③ ④ から，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△BOF≡△DOE
合同な図形では 対応する辺は等しいので
OF＝OE
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 11/14 ページ
13
次の問に答えなさい． [2N1-z0]
13
7点 部分点可
次の長方形ABCDについてAC＝BDとなることを証明しなさい．
△ABCと△DCBで
BCは，共通だから
BC＝CB ---①
長方形ABCDは，平行四辺形だから
AB＝DC ---②
長方形の性質より
∠ABC＝∠DCB＝90° ---③
① ② ③ から，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABC≡△DCB
合同な図形では 対応する辺の大きさは等しいので
AC＝DB
△ABCと△DCBで
BCは，共通だから
BC＝CB ---①
長方形ABCDは，平行四辺形だから
AB＝DC ---②
長方形の性質より
∠ABC＝∠DCB＝90° ---③
① ② ③ から，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABC≡△DCB
合同な図形では 対応する辺の大きさは等しいので
AC＝DB
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 12/14 ページ
14
次の問に答えなさい． [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で，PQ//ABであるとき，△PAB＝△QABとなることを証明しなさい．
PQ//ABなので
PH＝ QK
△PABと △QAB で
底辺 AB は共通で，高さが等しいから 面積 は等しい．
よって
△PAB＝△QAB
PQ//ABなので
PH＝ QK
△PABと △QAB で
底辺 AB は共通で，高さが等しいから 面積 は等しい．
よって
△PAB＝△QAB
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 13/14 ページ
15
次の問に答えなさい． [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で，DE//BCであるとき，△ABE＝△ACDとなることを証明しなさい．
△ABEは，△ADEと△DBEに分けられるので
△ABE＝△ADE＋△DBE ---①
△ADCは，△ADEと△DCEに分けられるので
△ADC＝△ADE＋△DCE ---②
DE//BCなので
△DEB＝△DCE ---③
①②③より
△ABE＝△ADC
△ABEは，△ADEと△DBEに分けられるので
△ABE＝△ADE＋△DBE ---①
△ADCは，△ADEと△DCEに分けられるので
△ADC＝△ADE＋△DCE ---②
DE//BCなので
△DEB＝△DCE ---③
①②③より
△ABE＝△ADC
| 余白に記入 |
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