図形の性質と証明
定期試験対策テスト 時間 60分 1/14 ページ
点
1
次の空欄に適する語を書きなさい．
1
1点×6
| 空欄に記入 |
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び，記号≡を使って表しなさい．また，合同条件を書きなさい． [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
8cm A 4cm B C | 8cm D E 13cm F | 4cm 50° G H I |
8cm J 4cm K L | 8cm M N 13cm O | 4cm 50° P Q R |
| (1) | |
| (2) | |
| (3) |
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定期試験対策テスト 2/14 ページ
3
次のことがらについて，逆を答えなさい．また，それが正しい場合には○，間違っている場合には×を（ ）に書きなさい．逆が間違っている場合に反例を書きなさい． [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) △ABCについて AB＝BC ならば ∠A＝∠C である．
(2) x＜y ならば x−6＜y−6 である．
(3) △ABCについて ∠A＋∠B＝90°ならば ∠C＝90°である．
| (1) | 逆： ( ) 反例： |
| (2) | 逆： ( ) 反例： |
| (3) | 逆： ( ) 反例： |
4
次の空欄に適する語を書きなさい．
4
1点×4
▱ABCDについて，AC⊥BDのとき，この四角形は| 空欄に記入 |
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定期試験対策テスト 3/14 ページ
5
次の問に答えなさい． [2i1-z0]
5
7点 部分点可
次の図で，∠A＝∠Cならば，BA＝BCであることを証明しなさい．
A
B
C
D
| 空欄に記入 |
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定期試験対策テスト 4/14 ページ
6
次の問に答えなさい． [2i2-z0]
6
7点 部分点可
△ABCの辺AB，AC上にそれぞれ点D，Eがあり，BD＝CEとする．このとき，DC＝EBならば，△ABCは二等辺三角形になることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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7
次の問に答えなさい． [2K1-z1]
7
1点×4
次の図で，∠A＝∠B＝∠Cならば，AB＝BC＝CAであることを証明しなさい．
△ABCで，仮定より
∠A＝∠C ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
AB＝ ---②
また，仮定より
∠B＝∠C ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする なので
AB＝ ---④
② ④ から，
AB＝BC＝
A
B
C
△ABCで，仮定より
∠A＝∠C ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
AB＝ ---②
また，仮定より
∠B＝∠C ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする なので
AB＝ ---④
② ④ から，
AB＝BC＝
| 余白に記入 |
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定期試験対策テスト 6/14 ページ
8
次の問に答えなさい． [2K2-z0]
8
7点 部分点可
次の図で，△ABCは正三角形です．辺AB，BC，CA上に，AD＝BE＝CFとなるような点D，E，Fをとります．このとき，△DEFが正三角形になることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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定期試験対策テスト 7/14 ページ
9
次の問に答えなさい． [2L3-z1]
9
1点×5
次の図で，∠ADB＝∠CDB，∠A＝∠C＝90°ならば，△ABD≡△CBDであることを証明しなさい．
△ABDと△CBDで
仮定より，
∠ADB＝ ---①
∠A＝ ---②
また，BDは共通だから
BD＝ ---③
①②③ から， ので
△ABD≡
A
B
C
D
△ABDと△CBDで
仮定より，
∠ADB＝ ---①
∠A＝ ---②
また，BDは共通だから
BD＝ ---③
①②③ から， ので
△ABD≡
| 余白に記入 |
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10
次の問に答えなさい． [2L4-z0]
10
7点 部分点可
正方形ABCDの辺BC，CD上に，AE＝BFとなる点E，Fがあります．このとき，BE＝CFであることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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定期試験対策テスト 9/14 ページ
11
次の問に答えなさい． [2M2-z0]
11
7点 部分点可
平行四辺形ABCDで，対角線の交点をOとして，AO＝CO，BO＝DOを証明しなさい．
A
B
C
D
O
| 余白に記入 |
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12
次の問に答えなさい． [2M3-z0]
12
7点 部分点可
次の図で，△ABC≡△EDF，AC//EFならば，四角形BHDGは平行四辺形であることを証明しなさい．
A
B
C
D
E
F
G
H
| 余白に記入 |
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13
次の問に答えなさい． [2N2-z0]
13
7点 部分点可
次の▱ABCDがAC⊥BDであるとき，▱ABCDはひし形となることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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定期試験対策テスト 12/14 ページ
14
次の問に答えなさい． [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で，△PAB＝△QABであるとき，PQ//ABとなることを証明しなさい．
仮定より，
△PAB＝
を共通な底辺とみると，高さは等しいので
PH＝
よって
仮定より，
△PAB＝
を共通な底辺とみると，高さは等しいので
PH＝
よって
| 余白に記入 |
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定期試験対策テスト 13/14 ページ
15
次の問に答えなさい． [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で，AD//BCであるとき，△ABO＝△DOCとなることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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定期試験対策テスト 14/14 ページ
16
次の問に答えなさい． [2P2-z0]
16
完答 6点
四角形ABCDは平行四辺形です．EF//ACのとき，△AFDと面積が等しい三角形をすべて見つけなさい．
17
次の問に答えなさい． [2P1-z0]
17
6点
次の五角形ABCDEと面積が等しい△DFGを三角定規を使って描きなさい．ただし，F，G は辺ABの延長上にあるものとします．
A
B
C
D
E
| 図に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 時間 60分 1/14 ページ
1
次の空欄に適する語を書きなさい．
1
1点×6
| 空欄に記入 |
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び，記号≡を使って表しなさい．また，合同条件を書きなさい． [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
8cm A 4cm B C | 8cm D E 13cm F | 4cm 50° G H I |
8cm J 4cm K L | 8cm M N 13cm O | 4cm 50° P Q R |
| (1) | △ABC≡△JKL ２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい |
| (2) | △DEF≡△MNO 直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい |
| (3) | △GHI≡△PQR 直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい． |
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【解答例】
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3
次のことがらについて，逆を答えなさい．また，それが正しい場合には○，間違っている場合には×を（ ）に書きなさい．逆が間違っている場合に反例を書きなさい． [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) △ABCについて AB＝BC ならば ∠A＝∠C である．
(2) x＜y ならば x−6＜y−6 である．
(3) △ABCについて ∠A＋∠B＝90°ならば ∠C＝90°である．
| (1) | 逆：△ABCについて ∠A＝∠C ならば AB＝BC である． （○） 反例： |
| (2) | 逆：x−6＜y−6 ならば x＜y である． （○） 反例： |
| (3) | 逆：△ABCについて ∠C＝90°ならば ∠A＋∠B＝90°である． （○） 反例： |
4
次の空欄に適する語を書きなさい．
4
1点×4
| 空欄に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 3/14 ページ
5
次の問に答えなさい． [2i1-z0]
5
7点 部分点可
次の図で，∠A＝∠Cならば，BA＝BCであることを証明しなさい．
∠Bの二等分線をひきACとの交点を点Dとおく
△ABDと△CBDで
仮定より，
∠A＝∠C ---①
BDは∠Bの二等分線だから
∠ABD＝∠CBD ---②
三角形の内角の和は180°なので
∠A＋∠ABD＋∠BDA＝180° ---③
∠C＋∠CBD＋∠BDC＝180° ---④
① ② ③ ④ から，
∠BDA＝∠BDC ---⑤
また，BDは共通だから
BD＝BD ---⑥
② ⑤ ⑥ から， １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい ので
△ABD≡△CBD
合同な図形では 対応する辺の大きさは等しいので
BA＝BC
A
B
C
D
∠Bの二等分線をひきACとの交点を点Dとおく
△ABDと△CBDで
仮定より，
∠A＝∠C ---①
BDは∠Bの二等分線だから
∠ABD＝∠CBD ---②
三角形の内角の和は180°なので
∠A＋∠ABD＋∠BDA＝180° ---③
∠C＋∠CBD＋∠BDC＝180° ---④
① ② ③ ④ から，
∠BDA＝∠BDC ---⑤
また，BDは共通だから
BD＝BD ---⑥
② ⑤ ⑥ から， １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい ので
△ABD≡△CBD
合同な図形では 対応する辺の大きさは等しいので
BA＝BC
| 空欄に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 4/14 ページ
6
次の問に答えなさい． [2i2-z0]
6
7点 部分点可
△ABCの辺AB，AC上にそれぞれ点D，Eがあり，BD＝CEとする．このとき，DC＝EBならば，△ABCは二等辺三角形になることを証明しなさい．
△DBCと△ECBで
仮定より
BD＝CE ---①
DC＝EB ---②
BCは共通なので
BC＝CB ---③
①②③より，３組の辺がそれぞれ等しいので
△DBC≡△ECB
合同な図形では，対応する角は等しいので
∠DBC＝∠ECB
したがって，△ABCは二等辺三角形である．
△DBCと△ECBで
仮定より
BD＝CE ---①
DC＝EB ---②
BCは共通なので
BC＝CB ---③
①②③より，３組の辺がそれぞれ等しいので
△DBC≡△ECB
合同な図形では，対応する角は等しいので
∠DBC＝∠ECB
したがって，△ABCは二等辺三角形である．
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 5/14 ページ
7
次の問に答えなさい． [2K1-z1]
7
1点×4
次の図で，∠A＝∠B＝∠Cならば，AB＝BC＝CAであることを証明しなさい．
△ABCで，仮定より
∠A＝∠C ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
AB＝ BC ---②
また，仮定より
∠B＝∠C ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする 二等辺三角形 なので
AB＝ CA ---④
② ④ から，
AB＝BC＝ CA
A
B
C
△ABCで，仮定より
∠A＝∠C ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
AB＝ BC ---②
また，仮定より
∠B＝∠C ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする 二等辺三角形 なので
AB＝ CA ---④
② ④ から，
AB＝BC＝ CA
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 6/14 ページ
8
次の問に答えなさい． [2K2-z0]
8
7点 部分点可
次の図で，△ABCは正三角形です．辺AB，BC，CA上に，AD＝BE＝CFとなるような点D，E，Fをとります．このとき，△DEFが正三角形になることを証明しなさい．
△ADFと△BEDと△CFEで
仮定より
AB＝BC＝CA ---①
AD＝BE＝CF ---②
∠FAD＝∠DBE＝∠ECF＝60° ---③
①②より
AF＝BD＝CE ---④
②③④より，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ADF≡△BED≡△CFE
したがって，
FD＝DE＝EF
３つの辺の長さが等しいので，△DEFは正三角形である．
△ADFと△BEDと△CFEで
仮定より
AB＝BC＝CA ---①
AD＝BE＝CF ---②
∠FAD＝∠DBE＝∠ECF＝60° ---③
①②より
AF＝BD＝CE ---④
②③④より，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ADF≡△BED≡△CFE
したがって，
FD＝DE＝EF
３つの辺の長さが等しいので，△DEFは正三角形である．
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 7/14 ページ
9
次の問に答えなさい． [2L3-z1]
9
1点×5
次の図で，∠ADB＝∠CDB，∠A＝∠C＝90°ならば，△ABD≡△CBDであることを証明しなさい．
△ABDと△CBDで
仮定より，
∠ADB＝ ∠CDB ---①
∠A＝ ∠C ---②
また，BDは共通だから
BD＝ BD ---③
①②③ から， 直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい ので
△ABD≡ △CBD
A
B
C
D
△ABDと△CBDで
仮定より，
∠ADB＝ ∠CDB ---①
∠A＝ ∠C ---②
また，BDは共通だから
BD＝ BD ---③
①②③ から， 直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい ので
△ABD≡ △CBD
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 8/14 ページ
10
次の問に答えなさい． [2L4-z0]
10
7点 部分点可
正方形ABCDの辺BC，CD上に，AE＝BFとなる点E，Fがあります．このとき，BE＝CFであることを証明しなさい．
△ABEと△BCFで
仮定より
AE＝BF ---①
四角形ABCDは正方形なので
AB＝BC ---②
∠ABE＝∠BCF＝90° ---③
①②③より，直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので
△ABE≡△BCF
合同な図形では，対応する辺は等しいので
BE＝CF
△ABEと△BCFで
仮定より
AE＝BF ---①
四角形ABCDは正方形なので
AB＝BC ---②
∠ABE＝∠BCF＝90° ---③
①②③より，直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので
△ABE≡△BCF
合同な図形では，対応する辺は等しいので
BE＝CF
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 9/14 ページ
11
次の問に答えなさい． [2M2-z0]
11
7点 部分点可
平行四辺形ABCDで，対角線の交点をOとして，AO＝CO，BO＝DOを証明しなさい．
平行線の錯角は等しいので，AD//BCより
∠OAD＝∠OCB ---①
∠ODA＝∠OBC ---②
平行四辺形の，向かいあう辺は等しいので
AD＝CB ---③
①②③ から，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△OAD≡△OCB
合同な図形では 対応する辺の大きさは等しいので
AO＝CO，BO＝DO
A
B
C
D
O
平行線の錯角は等しいので，AD//BCより
∠OAD＝∠OCB ---①
∠ODA＝∠OBC ---②
平行四辺形の，向かいあう辺は等しいので
AD＝CB ---③
①②③ から，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△OAD≡△OCB
合同な図形では 対応する辺の大きさは等しいので
AO＝CO，BO＝DO
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 10/14 ページ
12
次の問に答えなさい． [2M3-z0]
12
7点 部分点可
次の図で，△ABC≡△EDF，AC//EFならば，四角形BHDGは平行四辺形であることを証明しなさい．AC//EFより，錯角は等しいので
∠A＝∠FBG ---①
∠F＝∠GDA ---②
△ABC≡△EDFより，合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
∠E＝∠A ---③
∠F＝∠C ---④
① ③ から，∠E＝∠FBG ---⑤
② ④ から，∠C＝∠GDA ---⑥
同位角の等しい２直線は 平行なので
⑤ から，DH//GB ---⑦
⑥ から，BH//GD ---⑧
⑦ ⑧ から，2組の向かい合う辺がそれぞれ平行なので，四角形BHDGは 平行四辺形である．
A
B
C
D
E
F
G
H
∠A＝∠FBG ---①
∠F＝∠GDA ---②
△ABC≡△EDFより，合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
∠E＝∠A ---③
∠F＝∠C ---④
① ③ から，∠E＝∠FBG ---⑤
② ④ から，∠C＝∠GDA ---⑥
同位角の等しい２直線は 平行なので
⑤ から，DH//GB ---⑦
⑥ から，BH//GD ---⑧
⑦ ⑧ から，2組の向かい合う辺がそれぞれ平行なので，四角形BHDGは 平行四辺形である．
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 11/14 ページ
13
次の問に答えなさい． [2N2-z0]
13
7点 部分点可
次の▱ABCDがAC⊥BDであるとき，▱ABCDはひし形となることを証明しなさい．
△ABOと△ADOで，仮定より
∠AOB＝∠AOD＝90° ---①
AOは共通だから
AO＝AO ---②
平行四辺形の性質より
BO＝DO ---③
① ② ③ から，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABO≡△ADO
合同な図形では 対応する辺は等しいので
AB＝AD ---④
平行四辺形の向かい合う辺は等しいから，④より，４つの辺はすべて等しくなる．したがって，四角形ABCDはひし形である．
△ABOと△ADOで，仮定より
∠AOB＝∠AOD＝90° ---①
AOは共通だから
AO＝AO ---②
平行四辺形の性質より
BO＝DO ---③
① ② ③ から，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABO≡△ADO
合同な図形では 対応する辺は等しいので
AB＝AD ---④
平行四辺形の向かい合う辺は等しいから，④より，４つの辺はすべて等しくなる．したがって，四角形ABCDはひし形である．
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 12/14 ページ
14
次の問に答えなさい． [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で，△PAB＝△QABであるとき，PQ//ABとなることを証明しなさい．
仮定より，
△PAB＝ △QAB
AB を共通な底辺とみると，高さは等しいので
PH＝ QK
よって
AB//PQ
仮定より，
△PAB＝ △QAB
AB を共通な底辺とみると，高さは等しいので
PH＝ QK
よって
AB//PQ
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 13/14 ページ
15
次の問に答えなさい． [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で，AD//BCであるとき，△ABO＝△DOCとなることを証明しなさい．
△ABCは，△ABOと△OBCに分けられるので
△ABC＝△ABO＋△OBC ---①
△DBCは，△DOCと△OBCに分けられるので
△DBC＝△DOC＋△OBC ---②
AD//BCなので
△ABC＝△DBC ---③
①②③より
△ABO＝△DOC
△ABCは，△ABOと△OBCに分けられるので
△ABC＝△ABO＋△OBC ---①
△DBCは，△DOCと△OBCに分けられるので
△DBC＝△DOC＋△OBC ---②
AD//BCなので
△ABC＝△DBC ---③
①②③より
△ABO＝△DOC
| 余白に記入 |
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