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図形の性質と証明
定期試験対策テスト    時間 60分        1/14 ページ
1
次の空欄に適する語を書きなさい.
1
1点×6
(1) 証明されたことがらのうち,基本になるものを      といいます.   [2i3-z0]
(2) AB=ACである二等辺三角形ABCで辺BCを      といいます   [2i3-z0]
(3) 底角が60°の二等辺三角形は            です.   [2i3-z0]
(4)             は,3つの辺がすべて等しい三角形と定義されます.   [2i3-z0]
(5) 平行四辺形は                        辺がそれぞれ等しい   [2M4-z0]
(6) 平行四辺形は1組の向かいあう辺が等しく      である   [2M4-z0]
空欄に記入
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び,記号≡を使って表しなさい.また,合同条件を書きなさい.   [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
8cm
40°
A
B
C

4cm
D
2cm
E
F

4cm
G
2cm
H
I

8cm
J
K
14cm
L

8cm
M
N
14cm
O

8cm
40°
P
Q
R

(1)



(2)



(3)



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定期試験対策テスト        2/14 ページ
3
次のことがらについて,逆を答えなさい.また,それが正しい場合には○,間違っている場合には×を(    )に書きなさい.逆が間違っている場合に反例を書きなさい.   [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) △ABCと△DEFについて AB=DE,∠A=∠D,∠B=∠E ならば △ABC≡△DEF である.
(2) xが4の約数ならば,xは12の約数である.
(3) △ABCについて AB=BC ならば ∠A=∠C である.
(1) 逆:
(     )
反例:

(2) 逆:
(     )
反例:

(3) 逆:
(     )
反例:

4
次の空欄に適する語を書きなさい.
4
1点×4
(1) ▱ABCDについて,AC⊥BDのとき,この四角形は         になります.   [2N0-z0]
(2) ▱ABCDについて,AB=ADのとき,この四角形は         になります.   [2N0-z0]
(3) 平行四辺形の対角線の長さが等しく垂直に交わるとき,この四角形は         になります.   [2N0-z0]
(4) 平行四辺形の         の長さが等しいとき,この四角形は長方形になります.   [2N0-z0]
空欄に記入
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5
次の問に答えなさい.   [2i0-z0]
5
7点 部分点可
次の図で,AB=CBならば,∠A=∠Cであることを証明しなさい.
A
B
C
D


空欄に記入
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6
次の問に答えなさい.   [2C-90]
6
7点 部分点可
二等辺三角形ABCの底角∠B,∠Cの二等分線の交点をDとするとき,DB=DCであることを証明しなさい.


余白に記入
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7
次の問に答えなさい.   [2K1-z1]
7
1点×4
次の図で,∠A=∠B=∠Cならば,AB=BC=CAであることを証明しなさい.
A
B
C

△ABCで,仮定より
    ∠A=∠C    ---①

①から,△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
    AB=          ---②

また,仮定より
    ∠B=∠C    ---③

③から,△ABCはBCを底辺とする                  なので
    AB=          ---④

② ④ から,
    AB=BC=      
余白に記入
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8
次の問に答えなさい.   [2K2-z0]
8
7点 部分点可
次の図で,△ABCは正三角形です.辺AB,BC,CA上に,AD=BE=CFとなるような点D,E,Fをとります.このとき,△DEFが正三角形になることを証明しなさい.


余白に記入
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9
次の問に答えなさい.   [2L2-z1]
9
1点×5
次の図で,AB=BC,∠ADB=∠CDB=90°ならば,△ABD≡△CBDを証明しなさい.
A
B
C
D


△ABDと△CBDで
仮定より
    AB=          ---①
    ∠ADB=      =90°    ---②

また,BDは共通だから
    BD=          ---③

①②③ から,                                                ので

    △ABD≡        
余白に記入
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10
次の問に答えなさい.   [2L4-z0]
10
7点 部分点可
正方形ABCDの辺BC,CD上に,AE=BFとなる点E,Fがあります.このとき,BE=CFであることを証明しなさい.


余白に記入
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11
次の問に答えなさい.   [2M1-z0]
11
7点 部分点可
次の図で,AB//DC,AD//BCならば,∠BAD=∠DCB,∠B=∠Dを証明しなさい.
A
B
C
D

余白に記入
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定期試験対策テスト        10/14 ページ
12
次の問に答えなさい.   [2M3-z0]
12
7点 部分点可
次の図で,△ABC≡△EDF,AC//EFならば,四角形BHDGは平行四辺形であることを証明しなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H
余白に記入
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定期試験対策テスト        11/14 ページ
13
次の問に答えなさい.   [2N1-z0]
13
7点 部分点可
次の長方形ABCDについてAC=BDとなることを証明しなさい.


余白に記入
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定期試験対策テスト        12/14 ページ
14
次の問に答えなさい.   [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で,△PAB=△QABであるとき,PQ//ABとなることを証明しなさい.


仮定より,
    △PAB=             

      を共通な底辺とみると,高さは等しいので
    PH=      

よって
                         
余白に記入
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定期試験対策テスト        13/14 ページ
15
次の問に答えなさい.   [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で,AD//BCであるとき,△ABO=△DOCとなることを証明しなさい.


余白に記入
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図形の性質と証明
定期試験対策テスト        14/14 ページ
16
次の問に答えなさい.   [2P2-z0]
16
完答 6点
四角形ABCDは平行四辺形です.EF//ACのとき,△AEBと面積が等しい三角形をすべて見つけなさい.




 
17
次の問に答えなさい.   [2P1-z0]
17
6点
次の五角形ABCDEと面積が等しい△DFGを三角定規を使って描きなさい.ただし,F,G は辺ABの延長上にあるものとします.
A
B
C
D
E
図に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト    時間 60分        1/14 ページ
1
次の空欄に適する語を書きなさい.
1
1点×6
(1) 証明されたことがらのうち,基本になるものを定理といいます.   [2i3-z0]
(2) AB=ACである二等辺三角形ABCで辺BCを底辺といいます   [2i3-z0]
(3) 底角が60°の二等辺三角形は正三角形です.   [2i3-z0]
(4) 正三角形は,3つの辺がすべて等しい三角形と定義されます.   [2i3-z0]
(5) 平行四辺形は2組の向かいあう辺がそれぞれ等しい   [2M4-z0]
(6) 平行四辺形は1組の向かいあう辺が等しく平行である   [2M4-z0]
空欄に記入
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び,記号≡を使って表しなさい.また,合同条件を書きなさい.   [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
8cm
40°
A
B
C

4cm
D
2cm
E
F

4cm
G
2cm
H
I

8cm
J
K
14cm
L

8cm
M
N
14cm
O

8cm
40°
P
Q
R

(1)   △DEF≡△GHI  2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
(2) △JKL≡△MNO  直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい
(3) △ABC≡△PQR  直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい.
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【解答例】
定期試験対策テスト        2/14 ページ
3
次のことがらについて,逆を答えなさい.また,それが正しい場合には○,間違っている場合には×を(    )に書きなさい.逆が間違っている場合に反例を書きなさい.   [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) △ABCと△DEFについて AB=DE,∠A=∠D,∠B=∠E ならば △ABC≡△DEF である.
(2) xが4の約数ならば,xは12の約数である.
(3) △ABCについて AB=BC ならば ∠A=∠C である.
(1)  逆:△ABCと△DEFについて △ABC≡△DEF ならば AB=DE,∠A=∠D,∠B=∠E である.  (○) 
反例: 
(2)  逆:xが12の約数ならば,xは4の約数である.  (×) 
反例:x=3の場合 
(3)  逆:△ABCについて ∠A=∠C ならば AB=BC である.  (○) 
反例: 
4
次の空欄に適する語を書きなさい.
4
1点×4
(1) ▱ABCDについて,AC⊥BDのとき,この四角形はひし形になります.   [2N0-z0]
(2) ▱ABCDについて,AB=ADのとき,この四角形はひし形になります.   [2N0-z0]
(3) 平行四辺形の対角線の長さが等しく垂直に交わるとき,この四角形は正方形になります.   [2N0-z0]
(4) 平行四辺形の対角線の長さが等しいとき,この四角形は長方形になります.   [2N0-z0]
空欄に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        3/14 ページ
5
次の問に答えなさい.   [2i0-z0]
5
7点 部分点可
次の図で,AB=CBならば,∠A=∠Cであることを証明しなさい.
A
B
C
D


ACの中点を点Dとおく
△ABDと△CBDで

点DはACの中点なので
    AD=CD    ---①

仮定より,
    AB=CB    ---②

また,BDは共通だから
    BD=BD    ---③

① ② ③ から, 3組の辺がそれぞれ等しい ので

    △ABD≡△CBD

合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので

    ∠A=∠C
空欄に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        4/14 ページ
6
次の問に答えなさい.   [2C-90]
6
7点 部分点可
二等辺三角形ABCの底角∠B,∠Cの二等分線の交点をDとするとき,DB=DCであることを証明しなさい.


仮定より
     1     ---①
 ∠DBC=∠ABC
  2 
     1     ---②
 ∠DCB=∠ACB
  2 
二等辺三角形の2つの底角は等しいので
    ∠ABC=∠ACB    ---③

①②③より
    ∠DBC=∠DCB

2つの角が等しい三角形は二等辺三角形であるから
    DB=DC
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        5/14 ページ
7
次の問に答えなさい.   [2K1-z1]
7
1点×4
次の図で,∠A=∠B=∠Cならば,AB=BC=CAであることを証明しなさい.
A
B
C

△ABCで,仮定より
    ∠A=∠C    ---①

①から,△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
    AB=  BC      ---②

また,仮定より
    ∠B=∠C    ---③

③から,△ABCはBCを底辺とする 二等辺三角形 なので
    AB=  CA      ---④

② ④ から,
    AB=BC=  CA  
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        6/14 ページ
8
次の問に答えなさい.   [2K2-z0]
8
7点 部分点可
次の図で,△ABCは正三角形です.辺AB,BC,CA上に,AD=BE=CFとなるような点D,E,Fをとります.このとき,△DEFが正三角形になることを証明しなさい.


△ADFと△BEDと△CFEで
仮定より
    AB=BC=CA    ---①
    AD=BE=CF    ---②
    ∠FAD=∠DBE=∠ECF=60°    ---③

①②より
    AF=BD=CE    ---④

②③④より,2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
    △ADF≡△BED≡△CFE

したがって,
    FD=DE=EF

3つの辺の長さが等しいので,△DEFは正三角形である.

余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        7/14 ページ
9
次の問に答えなさい.   [2L2-z1]
9
1点×5
次の図で,AB=BC,∠ADB=∠CDB=90°ならば,△ABD≡△CBDを証明しなさい.
A
B
C
D


△ABDと△CBDで
仮定より
    AB=  CB      ---①
    ∠ADB=  ∠CDB  =90°    ---②

また,BDは共通だから
    BD= BD     ---③

①②③ から, 直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい ので

    △ABD≡ △CBD 
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        8/14 ページ
10
次の問に答えなさい.   [2L4-z0]
10
7点 部分点可
正方形ABCDの辺BC,CD上に,AE=BFとなる点E,Fがあります.このとき,BE=CFであることを証明しなさい.


△ABEと△BCFで
仮定より
    AE=BF    ---①

四角形ABCDは正方形なので
    AB=BC    ---②
    ∠ABE=∠BCF=90°    ---③

①②③より,直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので
    △ABE≡△BCF

合同な図形では,対応する辺は等しいので
    BE=CF
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        9/14 ページ
11
次の問に答えなさい.   [2M1-z0]
11
7点 部分点可
次の図で,AB//DC,AD//BCならば,∠BAD=∠DCB,∠B=∠Dを証明しなさい.
A
B
C
D

△ABCと△CDAで
平行線の錯角は等しいので
    AB//DCから∠BAC=∠DCA    ---①
    AD//BCから∠DAC=∠BCA    ---②

また,ACは共通だから
    AC=CA    ---③

①②③ から,1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
    △ABC≡△CDA
合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
    ∠B=∠D

また,
    ∠BAD=∠BAC+∠DAC    ---④
    ∠DCB=∠DCA+∠BCA    ---⑤

① ② ④ ⑤ から,∠BAD=∠DCB
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【解答例】
定期試験対策テスト        10/14 ページ
12
次の問に答えなさい.   [2M3-z0]
12
7点 部分点可
次の図で,△ABC≡△EDF,AC//EFならば,四角形BHDGは平行四辺形であることを証明しなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H
AC//EFより,錯角は等しいので
    ∠A=∠FBG    ---①
    ∠F=∠GDA    ---②

△ABC≡△EDFより,合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
    ∠E=∠A    ---③
    ∠F=∠C    ---④

① ③ から,∠E=∠FBG    ---⑤
② ④ から,∠C=∠GDA    ---⑥

同位角の等しい2直線は 平行なので
    ⑤ から,DH//GB    ---⑦
    ⑥ から,BH//GD    ---⑧

⑦ ⑧ から,2組の向かい合う辺がそれぞれ平行なので,四角形BHDGは 平行四辺形である.
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【解答例】
定期試験対策テスト        11/14 ページ
13
次の問に答えなさい.   [2N1-z0]
13
7点 部分点可
次の長方形ABCDについてAC=BDとなることを証明しなさい.


△ABCと△DCBで

BCは,共通だから
    BC=CB    ---①

長方形ABCDは,平行四辺形だから
    AB=DC    ---②

長方形の性質より
    ∠ABC=∠DCB=90°    ---③

① ② ③ から,2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
    △ABC≡△DCB

合同な図形では 対応する辺の大きさは等しいので
    AC=DB
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【解答例】
定期試験対策テスト        12/14 ページ
14
次の問に答えなさい.   [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で,△PAB=△QABであるとき,PQ//ABとなることを証明しなさい.


仮定より,
    △PAB= △QAB 

 AB を共通な底辺とみると,高さは等しいので
    PH= QK 

よって
     AB//PQ 
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【解答例】
定期試験対策テスト        13/14 ページ
15
次の問に答えなさい.   [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で,AD//BCであるとき,△ABO=△DOCとなることを証明しなさい.


△ABCは,△ABOと△OBCに分けられるので
    △ABC=△ABO+△OBC    ---①

△DBCは,△DOCと△OBCに分けられるので
    △DBC=△DOC+△OBC    ---②

AD//BCなので
    △ABC=△DBC    ---③

①②③より
    △ABO=△DOC
余白に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        14/14 ページ
16
次の問に答えなさい.   [2P2-z0]
16
完答 6点
四角形ABCDは平行四辺形です.EF//ACのとき,△AEBと面積が等しい三角形をすべて見つけなさい.
△ACE,△ACF,△BCF
17
次の問に答えなさい.   [2P1-z0]
17
6点
次の五角形ABCDEと面積が等しい△DFGを三角定規を使って描きなさい.ただし,F,G は辺ABの延長上にあるものとします.
A
B
C
D
E
G
F
図に記入
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