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円の性質
定期試験対策テスト    時間 50分        1/11 ページ
点
1
次の問に答えなさい．
1
3点×3
(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-00]
O
P
A
B
x
106°
(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-01]
O
P
A
B
x
(3) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-02]
O
P
A
B
x
72°
(1)
(2)
(3)
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定期試験対策テスト        2/11 ページ
2
次の問に答えなさい．   [331-01]
2
2点×5
次の図の円Oで，直径ABと，ABを除く円周上に点Pがあるとき，∠APB＝90°であることを証明しなさい．
O
P
A
B


△OPAと△OPBは二等辺三角形だから，それぞれの底角を∠x，∠yとすると，
    △OPAで，  ∠BOP＝              ---①
    △OPBで，  ∠AOP＝              ---②

∠BOP＋∠AOP＝180°なので，
① ② から，          ＋          ＝180°

また，∠APB＝∠x＋∠yだから，

    ∠APB＝        
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3
次の問に答えなさい．
3
3点×3
(1) １つの円で，円周の
 1 
 
  3 
の大きさの弧に対する円周角は何度ですか．   [342-00]
(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [343-00]
P
A
B
Q
C
D
x
32°
(3) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [341-00]
x
35°
y
52°
(1)
(2)
(3) ∠x＝

∠y＝
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4
次の問に答えなさい．   [352-00]
4
完答 3点
次の(ア)〜(エ)で，４点A，B，C，Dが同じ円周上にあるものを選びなさい．
(ア)
D
C
A
B
40°
78°
25°
37°
(イ)
D
C
A
B
38°
51°
46°
46°
(ウ)
D
C
A
B
54°
65°
36°
31°
(エ)
D
C
A
B
47°
87°
25°
22°
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次の問に答えなさい．
5
6点×2
(1) 次の図のように，３点A，B，Cがあります．直線ABについて点Cと反対側に，AB⊥CP，∠APB＝60°となる点Pを作図しなさい．   [360-00]
A
B
C
(2) 点Aを通る円Oの接線を作図しなさい．   [361-00]
O
A
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6
次の問に答えなさい．
6
3点×3
(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-00]
O
P
A
B
131°
x
(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-01]
O
P
A
B
x
65°
(3) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-02]
O
P
Q
A
B
x
59°
(1)
(2)
(3)
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7
次の問に答えなさい．
7
3点×3
(1) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [344-03]
O
P
Q
A
B
114°
x
y
(2) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [344-04]
y
P
A
B
Q
C
D
x
31°
(3) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [351-00]
D
C
A
B
x
34°
y
51°
65°
30°
(1) ∠x＝

∠y＝
(2) ∠x＝

∠y＝
(3) ∠x＝

∠y＝
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8
次の問に答えなさい．
8
3点×2
(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-05]
F
A
B
D
C
E
63°
x
30°
(2) PA，PBは，円Oの接線です．∠xの大きさを求めなさい．   [344-07]
O
C
P
A
B
x
38°
(1)
(2)
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9
次の問に答えなさい．   [370-z0]
9
11点 部分点可
次の図のように，円周上に４点A，B，C，Dがあります．AD//BCならば， AB︵ ＝ CD︵ であることを証明しなさい．
A
B
C
D


余白に記入
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10
次の問に答えなさい．   [370-z0]
10
11点 部分点可
次の図で，△ABE∽△ACDであることを証明しなさい．
A
B
C
D
E


余白に記入
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11
次の問に答えなさい．   [370-z0]
11
11点 部分点可
次の図のように，円周上に４点A，B，C，Dがあります． BD︵ ＝ CD︵ のとき，△ABD∽△AECであることを証明しなさい．また，ADとBCの交点をEとする．
E
A
B
C
D


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【解答例】
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1
次の問に答えなさい．
1
3点×3
(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-00]
O
P
A
B
x
106°
 ∠x
 
 1 
 =∠AOB
  2 
 ∠x
 
 1 
 =×106=53
  2 
(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-01]
O
P
A
B
x
(3) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-02]
O
P
A
B
x
72°
 ∠x
 
 1 
 =∠AOB
  2 
 ∠x
 
 1 
 =×72=36
  2 
(1) 53°
(2) 90°
(3) 36°
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【解答例】
定期試験対策テスト        2/11 ページ
2
次の問に答えなさい．   [331-01]
2
2点×5
次の図の円Oで，直径ABと，ABを除く円周上に点Pがあるとき，∠APB＝90°であることを証明しなさい．
O
P
A
B
x
y
x
y
2x
2y


△OPAと△OPBは二等辺三角形だから，それぞれの底角を∠x，∠yとすると，
    △OPAで，  ∠BOP＝ 2∠x     ---①
    △OPBで，  ∠AOP＝ 2∠y     ---②

∠BOP＋∠AOP＝180°なので，
① ② から， 2∠x ＋ 2∠y ＝180°

また，∠APB＝∠x＋∠yだから，

    ∠APB＝ 90° 
空欄に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        3/11 ページ
3
次の問に答えなさい．
3
3点×3
(1) １つの円で，円周の
 1 
 
  3 
の大きさの弧に対する円周角は何度ですか．   [342-00]
O
x
y
中心角 1 °
 ∠y=×360=120
  3 
円周角 1 °
 ∠x=∠y=60
  2 
(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [343-00]
P
A
B
Q
C
D
x
32°
(3) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [341-00]
x
35°
y
52°
(1) 60°
(2) 32°
(3) ∠x＝35°
∠y＝52°
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【解答例】
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4
次の問に答えなさい．   [352-00]
4
完答 3点
次の(ア)〜(エ)で，４点A，B，C，Dが同じ円周上にあるものを選びなさい．
(ア)
D
C
A
B
40°
78°
25°
37°
37°
(イ)
D
C
A
B
38°
51°
46°
46°
(ウ)
D
C
A
B
54°
65°
36°
31°
30°
(エ)
D
C
A
B
47°
87°
25°
22°
(ア) (イ)
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【解答例】
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5
次の問に答えなさい．
5
6点×2
(1) 次の図のように，３点A，B，Cがあります．直線ABについて点Cと反対側に，AB⊥CP，∠APB＝60°となる点Pを作図しなさい．   [360-00]
A
B
C
D
P
O
l



1. 点Cを通る線分ABの垂線lをひく

2. ABが底辺，点Dが頂点となる正三角形ABDを，直線ABについて点Cと反対側にかく

3. ∠ABD，∠BADの二等分線をそれぞれかき，その交点を点Oとする．AOを半径とする円Oをかく

直線lと円Oの交点のうち，直線ABについて点Oと同じ側にある点が，求める点Pである．


(2) 点Aを通る円Oの接線を作図しなさい．   [361-00]
O
A
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【解答例】
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6
次の問に答えなさい．
6
3点×3
(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-00]
O
P
A
B
131°
x
 中心角=2∠APB=2×131=262
 
 ∠x=360−262=98
 
(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-01]
O
P
A
B
x
65°
∠APB＝90°だから
 ∠BPO=∠APB−∠APO=90−65=25
 
△BOPは二等辺三角形なので
 ∠x=∠BPO=25
 
(3) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-02]
O
P
Q
A
B
x
59°
∠APB＝90°なので
 ∠QPB=∠APB−∠APQ=90−59=31
 
 QB︵ に対する円周角は等しいから
 ∠x=∠QAB=∠QPB=31
 
(1) 98°
(2) 25°
(3) 31°
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【解答例】
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7
次の問に答えなさい．
7
3点×3
(1) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [344-03]
O
P
Q
A
B
114°
x
y
 中心角=2∠APB=2×114=228
 
 ∠x=360−228=132
 
 1 
 ∠y=∠x=66
  2 
(2) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [344-04]
y
P
A
B
Q
C
D
x
31°
 ∠y=2∠APB=2×31=62
 
(3) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [351-00]
D
C
A
B
x
34°
y
51°
65°
30°
△ABDで，内角の和が180°であることから，∠DBA＝65°．  ∠ABD＝∠ACDから，円周角の定理の逆より４点A，B，C，Dは同じ円周上にある．
(1) ∠x＝132°
∠y＝66°
(2) ∠x＝31°
∠y＝62°
(3) ∠x＝34°
∠y＝51°
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8
次の問に答えなさい．
8
3点×2
(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-05]
F
A
B
D
C
E
63°
x
30°
同じ弧に対する円周角の大きさは等しいので，
    ∠AFB＝∠AEB
    ∠BDC＝∠BEC
よって
 ∠x=63−30=33
 
(2) PA，PBは，円Oの接線です．∠xの大きさを求めなさい．   [344-07]
O
C
P
A
B
x
38°


PA，PBは，円Oの接線だから，PA⊥OA，PB⊥OB．
したがって，四角形APBOの内角の和は，
    
 ∠AOB＋∠APB＋2×90
 
 =360
 
 ∠AOB
 
 =360−(38＋2×90)
 
 ∠AOB
 
 =142
 
∠ACBは，弧ABに対する円周角だから
    
 ∠ACB
 
 1 
 =∠AOB
  2 
 
 
 1 
 =×142
  2 
 ∠ACB
 
 =71
 
(1) 33°
(2)
°
 71
 
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9
次の問に答えなさい．   [370-z0]
9
11点 部分点可
次の図のように，円周上に４点A，B，C，Dがあります．AD//BCならば， AB︵ ＝ CD︵ であることを証明しなさい．
A
B
C
D


仮定AD//BCより，平行線の錯角は等しいから，
    ∠ACB＝∠CAD    ---①

 AB︵ に対する円周角∠ACBと， CD︵ に対する円周角∠CADについて

①より，等しい円周角に対する弧の長さは等しいから，
     AB︵ ＝ CD︵
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【解答例】
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10
次の問に答えなさい．   [370-z0]
10
11点 部分点可
次の図で，△ABE∽△ACDであることを証明しなさい．
A
B
C
D
E


△ABEと△ACDで，
 DE︵ に対する円周角は等しいから，
      ∠ABE＝∠ACD    ---①

また，共通だから，
      ∠BAE＝∠CAD    ---②

① ② から，２組の角が，それぞれ等しいので，
    △ABE∽△ACD
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11
次の問に答えなさい．   [370-z0]
11
11点 部分点可
次の図のように，円周上に４点A，B，C，Dがあります． BD︵ ＝ CD︵ のとき，△ABD∽△AECであることを証明しなさい．また，ADとBCの交点をEとする．
E
A
B
C
D


△ABDと△AECで，
仮定より， BD︵ ＝ CD︵ 
等しい弧に対する円周角は等しいから，
    ∠BAD＝∠EAC    ---①

また， AB︵ に対する円周角は等しいから，
      ∠ADB＝∠ACE    ---②

① ② から，２組の角が，それぞれ等しいので，
    △ABD∽△AEC
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