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円の性質
定期試験対策テスト    時間 50分        1/11 ページ
1
次の問に答えなさい.
1
3点×3
(1) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [340-00]
O
P
A
B
x
132°
(2) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [340-01]
O
P
A
B
x
(3) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [340-02]
O
P
A
B
x
76°
(1)
(2)
(3)
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2
次の問に答えなさい.   [330-01]
2
2点×5
次の図の円Oで, AB を除く円周上に点Pがあるとき,∠AOB=2∠APBであることを証明しなさい.なお,PKは円Oの直径.
O
P
A
B
K


△OPAと△OPBは二等辺三角形だから,それぞれの底角を∠x,∠yとすると,
    △OPAで,  ∠AOK=              ---①
    △OPBで,  ∠BOK=              ---②

∠AOB=∠AOK+∠BOKなので,
① ② から,∠AOB=                    

また,∠APB=∠x+∠yだから,

    ∠AOB=      ∠APB
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3
次の問に答えなさい.
3
3点×3
(1) 1つの円で,円周の
 2 
 
  3 
の大きさの弧に対する円周角は何度ですか.
   [342-00]
(2) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [343-00]
P
A
B
Q
C
D
x
27°
(3) 次の図で,∠x,∠yの大きさを求めなさい.   [341-00]
x
40°
y
33°
(1)
(2)
(3) x

y
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次の問に答えなさい.   [352-00]
4
完答 3点
次の(ア)〜(エ)で,4点A,B,C,Dが同じ円周上にあるものを選びなさい.
(ア)
D
C
A
B
42°
58°
59°
31°
(イ)
D
C
A
B
40°
44°
34°
34°
(ウ)
D
C
A
B
36°
67°
56°
56°
(エ)
D
C
A
B
45°
51°
36°
32°
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次の問に答えなさい.
5
6点×2
(1) 次の図のように,3点A,B,Cがあります.直線ABについて点Cと反対側に,AB⊥CP,∠APB=45°となる点Pを作図しなさい.   [360-00]
A
B
C
(2) 点Aを通る円Oの接線を作図しなさい.   [361-00]
O
A
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6
次の問に答えなさい.
6
3点×3
(1) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [344-00]
O
P
A
B
104°
x
(2) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [344-01]
O
P
A
B
40°
x
(3) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [344-02]
O
P
Q
A
B
53°
x
(1)
(2)
(3)
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7
次の問に答えなさい.
7
3点×3
(1) 次の図で,∠x,∠yの大きさを求めなさい.   [344-03]
O
P
Q
A
B
120°
x
y
(2) 次の図で,∠x,∠yの大きさを求めなさい.   [344-04]
y
P
A
B
Q
C
D
x
31°
(3) 次の図で,∠x,∠yの大きさを求めなさい.   [351-00]
D
C
A
B
x
42°
y
51°
28°
59°
(1) x

y
(2) x

y
(3) x

y
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8
次の問に答えなさい.
8
3点×2
(1) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [344-05]
F
A
B
D
C
E
x
42°
30°
(2) PA,PBは,円Oの接線です.∠xの大きさを求めなさい.   [344-07]
O
C
P
A
B
x
70°
(1)
(2)
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次の問に答えなさい.   [370-z0]
9
11点 部分点可
次の図のように,2つの弦ABとCDが,円内の点Pで交わっているとき,△PAC∽△PDBであることを証明しなさい.
P
A
B
C
D


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10
次の問に答えなさい.   [370-z0]
10
11点 部分点可
次の図で,△ABE∽△ACDであることを証明しなさい.
A
B
C
D
E


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次の問に答えなさい.   [370-z0]
11
11点 部分点可
次の図のように,円周上の3点A,B,Cを頂点とする△ABCがあります.∠BACの二等分線が辺BC, BC と交わる点を,それぞれ,D,Eとするとき,△ABE∽△BDEであることを証明しなさい.
D
A
B
C
E


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【解答例】
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1
次の問に答えなさい.
1
3点×3
(1) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [340-00]
O
P
A
B
x
132°
 ∠x
 
 1 
 =∠AOB
  2 
 ∠x
 
 1 
 =×132=66
  2 
(2) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [340-01]
O
P
A
B
x
(3) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [340-02]
O
P
A
B
x
76°
 ∠x
 
 1 
 =∠AOB
  2 
 ∠x
 
 1 
 =×76=38
  2 
(1) 66°
(2) 90°
(3) 38°
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【解答例】
定期試験対策テスト        2/11 ページ
2
次の問に答えなさい.   [330-01]
2
2点×5
次の図の円Oで, AB を除く円周上に点Pがあるとき,∠AOB=2∠APBであることを証明しなさい.なお,PKは円Oの直径.
O
P
A
B
K
x
y
x
y
2x
2y


△OPAと△OPBは二等辺三角形だから,それぞれの底角を∠x,∠yとすると,
    △OPAで,  ∠AOK= 2∠x     ---①
    △OPBで,  ∠BOK= 2∠y     ---②

∠AOB=∠AOK+∠BOKなので,
① ② から,∠AOB= 2∠x  2∠y 

また,∠APB=∠x+∠yだから,

    ∠AOB= 2 ∠APB
空欄に記入
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【解答例】
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3
次の問に答えなさい.
3
3点×3
(1) 1つの円で,円周の
 2 
 
  3 
の大きさの弧に対する円周角は何度ですか.
   [342-00]
O
x
y
中心角 2 °
 ∠y=×360=240
  3 
円周角 1 °
 ∠x=∠y=120
  2 
(2) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [343-00]
P
A
B
Q
C
D
x
27°
(3) 次の図で,∠x,∠yの大きさを求めなさい.   [341-00]
x
40°
y
33°
(1) 120°
(2) 27°
(3) x=40°
y=33°
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【解答例】
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次の問に答えなさい.   [352-00]
4
完答 3点
次の(ア)〜(エ)で,4点A,B,C,Dが同じ円周上にあるものを選びなさい.
(ア)
D
C
A
B
42°
58°
59°
31°
49°
(イ)
D
C
A
B
40°
44°
34°
34°
(ウ)
D
C
A
B
36°
67°
56°
56°
(エ)
D
C
A
B
45°
51°
36°
32°
(イ) (ウ)
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【解答例】
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5
次の問に答えなさい.
5
6点×2
(1) 次の図のように,3点A,B,Cがあります.直線ABについて点Cと反対側に,AB⊥CP,∠APB=45°となる点Pを作図しなさい.   [360-00]
A
B
C
P
O
D
l



1. 点Cを通る線分ABの垂線lをひく

2. ∠BAD=90°である直角二等辺三角形ABDをかく

3. BDの中点Oをとり,DOを半径とする円Oをかく

直線lと円Oの交点のうち,直線ABについて点Dと同じ側にある点が,求める点Pである.


(2) 点Aを通る円Oの接線を作図しなさい.   [361-00]
O
A
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【解答例】
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6
次の問に答えなさい.
6
3点×3
(1) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [344-00]
O
P
A
B
104°
x
 中心角=2∠APB=2×104=208
 
 ∠x=360208=152
 
(2) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [344-01]
O
P
A
B
40°
x
△AOPは二等辺三角形なので
 ∠APO=∠PAO=40
 
∠APB=90°だから
 ∠x=∠APB∠APO=9040=50
 
(3) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [344-02]
O
P
Q
A
B
53°
x
 QB に対する円周角は等しいから
 ∠QAB=∠QPB=53
 
∠APB=90°なので
 ∠x=∠APB∠QPB=9053=37
 
(1) 152°
(2) 50°
(3) 37°
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7
次の問に答えなさい.
7
3点×3
(1) 次の図で,∠x,∠yの大きさを求めなさい.   [344-03]
O
P
Q
A
B
120°
x
y
 中心角=2∠APB=2×120=240
 
 ∠x=360240=120
 
 1 
 ∠y=∠x=60
  2 
(2) 次の図で,∠x,∠yの大きさを求めなさい.   [344-04]
y
P
A
B
Q
C
D
x
31°
 ∠y=2∠CQD=2×31=62
 
(3) 次の図で,∠x,∠yの大きさを求めなさい.   [351-00]
D
C
A
B
x
42°
y
51°
28°
59°
△ABDで,内角の和が180°であることから,∠BAC=59°.  ∠BAC=∠BDCから,円周角の定理の逆より4点A,B,C,Dは同じ円周上にある.
(1) x=120°
y=60°
(2) x=31°
y=62°
(3) x=42°
y=51°
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次の問に答えなさい.
8
3点×2
(1) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [344-05]
F
A
B
D
C
E
x
42°
30°
同じ弧に対する円周角の大きさは等しいので,
    ∠AFB=∠AEB
    ∠BDC=∠BEC
よって
 ∠x=3042=72
 
(2) PA,PBは,円Oの接線です.∠xの大きさを求めなさい.   [344-07]
O
C
P
A
B
x
70°


PA,PBは,円Oの接線だから,PA⊥OA,PB⊥OB.
したがって,四角形APBOの内角の和は,
    
 ∠AOB∠APB2×90
 
 =360
 
 ∠AOB
 
 =360(702×90)
 
 ∠AOB
 
 =110
 
∠ACBは,弧ABに対する円周角だから
    
 ∠ACB
 
 1 
 =∠AOB
  2 
 
 
 1 
 =×110
  2 
 ∠ACB
 
 =55
 
(1) 72°
(2)
°
 55
 
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9
次の問に答えなさい.   [370-z0]
9
11点 部分点可
次の図のように,2つの弦ABとCDが,円内の点Pで交わっているとき,△PAC∽△PDBであることを証明しなさい.
P
A
B
C
D


△PACと△PDBで,
 CB に対する円周角は等しいから,
      ∠CAP=∠BDP    ---①
 AD に対する円周角は等しいから,
      ∠ACP=∠DBP    ---②

① ② から,2組の角が,それぞれ等しいので,
    △PAC∽△PDB
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次の問に答えなさい.   [370-z0]
10
11点 部分点可
次の図で,△ABE∽△ACDであることを証明しなさい.
A
B
C
D
E


△ABEと△ACDで,
 DE に対する円周角は等しいから,
      ∠ABE=∠ACD    ---①

また,共通だから,
      ∠BAE=∠CAD    ---②

① ② から,2組の角が,それぞれ等しいので,
    △ABE∽△ACD
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次の問に答えなさい.   [370-z0]
11
11点 部分点可
次の図のように,円周上の3点A,B,Cを頂点とする△ABCがあります.∠BACの二等分線が辺BC, BC と交わる点を,それぞれ,D,Eとするとき,△ABE∽△BDEであることを証明しなさい.
D
A
B
C
E


△ABEと△BDEで,
仮定より,
    ∠BAE=∠EAC

 EC に対する円周角は等しいから,
      ∠EAC=∠DBE
したがって,
      ∠BAE=∠DBE    ---①

また,
      ∠AEB=∠BED    ---②

① ② から,2組の角が,それぞれ等しいので,
    △ABE∽△BDE
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