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円の性質
定期試験対策テスト    時間 50分        1/11 ページ
1
次の問に答えなさい.
1
3点×3
(1) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [340-00]
O
P
A
B
x
136°
(2) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [340-01]
O
P
A
B
x
(3) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [340-02]
O
P
A
B
44°
x
(1)
(2)
(3)
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円の性質
定期試験対策テスト        2/11 ページ
2
次の問に答えなさい.   [330-01]
2
2点×5
次の図の円Oで, AB を除く円周上に点Pがあるとき,∠AOB=2∠APBであることを証明しなさい.なお,PKは円Oの直径.
O
P
A
B
K


△OPAと△OPBは二等辺三角形だから,それぞれの底角を∠x,∠yとすると,
    △OPAで,  ∠AOK=              ---①
    △OPBで,  ∠BOK=              ---②

∠AOB=∠AOK+∠BOKなので,
① ② から,∠AOB=                    

また,∠APB=∠x+∠yだから,

    ∠AOB=      ∠APB
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定期試験対策テスト        3/11 ページ
3
次の問に答えなさい.
3
3点×3
(1) 1つの円で,円周の
 4 
 
  5 
の大きさの弧に対する円周角は何度ですか.
   [342-00]
(2) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [343-00]
P
A
B
C
x
29°
(3) 次の図で,∠x,∠yの大きさを求めなさい.   [341-00]
x
45°
y
49°
(1)
(2)
(3) x

y
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定期試験対策テスト        4/11 ページ
4
次の問に答えなさい.   [352-00]
4
完答 3点
次の(ア)〜(エ)で,4点A,B,C,Dが同じ円周上にあるものを選びなさい.
(ア)
D
C
A
B
53°
75°
29°
38°
(イ)
D
C
A
B
(ウ)
D
C
A
B
44°
51°
51°
34°
(エ)
D
C
A
B
46°
77°
28°
27°
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定期試験対策テスト        5/11 ページ
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次の問に答えなさい.
5
6点×2
(1) 次の図のように,3点A,B,Cがあります.直線ABについて点Cと反対側に,AB⊥CP,∠APB=30°となる点Pを作図しなさい.   [360-00]
A
B
C
(2) 点Aを通る円Oの接線を作図しなさい.   [361-00]
O
A
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6
次の問に答えなさい.
6
3点×3
(1) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [344-00]
O
P
A
B
118°
x
(2) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [344-01]
O
P
A
B
x
27°
(3) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [344-02]
O
P
Q
A
B
38°
x
(1)
(2)
(3)
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定期試験対策テスト        7/11 ページ
7
次の問に答えなさい.
7
3点×3
(1) 次の図で,∠x,∠yの大きさを求めなさい.   [344-03]
O
P
Q
A
B
134°
x
y
(2) 次の図で,∠x,∠yの大きさを求めなさい.   [344-04]
y
P
A
B
Q
C
D
x
30°
(3) 次の図で,∠x,∠yの大きさを求めなさい.   [351-00]
D
C
A
B
x
44°
y
83°
25°
25°
(1) x

y
(2) x

y
(3) x

y
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定期試験対策テスト        8/11 ページ
8
次の問に答えなさい.
8
3点×2
(1) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [344-05]
F
A
B
D
C
E
63°
33°
x
(2) 次の図のように,1つの円で円周を10等分する点があります.このとき,∠xの大きさを求めなさい.   [344-06]
x
C
D
A
B
F
(1)
(2)
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9
次の問に答えなさい.   [370-z0]
9
11点 部分点可
次の図のように,2つの弦ABとCDが,円内の点Pで交わっているとき,△PAC∽△PDBであることを証明しなさい.
P
A
B
C
D


余白に記入
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10
次の問に答えなさい.   [370-z0]
10
11点 部分点可
次の図で,△ABE∽△ACDであることを証明しなさい.
A
B
C
D
E


余白に記入
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11
次の問に答えなさい.   [370-z0]
11
11点 部分点可
次の図のように,円周上の3点A,B,Cを頂点とする△ABCがあります.∠BACの二等分線が辺BC, BC と交わる点を,それぞれ,D,Eとするとき,△ABE∽△BDEであることを証明しなさい.
D
A
B
C
E


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【解答例】
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1
次の問に答えなさい.
1
3点×3
(1) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [340-00]
O
P
A
B
x
136°
 ∠x
 
 1 
 =∠AOB
  2 
 ∠x
 
 1 
 =×136=68
  2 
(2) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [340-01]
O
P
A
B
x
(3) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [340-02]
O
P
A
B
44°
x
 ∠x
 
 =2∠APB
 
 ∠x
 
 =2×44=88
 
(1) 68°
(2) 90°
(3) 88°
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【解答例】
定期試験対策テスト        2/11 ページ
2
次の問に答えなさい.   [330-01]
2
2点×5
次の図の円Oで, AB を除く円周上に点Pがあるとき,∠AOB=2∠APBであることを証明しなさい.なお,PKは円Oの直径.
O
P
A
B
K
x
y
x
y
2x
2y


△OPAと△OPBは二等辺三角形だから,それぞれの底角を∠x,∠yとすると,
    △OPAで,  ∠AOK= 2∠x     ---①
    △OPBで,  ∠BOK= 2∠y     ---②

∠AOB=∠AOK+∠BOKなので,
① ② から,∠AOB= 2∠x  2∠y 

また,∠APB=∠x+∠yだから,

    ∠AOB= 2 ∠APB
空欄に記入
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【解答例】
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3
次の問に答えなさい.
3
3点×3
(1) 1つの円で,円周の
 4 
 
  5 
の大きさの弧に対する円周角は何度ですか.
   [342-00]
O
x
y
中心角 4 °
 ∠y=×360=288
  5 
円周角 1 °
 ∠x=∠y=144
  2 
(2) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [343-00]
P
A
B
C
x
29°
(3) 次の図で,∠x,∠yの大きさを求めなさい.   [341-00]
x
45°
y
49°
(1) 144°
(2) 29°
(3) x=45°
y=49°
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4
次の問に答えなさい.   [352-00]
4
完答 3点
次の(ア)〜(エ)で,4点A,B,C,Dが同じ円周上にあるものを選びなさい.
(ア)
D
C
A
B
53°
75°
29°
38°
(イ)
D
C
A
B
(ウ)
D
C
A
B
44°
51°
51°
34°
51°
(エ)
D
C
A
B
46°
77°
28°
27°
(イ) (ウ)
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【解答例】
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5
次の問に答えなさい.
5
6点×2
(1) 次の図のように,3点A,B,Cがあります.直線ABについて点Cと反対側に,AB⊥CP,∠APB=30°となる点Pを作図しなさい.   [360-00]
A
B
C
P
O
l



1. 点Cを通る線分ABの垂線lをひく

2. △ABOが正三角形になるような点Oを,直線ABについて点Cと反対側にかく

3. 点Oを中心に,AOを半径とする円Oをかく

直線lと円Oの交点のうち,直線ABについて点Oと同じ側にある点が,求める点Pである.


(2) 点Aを通る円Oの接線を作図しなさい.   [361-00]
O
A
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【解答例】
定期試験対策テスト        6/11 ページ
6
次の問に答えなさい.
6
3点×3
(1) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [344-00]
O
P
A
B
118°
x
 中心角=2∠APB=2×118=236
 
 ∠x=360236=124
 
(2) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [344-01]
O
P
A
B
x
27°
∠APB=90°だから
 ∠APO=∠APB∠BPO=9027=63
 
△AOPは二等辺三角形なので
 ∠x=∠APO=63
 
(3) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [344-02]
O
P
Q
A
B
38°
x
 QB に対する円周角は等しいから
 ∠QAB=∠QPB=38
 
∠APB=90°なので
 ∠x=∠APB∠QPB=9038=52
 
(1) 124°
(2) 63°
(3) 52°
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【解答例】
定期試験対策テスト        7/11 ページ
7
次の問に答えなさい.
7
3点×3
(1) 次の図で,∠x,∠yの大きさを求めなさい.   [344-03]
O
P
Q
A
B
134°
x
y
 中心角=2∠APB=2×134=268
 
 ∠x=360268=92
 
 1 
 ∠y=∠x=46
  2 
(2) 次の図で,∠x,∠yの大きさを求めなさい.   [344-04]
y
P
A
B
Q
C
D
x
30°
 ∠y=2∠CQD=2×30=60
 
(3) 次の図で,∠x,∠yの大きさを求めなさい.   [351-00]
D
C
A
B
x
44°
y
83°
25°
25°
∠ABD=∠ACDから,円周角の定理の逆より4点A,B,C,Dは同じ円周上にある.
AB に対する 円周角は等しいから,∠ADB=∠ACB
(1) x=92°
y=46°
(2) x=30°
y=60°
(3) x=44°
y=83°
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8
次の問に答えなさい.
8
3点×2
(1) 次の図で,∠xの大きさを求めなさい.   [344-05]
F
A
B
D
C
E
63°
33°
x
同じ弧に対する円周角の大きさは等しいので,
    ∠AFB=∠AEB
    ∠BDC=∠BEC
よって
 ∠x=6333=30
 
(2) 次の図のように,1つの円で円周を10等分する点があります.このとき,∠xの大きさを求めなさい.   [344-06]
x
C
D
A
B
F


∠ACDは,弧ADに対する円周角だから
     1 
360
°
 ∠ACD=×5×=90
  2 
10
∠BDCは,弧BCに対する円周角だから
     1 
360
°
 ∠BDC=×3×=54
  2 
10
△CDFの内角の和は,180°なので
    °
 ∠x=180∠ACD∠BDC=36
 
(1) 30°
(2)
°
 36
 
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9
次の問に答えなさい.   [370-z0]
9
11点 部分点可
次の図のように,2つの弦ABとCDが,円内の点Pで交わっているとき,△PAC∽△PDBであることを証明しなさい.
P
A
B
C
D


△PACと△PDBで,
 CB に対する円周角は等しいから,
      ∠CAP=∠BDP    ---①
 AD に対する円周角は等しいから,
      ∠ACP=∠DBP    ---②

① ② から,2組の角が,それぞれ等しいので,
    △PAC∽△PDB
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10
次の問に答えなさい.   [370-z0]
10
11点 部分点可
次の図で,△ABE∽△ACDであることを証明しなさい.
A
B
C
D
E


△ABEと△ACDで,
 DE に対する円周角は等しいから,
      ∠ABE=∠ACD    ---①

また,共通だから,
      ∠BAE=∠CAD    ---②

① ② から,2組の角が,それぞれ等しいので,
    △ABE∽△ACD
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次の問に答えなさい.   [370-z0]
11
11点 部分点可
次の図のように,円周上の3点A,B,Cを頂点とする△ABCがあります.∠BACの二等分線が辺BC, BC と交わる点を,それぞれ,D,Eとするとき,△ABE∽△BDEであることを証明しなさい.
D
A
B
C
E


△ABEと△BDEで,
仮定より,
    ∠BAE=∠EAC

 EC に対する円周角は等しいから,
      ∠EAC=∠DBE
したがって,
      ∠BAE=∠DBE    ---①

また,
      ∠AEB=∠BED    ---②

① ② から,2組の角が,それぞれ等しいので,
    △ABE∽△BDE
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