(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-00]

(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-01]

(3) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-02]

(1)
(2)
(3)

次の図の円Oで， _AB^︵ を除く円周上に点Pがあるとき，∠AOB＝2∠APBであることを証明しなさい．なお，PKは円Oの直径．

△OPAと△OPBは二等辺三角形だから，それぞれの底角を∠x，∠yとすると，
    △OPAで，  ∠AOK＝              ---①
    △OPBで，  ∠BOK＝              ---②

∠AOB＝∠BOKー∠AOKなので，
① ② から，∠AOB＝          ー          

また，∠APB＝∠yー∠xだから，

    ∠AOB＝      ∠APB

空欄に記入

(1) １つの円で，円周の

		3
		5

の大きさの弧に対する円周角は何度ですか．   [342-00]

(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [343-00]

(3) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [341-00]

(1)
(2)
(3)	∠x＝ ∠y＝

次の(ア)〜(エ)で，４点A，B，C，Dが同じ円周上にあるものを選びなさい．

(ア) D C A B 36° 53° 46° 45°	(イ) D C A B 36° 51° 57° 51°
(ウ) D C A B 34° 83° 41° 45°	(エ) D C A B 44° 77° 23° 23°

(1) 次の図のように，３点A，B，Cがあります．直線ABについて点Cと反対側に，AB⊥CP，∠APB＝30°となる点Pを作図しなさい．   [360-00]

(2) 点Aを通る円Oの接線を作図しなさい．   [361-00]

(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-00]

(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-01]

(3) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-02]

(1)
(2)
(3)

(1) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [344-03]

(2) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [344-04]

(3) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [351-00]

(1)	∠x＝ ∠y＝
(2)	∠x＝ ∠y＝
(3)	∠x＝ ∠y＝

(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-05]

(2) 次の図のように，１つの円で円周を6等分する点があります．このとき，∠xの大きさを求めなさい．   [344-06]

(1)
(2)

次の図のように，２つの弦ABとCDが，円内の点Pで交わっているとき，△PAC∽△PDBであることを証明しなさい．

余白に記入

次の図のように，円周上に４点A，B，C，Dがあります． _AB^︵ ＝ _CD^︵ ならば，AD//BCであることを証明しなさい．

余白に記入

次の図のように，円周上に４点A，B，C，Dがあります． _BD^︵ ＝ _CD^︵ のとき，△ABD∽△AECであることを証明しなさい．また，ADとBCの交点をEとする．

余白に記入

(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-00]

∠x	= 2 ∠APB
∠x	= 2 × 58 = 116

(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-01]

(3) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-02]

∠x	= 2 ∠APB
∠x	= 2 × 45 = 90

(1)	116°
(2)	90°
(3)	90°

次の図の円Oで， _AB^︵ を除く円周上に点Pがあるとき，∠AOB＝2∠APBであることを証明しなさい．なお，PKは円Oの直径．

△OPAと△OPBは二等辺三角形だから，それぞれの底角を∠x，∠yとすると，
    △OPAで，  ∠AOK＝ 2∠x     ---①
    △OPBで，  ∠BOK＝ 2∠y     ---②

∠AOB＝∠BOKー∠AOKなので，
① ② から，∠AOB＝ 2∠y ー 2∠x 

また，∠APB＝∠yー∠xだから，

    ∠AOB＝ 2 ∠APB

空欄に記入

(1) １つの円で，円周の

		3
		5

の大きさの弧に対する円周角は何度ですか．   [342-00]

中心角				3					°
		∠y	=		×	360	=	216
				5

円周角				1				°
		∠x	=		∠y	=	108
				2

(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [343-00]

(3) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [341-00]

(1)	108°
(2)	34°
(3)	∠x＝43° ∠y＝53°

次の(ア)〜(エ)で，４点A，B，C，Dが同じ円周上にあるものを選びなさい．

(ア) D C A B 36° 53° 46° 45° 45°	(イ) D C A B 36° 51° 57° 51°
(ウ) D C A B 34° 83° 41° 45°	(エ) D C A B 44° 77° 23° 23°

(ア) (エ)

(1) 次の図のように，３点A，B，Cがあります．直線ABについて点Cと反対側に，AB⊥CP，∠APB＝30°となる点Pを作図しなさい．   [360-00]


1. 点Cを通る線分ABの垂線lをひく

2. △ABOが正三角形になるような点Oを，直線ABについて点Cと反対側にかく

3. 点Oを中心に，AOを半径とする円Oをかく

直線lと円Oの交点のうち，直線ABについて点Oと同じ側にある点が，求める点Pである．

(2) 点Aを通る円Oの接線を作図しなさい．   [361-00]

(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-00]

		中心角	=	360	−	72	=	288

				1
		∠x	=		×	288	=	144
				2

(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-01]△AOPは二等辺三角形なので

		∠APO	=	∠PAO	=	49

∠APB＝90°だから

∠x

=

∠APB

−

∠APO

=

90

−

49

=

41

(3) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-02] _QB^︵ に対する円周角は等しいから

		∠QAB	=	∠QPB	=	35

∠APB＝90°なので

∠x

=

∠APB

−

∠QPB

=

90

−

35

=

55

(1)	144°
(2)	41°
(3)	55°

(1) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [344-03]

		中心角	=	2	∠APB	=	2	×	101	=	202

		∠x	=	360	−	202	=	158

				1
		∠y	=		∠x	=	79
				2

(2) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [344-04]

		∠y	=	2	∠CQD	=	2	×	31	=	62

(3) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [351-00]△ABDで，内角の和が180°であることから，∠DBA＝21°．  ∠ABD＝∠ACDから，円周角の定理の逆より４点A，B，C，Dは同じ円周上にある．

(1)	∠x＝158° ∠y＝79°
(2)	∠x＝31° ∠y＝62°
(3)	∠x＝44° ∠y＝83°

(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-05]同じ弧に対する円周角の大きさは等しいので，
    ∠AFB＝∠AEB
    ∠BDC＝∠BEC

よって
		∠x	=	26	＋	18	=	44

(2) 次の図のように，１つの円で円周を6等分する点があります．このとき，∠xの大きさを求めなさい．   [344-06]

∠ACDは，弧ADに対する円周角だから

				1				360			°
		∠ACD	=		×	1	×		=	30
				2				6

∠BDCは，弧BCに対する円周角だから

				1				360			°
		∠BDC	=		×	3	×		=	90
				2				6

△CDFの内角の和は，180°なので

											°
		∠x	=	180	−	∠ACD	−	∠BDC	=	60

(1)	44°
(2)	°   60

次の図のように，２つの弦ABとCDが，円内の点Pで交わっているとき，△PAC∽△PDBであることを証明しなさい．

△PACと△PDBで，
 _CB^︵ に対する円周角は等しいから，
      ∠CAP＝∠BDP    ---①
 _AD^︵ に対する円周角は等しいから，
      ∠ACP＝∠DBP    ---②

① ② から，２組の角が，それぞれ等しいので，
    △PAC∽△PDB

余白に記入

次の図のように，円周上に４点A，B，C，Dがあります． _AB^︵ ＝ _CD^︵ ならば，AD//BCであることを証明しなさい．

仮定より，
     _AB^︵ ＝ _CD^︵     ---①

 _AB^︵ に対する円周角∠ACBと， _CD^︵ に対する円周角∠CADについて，
等しい弧に対する円周角は等しいから，①より
    ∠ACB＝∠CAD    ---②

②より，平行線の錯角は等しいから，
    AD//BC

余白に記入

次の図のように，円周上に４点A，B，C，Dがあります． _BD^︵ ＝ _CD^︵ のとき，△ABD∽△AECであることを証明しなさい．また，ADとBCの交点をEとする．

△ABDと△AECで，
仮定より， _BD^︵ ＝ _CD^︵ 
等しい弧に対する円周角は等しいから，
    ∠BAD＝∠EAC    ---①

また， _AB^︵ に対する円周角は等しいから，
      ∠ADB＝∠ACE    ---②

① ② から，２組の角が，それぞれ等しいので，
    △ABD∽△AEC

余白に記入