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円の性質
定期試験対策テスト    時間 50分        1/11 ページ
点
1
次の問に答えなさい．
1
3点×3
(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-00]
O
P
A
B
x
130°
(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-01]
O
P
A
B
x
(3) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-02]
O
P
A
B
47°
x
(1)
(2)
(3)
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定期試験対策テスト        2/11 ページ
2
次の問に答えなさい．   [332-01]
2
2点×5
次の図の円Oで， AB︵ を除く円周上に点Pがあるとき，∠AOB＝2∠APBであることを証明しなさい．なお，PKは円Oの直径．
O
P
A
B
K


△OPAと△OPBは二等辺三角形だから，それぞれの底角を∠x，∠yとすると，
    △OPAで，  ∠AOK＝              ---①
    △OPBで，  ∠BOK＝              ---②

∠AOB＝∠BOKー∠AOKなので，
① ② から，∠AOB＝          ー          

また，∠APB＝∠yー∠xだから，

    ∠AOB＝      ∠APB
空欄に記入
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定期試験対策テスト        3/11 ページ
3
次の問に答えなさい．
3
3点×3
(1) １つの円で，円周の
 1 
 
  3 
の大きさの弧に対する円周角は何度ですか．   [342-00]
(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [343-00]
P
A
B
Q
C
D
x
28°
(3) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [341-00]
x
36°
y
43°
(1)
(2)
(3) ∠x＝

∠y＝
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4
次の問に答えなさい．   [352-00]
4
完答 3点
次の(ア)〜(エ)で，４点A，B，C，Dが同じ円周上にあるものを選びなさい．
(ア)
D
C
A
B
44°
70°
34°
32°
(イ)
D
C
A
B
36°
78°
39°
24°
(ウ)
D
C
A
B
(エ)
D
C
A
B
38°
69°
52°
52°
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定期試験対策テスト        5/11 ページ
5
次の問に答えなさい．
5
6点×2
(1) 次の図のように，３点A，B，Cがあります．直線ABについて点Cと反対側に，AB⊥CP，∠APB＝30°となる点Pを作図しなさい．   [360-00]
A
B
C
(2) 点Aを通る円Oの接線を作図しなさい．   [361-00]
O
A
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6
次の問に答えなさい．
6
3点×3
(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-00]
O
P
A
B
118°
x
(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-01]
O
P
A
B
56°
x
(3) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-02]
O
P
Q
A
B
x
36°
(1)
(2)
(3)
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7
次の問に答えなさい．
7
3点×3
(1) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [344-03]
O
P
Q
A
B
119°
x
y
(2) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [344-04]
y
P
A
B
Q
C
D
x
32°
(3) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [351-00]
D
C
A
B
x
36°
y
71°
46°
46°
(1) ∠x＝

∠y＝
(2) ∠x＝

∠y＝
(3) ∠x＝

∠y＝
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8
次の問に答えなさい．
8
3点×2
(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-05]
F
A
B
D
C
E
x
44°
32°
(2) PA，PBは，円Oの接線です．∠xの大きさを求めなさい．   [344-07]
O
C
P
A
B
59°
x
(1)
(2)
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9
次の問に答えなさい．   [370-z0]
9
11点 部分点可
次の図のように，円周上に４点A，B，C，Dがあります．AD//BCならば， AB︵ ＝ CD︵ であることを証明しなさい．
A
B
C
D


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10
次の問に答えなさい．   [370-z0]
10
11点 部分点可
次の図のように，円周上に４点A，B，C，Dがあります． AB︵ ＝ CD︵ ならば，AD//BCであることを証明しなさい．
A
B
C
D


余白に記入
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11
次の問に答えなさい．   [370-z0]
11
11点 部分点可
次の図のように，円周上の３点A，B，Cを頂点とする△ABCがあります．∠BACの二等分線が辺BC， BC︵ と交わる点を，それぞれ，D，Eとするとき，△ABE∽△BDEであることを証明しなさい．
D
A
B
C
E


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【解答例】
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1
次の問に答えなさい．
1
3点×3
(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-00]
O
P
A
B
x
130°
 ∠x
 
 1 
 =∠AOB
  2 
 ∠x
 
 1 
 =×130=65
  2 
(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-01]
O
P
A
B
x
(3) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-02]
O
P
A
B
47°
x
 ∠x
 
 =2∠APB
 
 ∠x
 
 =2×47=94
 
(1) 65°
(2) 90°
(3) 94°
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【解答例】
定期試験対策テスト        2/11 ページ
2
次の問に答えなさい．   [332-01]
2
2点×5
次の図の円Oで， AB︵ を除く円周上に点Pがあるとき，∠AOB＝2∠APBであることを証明しなさい．なお，PKは円Oの直径．
O
P
A
B
K
x
y
x
y


△OPAと△OPBは二等辺三角形だから，それぞれの底角を∠x，∠yとすると，
    △OPAで，  ∠AOK＝ 2∠x     ---①
    △OPBで，  ∠BOK＝ 2∠y     ---②

∠AOB＝∠BOKー∠AOKなので，
① ② から，∠AOB＝ 2∠y ー 2∠x 

また，∠APB＝∠yー∠xだから，

    ∠AOB＝ 2 ∠APB
空欄に記入
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【解答例】
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3
次の問に答えなさい．
3
3点×3
(1) １つの円で，円周の
 1 
 
  3 
の大きさの弧に対する円周角は何度ですか．   [342-00]
O
x
y
中心角 1 °
 ∠y=×360=120
  3 
円周角 1 °
 ∠x=∠y=60
  2 
(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [343-00]
P
A
B
Q
C
D
x
28°
(3) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [341-00]
x
36°
y
43°
(1) 60°
(2) 28°
(3) ∠x＝36°
∠y＝43°
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【解答例】
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4
次の問に答えなさい．   [352-00]
4
完答 3点
次の(ア)〜(エ)で，４点A，B，C，Dが同じ円周上にあるものを選びなさい．
(ア)
D
C
A
B
44°
70°
34°
32°
34°
(イ)
D
C
A
B
36°
78°
39°
24°
27°
(ウ)
D
C
A
B
(エ)
D
C
A
B
38°
69°
52°
52°
(ア) (ウ) (エ)
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【解答例】
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5
次の問に答えなさい．
5
6点×2
(1) 次の図のように，３点A，B，Cがあります．直線ABについて点Cと反対側に，AB⊥CP，∠APB＝30°となる点Pを作図しなさい．   [360-00]
A
B
C
P
O
l



1. 点Cを通る線分ABの垂線lをひく

2. △ABOが正三角形になるような点Oを，直線ABについて点Cと反対側にかく

3. 点Oを中心に，AOを半径とする円Oをかく

直線lと円Oの交点のうち，直線ABについて点Oと同じ側にある点が，求める点Pである．


(2) 点Aを通る円Oの接線を作図しなさい．   [361-00]
O
A
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【解答例】
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6
次の問に答えなさい．
6
3点×3
(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-00]
O
P
A
B
118°
x
 中心角=2∠APB=2×118=236
 
 ∠x=360−236=124
 
(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-01]
O
P
A
B
56°
x
△AOPは二等辺三角形なので
 ∠APO=∠PAO=56
 
∠APB＝90°だから
 ∠x=∠APB−∠APO=90−56=34
 
(3) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-02]
O
P
Q
A
B
x
36°
∠APB＝90°なので
 ∠QPB=∠APB−∠APQ=90−36=54
 
 QB︵ に対する円周角は等しいから
 ∠x=∠QAB=∠QPB=54
 
(1) 124°
(2) 34°
(3) 54°
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7
次の問に答えなさい．
7
3点×3
(1) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [344-03]
O
P
Q
A
B
119°
x
y
 中心角=2∠APB=2×119=238
 
 ∠x=360−238=122
 
 1 
 ∠y=∠x=61
  2 
(2) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [344-04]
y
P
A
B
Q
C
D
x
32°
 ∠y=2∠CQD=2×32=64
 
(3) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [351-00]
D
C
A
B
x
36°
y
71°
46°
46°
∠ABD＝∠ACDから，円周角の定理の逆より４点A，B，C，Dは同じ円周上にある．
AB︵ に対する 円周角は等しいから，∠ADB＝∠ACB
(1) ∠x＝122°
∠y＝61°
(2) ∠x＝32°
∠y＝64°
(3) ∠x＝36°
∠y＝71°
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8
次の問に答えなさい．
8
3点×2
(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-05]
F
A
B
D
C
E
x
44°
32°
同じ弧に対する円周角の大きさは等しいので，
    ∠AFB＝∠AEB
    ∠BDC＝∠BEC
よって
 ∠x=32＋44=76
 
(2) PA，PBは，円Oの接線です．∠xの大きさを求めなさい．   [344-07]
O
C
P
A
B
59°
x

    °
 ∠AOB=2∠ACB=2×59=118
 
PA，PBは，円Oの接線だから，PA⊥OA，PB⊥OB．
したがって，四角形APBOの内角の和は，
    
 ∠x＋∠AOB＋2×90
 
 =360
 
 ∠x
 
 =360−(118＋2×90)
 
 ∠x
 
 =62
 
(1) 76°
(2)
°
 62
 
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次の問に答えなさい．   [370-z0]
9
11点 部分点可
次の図のように，円周上に４点A，B，C，Dがあります．AD//BCならば， AB︵ ＝ CD︵ であることを証明しなさい．
A
B
C
D


仮定AD//BCより，平行線の錯角は等しいから，
    ∠ACB＝∠CAD    ---①

 AB︵ に対する円周角∠ACBと， CD︵ に対する円周角∠CADについて

①より，等しい円周角に対する弧の長さは等しいから，
     AB︵ ＝ CD︵
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次の問に答えなさい．   [370-z0]
10
11点 部分点可
次の図のように，円周上に４点A，B，C，Dがあります． AB︵ ＝ CD︵ ならば，AD//BCであることを証明しなさい．
A
B
C
D


仮定より，
     AB︵ ＝ CD︵     ---①

 AB︵ に対する円周角∠ACBと， CD︵ に対する円周角∠CADについて，
等しい弧に対する円周角は等しいから，①より
    ∠ACB＝∠CAD    ---②

②より，平行線の錯角は等しいから，
    AD//BC
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次の問に答えなさい．   [370-z0]
11
11点 部分点可
次の図のように，円周上の３点A，B，Cを頂点とする△ABCがあります．∠BACの二等分線が辺BC， BC︵ と交わる点を，それぞれ，D，Eとするとき，△ABE∽△BDEであることを証明しなさい．
D
A
B
C
E


△ABEと△BDEで，
仮定より，
    ∠BAE＝∠EAC

 EC︵ に対する円周角は等しいから，
      ∠EAC＝∠DBE
したがって，
      ∠BAE＝∠DBE    ---①

また，
      ∠AEB＝∠BED    ---②

① ② から，２組の角が，それぞれ等しいので，
    △ABE∽△BDE
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