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三平方の定理
定期試験対策テスト    時間 50分        1/11 ページ
1
次の問に答えなさい.
1
2点×4
(1) xの値を求めなさい.   [381-00]
 1
 
 x
 
 
3
 
 
(2) xの値を求めなさい.   [381-00]
 
5
 3
 
 2
 
 x
 
(3) xの値を求めなさい.   [381-00]
 3
 
 x
 
 5
 
(4) 次の長さを3辺とする三角形のうち,直角三角形はどれですか.   [382-00]
    (ア)  
 156
 
    (イ)  
 
6
 125
 
    (ウ)  
 
5
 
3
 
2
 2
 
    (エ)  
 
3
 
3
 
5
 
 

(1)
(2)
(3)
(4)
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三平方の定理
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2
次の問に答えなさい.   [380-00]
2
11点 部分点可
∠C=90°の直角三角形ABCと合同な三角形を,次の図のように並べます.四角形ABHGと四角形CDEFが正方形であることから,a2b2c2となることを証明しなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
c
空欄に記入
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3
次の問に答えなさい.
3
2点×4
(1) 次の長方形の対角線の長さを求めなさい.    [383-00]
 2
 
 
2
 
 
(2) 2辺の長さがの三角形があります.
 4cm5cm
 
この三角形が直角三角形であるためには,残りの1辺の長さは,何cmであればよいですか.   [384-00]
(3) 1辺の長さが
 
7
 
 
正三角形ABCの高さを求めなさい.   [390-00]
B
A
C
 h
 
 
7
 
 
(4) xの値を求めなさい.   [392-00]
 3
 
 x
 
30°
(1)
(2)
(3)
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4
次の問に答えなさい.
4
3点×3
(1) 半径7cmの円があります.円Oの弦ABの長さが,8cmのとき,中心Oから弦ABまでの距離を求めなさい.   [393-00]
O
A
B
H
cm
 8
 
(2) 1辺の長さが
 
5
 
 
正三角形ABCの面積を求めなさい.   [391-00]
B
A
C
 
5
 
 
(3) 次の座標を持つ2点の間の距離を求めなさい.   [394-01]
 A(46)B(−2−1)
 
(1)
(2)
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次の問に答えなさい.
5
4点×2
(1) 次の図で,APは,Pを接点とする円Oの接線です.xの値を求めなさい.   [395-00]
また,円Oの半径をとする.
 2
 
A
P
O
 x
 
 
6
 
 
(2) xの値を求めなさい.   [396-00]
B
120°
C
x
 6
 
A
30°
(1)
(2)
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次の問に答えなさい.
6
4点×2
(1) xの値を求めなさい.   [397-10]
A
B
C
H
x
 
74
 
 
 3
 
 4
 

(2) xの値を求めなさい.   [397-20]
A
B
C
D
 4
 
x
 4
 
 10
 

(1)
(2)
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7
次の問に答えなさい.
7
3点×3
次の図は直方体です.次の問に答えなさい.   [3A0-00]
A
B
C
D
E
F
G
H


1.ACの長さを AB,BCを使って求めなさい.




2.AGの長さを AB,BC,CGを使って求めなさい.









3.AB=2cm ,BC=2cm ,CG=3cm のとき,AGの長さを求めなさい.
1
2
3
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8
次の問に答えなさい.
8
3点×3
正四角錐OABCDがあります.底面ABCDは,1辺が3cm の正方形で,他の辺の長さは,すべて6cm です.次の問に答えなさい.   [3A2-00]
A
B
C
D
O
H
6cm
3cm


1.AHの長さを求めなさい.




2.OHの長さを求めなさい.










3.OABCDの体積を求めなさい.
1
2
3
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9
次の問に答えなさい.   [3A3-10]
9
9点 部分点可
底面が1辺 4cm の正方形で,他の辺の長さが,すべて7cm である正四角錐の側面積を求めなさい.
A
B
C
D
O
7cm
4cm
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10
次の問に答えなさい.   [3A4-20]
10
9点 部分点可
半径2cmの球Oを,中心Oから,1cmの距離にある平面で切った時,切り口の図形は円になります.この円の円周の長さを求めなさい.
O
A
H
cm
 1
 
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11
次の問に答えなさい.   [3A4-00]
11
6点×2
次の図は,底面の1辺が,5cm,高さが,3cmの正四角柱です.頂点Aから頂点Eまで,糸を最短距離でかけます.次の問に答えなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H


1.かけた糸を,下の展開図に描きなさい.
2.糸の長さを求めなさい.
1 図に記入
2
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【解答例】
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1
次の問に答えなさい.
1
2点×4
(1) xの値を求めなさい.   [381-00]
 1
 
 x
 
 
3
 
 
    
2
 
3
2
2
 x=1=2
 
x>0 だから
    
 
2
 x=
 
(2) xの値を求めなさい.   [381-00]
 
5
 3
 
 2
 
 x
 
    
2
 
5
2
2
 x=(3)2=49
 
x>0 だから
    
 x=7
 
(3) xの値を求めなさい.   [381-00]
 3
 
 x
 
 5
 
    
2
2
2
 x=53=16
 
x>0 だから
    
 x=4
 
(4) 次の長さを3辺とする三角形のうち,直角三角形はどれですか.   [382-00]
    (ア)  
 156
 
    (イ)  
 
6
 125
 
    (ウ)  
 
5
 
3
 
2
 2
 
    (エ)  
 
3
 
3
 
5
 
 

(ア)
2
2
2
 15=266
 
(イ)
2
 
6
2
2
    ◯
 1(2)=25=5
 
(ウ)
 
5
2
 
3
2
 
2
2
    ◯
 =(2)
 
(エ)
 
3
2
 
3
2
 
6
2
 
5
2
 =
 
(1)
 
2
 
 
(2)
 7
 
(3)
 4
 
(4) イ ,ウ
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【解答例】
定期試験対策テスト        2/11 ページ
2
次の問に答えなさい.   [380-00]
2
11点 部分点可
∠C=90°の直角三角形ABCと合同な三角形を,次の図のように並べます.四角形ABHGと四角形CDEFが正方形であることから,a2b2c2となることを証明しなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
c
四角形CDEFの面積を S とする.
四角形CDEFは正方形だから,
    S=(ab)2    ---①

また,四角形CDEFの面積は,4つの直角三角形と正方形ABHGに分けることができるから,
     1 
2
    ---②
 S=4×abc
  2 

① ② から,
    
2
 (ab)
 
 1 
2
 =4×abc
  2 
2
2
 a2abb
 
2
 =2abc
 
2
2
 ab
 
2
 =c
 
空欄に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        3/11 ページ
3
次の問に答えなさい.
3
2点×4
(1) 次の長方形の対角線の長さを求めなさい.    [383-00]
 2
 
 
2
 
 
対角線の長さをx とする.
    
2
2
 
2
2
 x=2=6
 
x>0 だから
    
 
6
 x=
 
(2) 2辺の長さがの三角形があります.
 4cm5cm
 
この三角形が直角三角形であるためには,残りの1辺の長さは,何cmであればよいですか.   [384-00]
残りの1辺の長さをx cm とする.
直角をはさむ2辺の長さがのとき
 4cm5cm
 
    
2
2
2
 x=45=41
 
x>0 だから
    
 
41
 x=
 
   
斜辺の長さがのとき
 5cm
 
    
2
2
2
 x=54=9
 
x>0 だから
    
 x=3
 
(3) 1辺の長さが
 
7
 
 
正三角形ABCの高さを求めなさい.   [390-00]
B
A
C
 h
 
 
7
 
 
 1 
 
7
 
  2 
    
2
 
7
2
 1 
 
7
2
 21 
 h=()=
  2  4 
x>0 だから
     1 
 
21
 h=
  2 
(4) xの値を求めなさい.   [392-00]
 3
 
 x
 
30°
    
 3x
 
 =12
 
 x
 
 =6
 
(1)
 
6
 
 
(2)
 
41
 cm3cm
 
(3)
 1 
 
21
 
  2 
(4)
 6
 
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【解答例】
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4
次の問に答えなさい.
4
3点×3
(1) 半径7cmの円があります.円Oの弦ABの長さが,8cmのとき,中心Oから弦ABまでの距離を求めなさい.   [393-00]
O
A
B
H
cm
 8
 
cm
 7
 
x
    
2
2
2
 AO=OHAH
 
OHを x とすると.
    
2
2
2
 x=74=33
 
x>0 だから
    
 
33
 x=
 
(2) 1辺の長さが
 
5
 
 
正三角形ABCの面積を求めなさい.   [391-00]
B
A
C
 
5
 
 
 h
 
 1 
 
5
 
  2 
    
2
 
5
2
 1 
 
5
2
 15 
 h=()=
  2  4 
h>0 だから  1 
 
15
 h=
  2 
面積
 S
 
 1 
 
5
 1 
 
15
 =××
  2  2 
 S
 
 5 
 
3
 =
  4 
(3) 次の座標を持つ2点の間の距離を求めなさい.   [394-01]
 A(46)B(−2−1)
 
    
2
 AB
 
2
2
 =(−24)(−16)
 
 
 
2
2
 =(−6)(−7)
 
2
 AB
 
 =85
 
AB>0 だから
    
 
85
 AB=
 
(1)
 
33
cm
 
 
(2)
 5 
 
3
 
  4 
(3)
 
85
 
 
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【解答例】
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5
次の問に答えなさい.
5
4点×2
(1) 次の図で,APは,Pを接点とする円Oの接線です.xの値を求めなさい.   [395-00]
また,円Oの半径をとする.
 2
 
A
P
O
 x
 
 
6
 
 
    
2
 
6
2
2
 x=2=2
 
x>0 だから
    
 
2
 x=
 
(2) xの値を求めなさい.   [396-00]
B
120°
C
x
 6
 
A
30°
H
30°
60°
CBを延長した直線に,頂点Aからに垂線を引き,その交点をHとする.
△ACHは,30°,60°,90°の直角三角形だから,
 AH=3
 
△ABHは,30°,60°,90°の直角三角形だから,
 
3
 x=2
 

(1)
 
2
 
 
(2)
 
3
 2
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        6/11 ページ
6
次の問に答えなさい.
6
4点×2
(1) xの値を求めなさい.   [397-10]
A
B
C
H
x
 
74
 
 
 3
 
 4
 
直角三角形ABHについて,
    
2
 AH
 
 
74
2
2
 =(34)
 
2
 AH
 
 =25
 
直角三角形ACHについて,
    
2
 x
 
2
2
 =4AH
 
2
 x
 
 =41
 
x>0 だから
    
 
41
 x=
 

(2) xの値を求めなさい.   [397-20]
A
B
C
D
 4
 
x
 4
 
 10
 
H
 4
 
 6
 
頂点Dから BCに垂線を引き,その交点をHとする.
直角三角形DHCについて,
HC=BC-ADだから,
    
2
 x
 
2
2
 =DHHC
 
 
 
2
2
 =4(104)
 
2
 x
 
 =52
 
x>0 だから
    
 
13
 x=2
 

(1)
 
41
 
 
(2)
 
13
 2
 
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【解答例】
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7
次の問に答えなさい.
7
3点×3
次の図は直方体です.次の問に答えなさい.   [3A0-00]
A
B
C
D
E
F
G
H


1.ACの長さを AB,BCを使って求めなさい.

△ABCの直角三角形から
    
2
2
2
        ---①
 AC=ABBC
 
AC>0 だから
    
 
2
2
ABBC
 AC=
 



2.AGの長さを AB,BC,CGを使って求めなさい.

△ACGに着目すると,∠ACG=90°だから
    
2
2
2
 AG=ACCG
 
①より
    
2
2
2
2
 AG=ABBCCG
 
AG>0 だから
    
 
2
2
2
ABBCCG
 AG=
 


3.AB=2cm ,BC=2cm ,CG=3cm のとき,AGの長さを求めなさい.
    
 AG
 
 
2
2
2
ABBCCG
 =
 
 AG
 
 
2
2
2
223
 =
 
 AG
 
 
17
 =
 
1
 
2
2
ABBC
 AC=
 
2
 
2
2
2
ABBCCG
 AG=
 
3
 
17
cm
 
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        8/11 ページ
8
次の問に答えなさい.
8
3点×3
正四角錐OABCDがあります.底面ABCDは,1辺が3cm の正方形で,他の辺の長さは,すべて6cm です.次の問に答えなさい.   [3A2-00]
A
B
C
D
O
H
6cm
3cm


1.AHの長さを求めなさい.
正方形ABCDの対角線ACの長さは,
    
 
2
 AC=AB
 
正方形ABCDの対角線は,中点で交わるから,AHの長さは
    
 AH
 
 1 
 =AC
  2 
 
 
 1 
 
2
 =AB
  2 
 
 
 1 
 
2
 =×3
  2 
 AH
 
 3 
 
2
 =
  2 

2.OHの長さを求めなさい.
△OAHに着目すると,∠AHO=90°だから
    
2
 OH
 
2
2
 =OAAH
 
 
 
2
 3 
 
2
2
 =6()
  2 
 
 
 63 
 =
  2 
OH>0 だから
    
 OH
 
 
 63 
 2 
 =
 
 
 
 3 
 
14
 =
  2 

3.OABCDの体積を求めなさい.
正四角錐OABCDの体積をVとすると,
    
 V
 
 1 
2
 =ABOH
  3 
 
 
 1 
2
 3 
 
14
 =×3×
  3  2 
 
 
 9 
 
14
 =
  2 
1
  3 
 
2
cm
 
  2 
2
  3 
 
14
cm
 
  2 
3
  9 
 
14
cm3
 
  2 
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【解答例】
定期試験対策テスト        9/11 ページ
9
次の問に答えなさい.   [3A3-10]
9
9点 部分点可
底面が1辺 4cm の正方形で,他の辺の長さが,すべて7cm である正四角錐の側面積を求めなさい.
A
B
C
D
O
7cm
4cm

[△OABの高さOGを求める]
    
2
 OG
 
2
2
 =AOAG
 
 
 
2
2
 =72
 
 
 
 =45
 
OG>0 だから
    
 OG
 
 
45
 =
 
 
 
 
5
 =3
 

[△OABの面積を求める]
    
 △OAB
 
 1 
 =ABOG
  2 
 
 
 1 
 
5
 =×4×3
  2 
 
 
 
5
 =6
 

[側面積を求める]
正四角錐OABCDの側面積をSとすると,
    
 S
 
 =4△OAB
 
 
 
 
5
 =4×6
 
 
 
 
5
 =24
 

 
5
cm2
 24
 
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10
次の問に答えなさい.   [3A4-20]
10
9点 部分点可
半径2cmの球Oを,中心Oから,1cmの距離にある平面で切った時,切り口の図形は円になります.この円の円周の長さを求めなさい.
O
A
H
cm
 1
 
cm
 2
 


[切り口の円の半径を求める]
    
2
2
2
 AO=OHAH
 
AHを r とすると.
    
2
2
2
 r=21=3
 

r>0 だから
    
 
3
 r=
 


[切り口の円周の長さ l を求める]
    
 l
 
 =2πr
 
 
 
 
3
 =2π×
 
 
 
 
3
 =2π
 
 
3
cm
 2π
 
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【解答例】
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11
次の問に答えなさい.   [3A4-00]
11
6点×2
次の図は,底面の1辺が,5cm,高さが,3cmの正四角柱です.頂点Aから頂点Eまで,糸を最短距離でかけます.次の問に答えなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H


1.かけた糸を,下の展開図に描きなさい.
最短距離で糸をかけるから,展開図上では 直線になる.展開図上の点Pは,正四角柱における頂点Eです.また,展開図上の点Qは,正四角柱における頂点Aです.

2.糸の長さを求めなさい.

△APQに着目すると,∠AQP=90°だから
    
2
2
2
 AP=AQPQ
 
 AQ=4×5=20
 
 PQ=3
 
より
    
2
 AP
 
2
2
 =203
 
2
 AP
 
 =409
 
AP>0 だから
    
 
409
 AP=
 
1 図に記入
2
 
 
409
cm
 
 
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