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三平方の定理
定期試験対策テスト    時間 50分        1/11 ページ
点
1
次の問に答えなさい．
1
2点×4
(1) xの値を求めなさい．   [381-00]
 x
 
 4
 
 
5
 2
 
(2) xの値を求めなさい．   [381-00]
 x
 
 6
 
 
10
 2
 
(3) xの値を求めなさい．   [381-00]
 
2
 
 
 x
 
 
5
 
 
(4) 次の長さを３辺とする三角形のうち，直角三角形はどれですか．   [382-00]
    (ア)  
 
34
 3，5，
 
    (イ)  
 
5
 
6
 
7
 ，，
 
    (ウ)  
 
6
 
7
 1，，
 
    (エ)  
 
6
 
7
 2，，
 

(1)
(2)
(3)
(4)
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次の問に答えなさい．   [380-00]
2
11点 部分点可
∠C＝90°の直角三角形ABCと合同な三角形を，次の図のように並べます．四角形ABDEと四角形CFGHが正方形であることから，a2＋b2＝c2となることを証明しなさい．
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
c
空欄に記入
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3
次の問に答えなさい．
3
2点×4
(1) 次の長方形の対角線の長さを求めなさい．    [383-00]
 2
 
 5
 
(2) ２辺の長さがの三角形があります．
 2cm，7cm
 
この三角形が直角三角形であるためには，残りの１辺の長さは，何cmであればよいですか．   [384-00]
(3) １辺の長さが
 
6
の
 
 
正三角形ABCの高さを求めなさい．   [390-00]
B
A
C
 h
 
 
6
 
 
(4) xの値を求めなさい．   [392-00]
 5
 
 x
 
45°
(1)
(2)
(3)
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4
次の問に答えなさい．
4
3点×3
(1) 半径6cmの円Oで，中心Oから距離が5cmである弦の長さを求めなさい．   [393-00]
O
A
B
H
cm
 5
 
(2) １辺の長さがの
 2
 
正三角形ABCの面積を求めなさい．   [391-00]
B
A
C
 2
 
(3) 次の座標を持つ２点の間の距離を求めなさい．   [394-01]
 A(−3，4)，B(3，−5)
 
(1)
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次の問に答えなさい．
5
4点×2
(1) 次の図で，APは，Pを接点とする円Oの接線です．xの値を求めなさい．   [395-00]
A
P
O
 1
 
 3
 
 x
 
(2) xの値を求めなさい．   [396-00]
A
45°
C
 
2
 2
 
x
B
105°
(1)
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6
次の問に答えなさい．
6
4点×2
(1) xの値を求めなさい．   [397-00]
A
B
C
H
 
10
 2
 
x
 2
 
 3
 

(2) xの値を求めなさい．   [397-10]
A
B
C
H
x
 
74
 
 
 3
 
 4
 

(1)
(2)
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7
次の問に答えなさい．
7
3点×3
次の図は直方体です．次の問に答えなさい．   [3A0-00]
A
B
C
D
E
F
G
H


１．ACの長さを AB，BCを使って求めなさい．




２．AGの長さを AB，BC，CGを使って求めなさい．









３．AB＝4cm ，BC＝2cm ，CG＝4cm のとき，AGの長さを求めなさい．
1
2
3
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8
次の問に答えなさい．
8
3点×3
正四角錐OABCDがあります．底面ABCDは，１辺が5cm の正方形で，他の辺の長さは，すべて7cm です．次の問に答えなさい．   [3A2-00]
A
B
C
D
O
H
7cm
5cm


１．AHの長さを求めなさい．




２．OHの長さを求めなさい．










３．OABCDの体積を求めなさい．
1
2
3
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9
次の問に答えなさい．   [3A3-30]
9
9点 部分点可
底面が半径 2cm の円形で，高さが，3cm である円錐の側面積を求めなさい．
A
O
H
3cm
2cm
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10
次の問に答えなさい．   [3A4-20]
10
9点 部分点可
半径3cmの球Oを，中心Oから，1cmの距離にある平面で切った時，切り口の図形は円になります．この円の円周の長さを求めなさい．
O
A
H
cm
 1
 
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11
次の問に答えなさい．   [3A4-30]
11
4点×3
１辺の長さが，6cm の立方体があります．３点 B，E，Gを通る平面でこの立方体を切るとき，次の問に答えなさい．
A
B
C
D
E
F
G
H

１．三角錐FBEGの体積を求めなさい．
２．△BEGの面積を求めなさい．








３．角錐FBEGの底面を△BEGと考えるとき，高さを求めなさい．
1
2
3
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【解答例】
定期試験対策テスト    時間 50分        1/11 ページ
1
次の問に答えなさい．
1
2点×4
(1) xの値を求めなさい．   [381-00]
 x
 
 4
 
 
5
 2
 
    
2
 
5
2
2
 x=(2)−4=4
 
x＞0 だから
    
 x=2
 
(2) xの値を求めなさい．   [381-00]
 x
 
 6
 
 
10
 2
 
    
2
 
10
2
2
 x=(2)−6=4
 
x＞0 だから
    
 x=2
 
(3) xの値を求めなさい．   [381-00]
 
2
 
 
 x
 
 
5
 
 
    
2
 
5
2
 
2
2
 x=−=3
 
x＞0 だから
    
 
3
 x=
 
(4) 次の長さを３辺とする三角形のうち，直角三角形はどれですか．   [382-00]
    (ア)  
 
34
 3，5，
 
    (イ)  
 
5
 
6
 
7
 ，，
 
    (ウ)  
 
6
 
7
 1，，
 
    (エ)  
 
6
 
7
 2，，
 

(ア)
2
2
 
34
2
    ◯
 3＋5=34=
 
(イ)
 
5
2
 
6
2
 
11
2
 
7
2
 ＋=≠
 
(ウ)
2
 
6
2
 
7
2
    ◯
 1＋=
 
(エ)
2
 
6
2
 
10
2
 
7
2
 2＋=≠
 
(1)
 2
 
(2)
 2
 
(3)
 
3
 
 
(4) ア ,ウ
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【解答例】
定期試験対策テスト        2/11 ページ
2
次の問に答えなさい．   [380-00]
2
11点 部分点可
∠C＝90°の直角三角形ABCと合同な三角形を，次の図のように並べます．四角形ABDEと四角形CFGHが正方形であることから，a2＋b2＝c2となることを証明しなさい．
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
c
四角形ABDEの面積を S とする．
四角形ABDEは正方形だから，
    S＝c2    ---①

また，四角形ABDEの面積は，４つの直角三角形と正方形CFGHに分けることができるから，
     1 
2
    ---②
 S=4×ab＋(a−b)
  2 

① ② から，
     1 
2
 4×ab＋(a−b)
  2 
2
 =c
 
2
2
 2ab＋(a−2ab＋b)
 
2
 =c
 
2
2
 a＋b
 
2
 =c
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        3/11 ページ
3
次の問に答えなさい．
3
2点×4
(1) 次の長方形の対角線の長さを求めなさい．    [383-00]
 2
 
 5
 
対角線の長さをx とする．
    
2
2
2
 x=2＋5=29
 
x＞0 だから
    
 
29
 x=
 
(2) ２辺の長さがの三角形があります．
 2cm，7cm
 
この三角形が直角三角形であるためには，残りの１辺の長さは，何cmであればよいですか．   [384-00]
残りの１辺の長さをx cm とする．
直角をはさむ２辺の長さがのとき
 2cm，7cm
 
    
2
2
2
 x=2＋7=53
 
x＞0 だから
    
 
53
 x=
 
   
斜辺の長さがのとき
 7cm
 
    
2
2
2
 x=7−2=45
 
x＞0 だから
    
 
5
 x=3
 
(3) １辺の長さが
 
6
の
 
 
正三角形ABCの高さを求めなさい．   [390-00]
B
A
C
 h
 
 
6
 
 
 1 
 
6
 
  2 
    
2
 
6
2
 1 
 
6
2
 9 
 h=−()=
  2  2 
x＞0 だから
     3 
 
2
 h=
  2 
(4) xの値を求めなさい．   [392-00]
 5
 
 x
 
45°
    
 5：x
 
 
2
 =1：
 
 x
 
 
2
 =5
 
(1)
 
29
 
 
(2)
 
53
 
5
 cm，3cm
 
(3)
 3 
 
2
 
  2 
(4)
 
2
 5
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        4/11 ページ
4
次の問に答えなさい．
4
3点×3
(1) 半径6cmの円Oで，中心Oから距離が5cmである弦の長さを求めなさい．   [393-00]
O
A
B
H
cm
 5
 
cm
 6
 
x
    
2
2
2
 AO=OH＋AH
 
AHを x とすると．
    
2
2
2
 x=6−5=11
 
x＞0 だから
 
11
 x=
 
したがって，
 
11
 AB=2
 
(2) １辺の長さがの
 2
 
正三角形ABCの面積を求めなさい．   [391-00]
B
A
C
 2
 
 h
 
 1
 
    
2
2
2
 h=2−1=3
 
h＞0 だから
 
3
 h=
 
面積
 S
 
 1 
 
3
 =×2×
  2 
 S
 
 
3
 =
 
(3) 次の座標を持つ２点の間の距離を求めなさい．   [394-01]
 A(−3，4)，B(3，−5)
 
    
2
 AB
 
2
2
 ={3−(−3)}＋(−5−4)
 
 
 
2
2
 =6＋(−9)
 
2
 AB
 
 =117
 
AB＞0 だから
    
 
13
 AB=3
 
(1)
 
11
cm
 2
 
(2)
 
3
 
 
(3)
 
13
 3
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        5/11 ページ
5
次の問に答えなさい．
5
4点×2
(1) 次の図で，APは，Pを接点とする円Oの接線です．xの値を求めなさい．   [395-00]
A
P
O
 1
 
 3
 
 x
 
    
2
2
2
 x=1＋3=10
 
x＞0 だから
    
 
10
 x=
 
(2) xの値を求めなさい．   [396-00]
A
45°
C
 
2
 2
 
x
B
H
30°
45°
60°
頂点BからACに垂線を引き，その交点をHとする．
△BAHは，45°,45°,90°の直角二等辺三角形だから，
 BH=2
 
△BCHは，30°,60°,90°の直角三角形だから，
 x=4
 

(1)
 
10
 
 
(2)
 4
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        6/11 ページ
6
次の問に答えなさい．
6
4点×2
(1) xの値を求めなさい．   [397-00]
A
B
C
H
 
10
 2
 
x
 2
 
 3
 
直角三角形ABHについて，
    
2
 AH
 
 
10
2
2
 =(2)−2
 
2
 AH
 
 =36
 
直角三角形ACHについて，
    
2
 x
 
2
2
 =3＋AH
 
2
 x
 
 =45
 
x＞0 だから
    
 
5
 x=3
 

(2) xの値を求めなさい．   [397-10]
A
B
C
H
x
 
74
 
 
 3
 
 4
 
直角三角形ABHについて，
    
2
 AH
 
 
74
2
2
 =−(3＋4)
 
2
 AH
 
 =25
 
直角三角形ACHについて，
    
2
 x
 
2
2
 =4＋AH
 
2
 x
 
 =41
 
x＞0 だから
    
 
41
 x=
 

(1)
 
5
 3
 
(2)
 
41
 
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        7/11 ページ
7
次の問に答えなさい．
7
3点×3
次の図は直方体です．次の問に答えなさい．   [3A0-00]
A
B
C
D
E
F
G
H


１．ACの長さを AB，BCを使って求めなさい．

△ABCの直角三角形から
    
2
2
2
        ---①
 AC=AB＋BC
 
AC＞0 だから
    
 
2
2
AB＋BC
 AC=
 



２．AGの長さを AB，BC，CGを使って求めなさい．

△ACGに着目すると，∠ACG＝90°だから
    
2
2
2
 AG=AC＋CG
 
①より
    
2
2
2
2
 AG=AB＋BC＋CG
 
AG＞0 だから
    
 
2
2
2
AB＋BC＋CG
 AG=
 


３．AB＝4cm ，BC＝2cm ，CG＝4cm のとき，AGの長さを求めなさい．
    
 AG
 
 
2
2
2
AB＋BC＋CG
 =
 
 AG
 
 
2
2
2
4＋2＋4
 =
 
 AG
 
 
36
 =
 
 AG
 
 =6
 
1
 
2
2
AB＋BC
 AC=
 
2
 
2
2
2
AB＋BC＋CG
 AG=
 
3
cm
 6
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        8/11 ページ
8
次の問に答えなさい．
8
3点×3
正四角錐OABCDがあります．底面ABCDは，１辺が5cm の正方形で，他の辺の長さは，すべて7cm です．次の問に答えなさい．   [3A2-00]
A
B
C
D
O
H
7cm
5cm


１．AHの長さを求めなさい．
正方形ABCDの対角線ACの長さは，
    
 
2
 AC=AB
 
正方形ABCDの対角線は，中点で交わるから，AHの長さは
    
 AH
 
 1 
 =AC
  2 
 
 
 1 
 
2
 =AB
  2 
 
 
 1 
 
2
 =×5
  2 
 AH
 
 5 
 
2
 =
  2 

２．OHの長さを求めなさい．
△OAHに着目すると，∠AHO＝90°だから
    
2
 OH
 
2
2
 =OA−AH
 
 
 
2
 5 
 
2
2
 =7−()
  2 
 
 
 73 
 =
  2 
OH＞0 だから
    
 OH
 
 
 73 
 2 
 =
 
 
 
 1 
 
146
 =
  2 

３．OABCDの体積を求めなさい．
正四角錐OABCDの体積をVとすると，
    
 V
 
 1 
2
 =ABOH
  3 
 
 
 1 
2
 1 
 
146
 =×5×
  3  2 
 
 
 25 
 
146
 =
  6 
1
  5 
 
2
cm
 
  2 
2
  1 
 
146
cm
 
  2 
3
  25 
 
146
cm3
 
  6 
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【解答例】
定期試験対策テスト        9/11 ページ
9
次の問に答えなさい．   [3A3-30]
9
9点 部分点可
底面が半径 2cm の円形で，高さが，3cm である円錐の側面積を求めなさい．
A
O
H
3cm
2cm

［OAの長さを求める］
    
2
 OA
 
2
2
 =OH＋AH
 
 
 
2
2
 =3＋2
 
 
 
 =9＋4
 
 
 
 =13
 
OH＞0 だから
    
 
13
 OA=
 

［円錐の側面積を求める］
右図は，この円錐の展開図です．

扇形OAPの面積（円錐の側面積）と Oを中心として半径OAの円Oの面積の比は，弧APと 円Oの円周の長さ の比に等しいので
    
 扇形OAP：円O
 
 =弧AP：円Oの円周の長さ
 
 扇形OAP
 
弧AP
    ---①
 =円O×
 
円Oの円周の長さ
弧APは，底面（円H）の円周の長さ と等しいので
    
2
    ---②
 弧AP=2πAH
 

①②より
    
 扇形OAP
 
2
2πAH
 =πOA×
 
2πOA
 
 
 =πOAAH
 
よって
    
 扇形OAP
 
 
13
 =π××2
 
 
 
 
13
 =2π
 
 
13
cm2
 2π
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        10/11 ページ
10
次の問に答えなさい．   [3A4-20]
10
9点 部分点可
半径3cmの球Oを，中心Oから，1cmの距離にある平面で切った時，切り口の図形は円になります．この円の円周の長さを求めなさい．
O
A
H
cm
 1
 
cm
 3
 


［切り口の円の半径を求める］
    
2
2
2
 AO=OH＋AH
 
AHを r とすると．
    
2
2
2
 r=3−1=8
 

r＞0 だから
    
 
2
 r=2
 


［切り口の円周の長さ l を求める］
    
 l
 
 =2πr
 
 
 
 
2
 =2π×2
 
 
 
 
2
 =4π
 
 
2
cm
 4π
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        11/11 ページ
11
次の問に答えなさい．   [3A4-30]
11
4点×3
１辺の長さが，6cm の立方体があります．３点 B，E，Gを通る平面でこの立方体を切るとき，次の問に答えなさい．
A
B
C
D
E
F
G
H

１．三角錐FBEGの体積を求めなさい．
三角錐FBEGの底面を△BEFと考えると，高さはFGとなるから，三角錐FBEGの体積Vは．
 1 
 V=△BEF×FG
  3 
        
 △BEF
 
 1  1 
2
 =ABAE=×6=18
  2  2 
 V
 
 1 
 =△BEF×FG
  3 
 
 
 1 
 =×18×6=36
  3 
２．△BEGの面積を求めなさい．
E
G
B
x
 
2
 6
 
 
2
 3
 
△BEGは正三角形．一辺の長さは，正方形ABFEの対角線の長さだから，
    
2
 BE
 
2
2
 =AB＋AE
 
 BE
 
 
2
 =6
 
正三角形BEGの高さ x は，30°,60°,90°の直角三角形の辺の比から
    
 x
 
 
2
 
3
 
6
 =3×=3
 
△BEGの面積は，
    
 △BEG
 
 1 
 =BEx
  2 
 
 
 1 
 
2
 
6
 
3
 =×6×3=18
  2 
３．角錐FBEGの底面を△BEGと考えるとき，高さを求めなさい．
角錐FBEGの体積 V を，底面△BEGの面積と高さ h からもとめる．
    
 V
 
 1 
 =△BEGh
  3 
 h
 
3V
 
3
1
 
3
 ==3×36÷(18)=6=2
 
△BEG
 
3
1
 cm3
 36
 
2
 
 
3
cm2
 18
 
3
 
 
3
cm
 2
 
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