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三平方の定理
定期試験対策テスト    時間 50分        1/11 ページ
点
1
次の問に答えなさい．
1
2点×4
(1) xの値を求めなさい．   [381-00]
 
2
 
 
 2
 
 x
 
(2) xの値を求めなさい．   [381-00]
 3
 
 x
 
 6
 
(3) xの値を求めなさい．   [381-00]
 x
 
 2
 
 
5
 
 
(4) 次の長さを３辺とする三角形のうち，直角三角形はどれですか．   [382-00]
    (ア)  
 
35
 1，，6
 
    (イ)  
 
2
 
3
 
6
 ，，
 
    (ウ)  
 1，4，5
 
    (エ)  
 1，2，5
 

(1)
(2)
(3)
(4)
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定期試験対策テスト        2/11 ページ
2
次の問に答えなさい．   [380-00]
2
11点 部分点可
次の図のように，∠C＝90°の直角三角形ABCの頂点Cから，斜辺ABに垂線CDをひくと，
        △ABC∽△CBD
        △ABC∽△ACD
であることから，a2＋b2＝c2となることを証明しなさい．
A
B
C
D
a
b
c
y
x
空欄に記入
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次の問に答えなさい．
3
2点×4
(1) 次の長方形の対角線の長さを求めなさい．    [383-00]
 2
 
 4
 
(2) ２辺の長さが
 
5
の三角形があります．
 1cm，cm
 
この三角形が直角三角形であるためには，残りの１辺の長さは，何cmであればよいですか．   [384-00]
(3) １辺の長さが
 
5
の
 
 
正三角形ABCの高さを求めなさい．   [390-00]
B
A
C
 h
 
 
5
 
 
(4) xの値を求めなさい．   [392-00]
 x
 
 
2
 6
 
45°
(1)
(2)
(3)
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次の問に答えなさい．
4
3点×3
(1) 半径6cmの円があります．円Oの弦ABの長さが，10cmのとき，中心Oから弦ABまでの距離を求めなさい．   [393-00]
O
A
B
H
cm
 10
 
(2) １辺の長さが
 
6
の
 
 
正三角形ABCの面積を求めなさい．   [391-00]
B
A
C
 
6
 
 
(3) 次の座標を持つ２点の間の距離を求めなさい．   [394-01]
 A(−1，−8)，B(6，9)
 
(1)
(2)
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次の問に答えなさい．
5
4点×2
(1) 次の図で，APは，Pを接点とする円Oの接線です．xの値を求めなさい．   [395-00]
A
P
O
 
3
 2
 
 2
 
 x
 
(2) xの値を求めなさい．   [396-00]
C
45°
B
 
2
 
 
x
A
75°
(1)
(2)
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次の問に答えなさい．
6
4点×2
(1) xの値を求めなさい．   [397-20]
A
B
C
D
 3
 
x
 4
 
 9
 

(2) xの値を求めなさい．   [397-30]
A
B
C
D
 6
 
 2
 
 5
 
x

(1)
(2)
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7
次の問に答えなさい．
7
3点×3
次の図は直方体です．次の問に答えなさい．   [3A0-00]
A
B
C
D
E
F
G
H


１．ACの長さを AB，BCを使って求めなさい．




２．AGの長さを AB，BC，CGを使って求めなさい．









３．AB＝2cm ，BC＝3cm ，CG＝3cm のとき，AGの長さを求めなさい．
1
2
3
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8
次の問に答えなさい．
8
3点×3
正四角錐OABCDがあります．底面ABCDは，１辺が3cm の正方形で，他の辺の長さは，すべて6cm です．次の問に答えなさい．   [3A2-00]
A
B
C
D
O
H
6cm
3cm


１．AHの長さを求めなさい．




２．OHの長さを求めなさい．










３．OABCDの体積を求めなさい．
1
2
3
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9
次の問に答えなさい．   [3A3-30]
9
9点 部分点可
底面が半径 3cm の円形で，高さが，5cm である円錐の側面積を求めなさい．
A
O
H
5cm
3cm
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10
次の問に答えなさい．   [3A4-20]
10
9点 部分点可
半径5cmの球Oを，中心Oから，2cmの距離にある平面で切った時，切り口の図形は円になります．この円の円周の長さを求めなさい．
O
A
H
cm
 2
 
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11
次の問に答えなさい．   [3A4-00]
11
6点×2
次の図は，底面の１辺が，2cm，高さが，3cmの正四角柱です．頂点Aから頂点Eまで，糸を最短距離でかけます．次の問に答えなさい．
A
B
C
D
E
F
G
H


１．かけた糸を，下の展開図に描きなさい．
２．糸の長さを求めなさい．
1 図に記入
2
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【解答例】
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1
次の問に答えなさい．
1
2点×4
(1) xの値を求めなさい．   [381-00]
 
2
 
 
 2
 
 x
 
    
2
 
2
2
2
 x=＋2=6
 
x＞0 だから
    
 
6
 x=
 
(2) xの値を求めなさい．   [381-00]
 3
 
 x
 
 6
 
    
2
2
2
 x=6−3=27
 
x＞0 だから
    
 
3
 x=3
 
(3) xの値を求めなさい．   [381-00]
 x
 
 2
 
 
5
 
 
    
2
 
5
2
2
 x=−2=1
 
x＞0 だから
    
 x=1
 
(4) 次の長さを３辺とする三角形のうち，直角三角形はどれですか．   [382-00]
    (ア)  
 
35
 1，，6
 
    (イ)  
 
2
 
3
 
6
 ，，
 
    (ウ)  
 1，4，5
 
    (エ)  
 1，2，5
 

(ア)
2
 
35
2
2
    ◯
 1＋=36=6
 
(イ)
 
2
2
 
3
2
 
5
2
 
6
2
 ＋=≠
 
(ウ)
2
2
2
 1＋4=17≠5
 
(エ)
2
2
2
 1＋2=5≠5
 
(1)
 
6
 
 
(2)
 
3
 3
 
(3)
 1
 
(4) ア
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【解答例】
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2
次の問に答えなさい．   [380-00]
2
11点 部分点可
次の図のように，∠C＝90°の直角三角形ABCの頂点Cから，斜辺ABに垂線CDをひくと，
        △ABC∽△CBD
        △ABC∽△ACD
であることから，a2＋b2＝c2となることを証明しなさい．
A
B
C
D
a
b
c
y
x
△ABC∽△CBDだから
    AB:CB＝BC:BD
    c : a ＝ a : y
よって，  a2＝cy    ---①

△ABC∽△ACDだから
    AB:AC＝AC:AD
    c : b ＝ b : x
よって，  b2＝cx    ---②

① ② から，
    
2
2
 a＋b
 
 =cy＋cx
 
 
 
 =c(x＋y)
 
c＝x＋yだから
    
2
2
2
 a＋b=c
 
空欄に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        3/11 ページ
3
次の問に答えなさい．
3
2点×4
(1) 次の長方形の対角線の長さを求めなさい．    [383-00]
 2
 
 4
 
対角線の長さをx とする．
    
2
2
2
 x=2＋4=20
 
x＞0 だから
    
 
5
 x=2
 
(2) ２辺の長さが
 
5
の三角形があります．
 1cm，cm
 
この三角形が直角三角形であるためには，残りの１辺の長さは，何cmであればよいですか．   [384-00]
残りの１辺の長さをx cm とする．
直角をはさむ２辺の長さが
 
5
のとき
 1cm，cm
 
    
2
2
 
5
2
 x=1＋=6
 
x＞0 だから
    
 
6
 x=
 
   
斜辺の長さが
 
5
のとき
 cm
 
    
2
 
5
2
2
 x=−1=4
 
x＞0 だから
    
 x=2
 
(3) １辺の長さが
 
5
の
 
 
正三角形ABCの高さを求めなさい．   [390-00]
B
A
C
 h
 
 
5
 
 
 1 
 
5
 
  2 
    
2
 
5
2
 1 
 
5
2
 15 
 h=−()=
  2  4 
x＞0 だから
     1 
 
15
 h=
  2 
(4) xの値を求めなさい．   [392-00]
 x
 
 
2
 6
 
45°
    
 
2
 x：6
 
 
2
 =1：
 
 x
 
 =6
 
(1)
 
5
 2
 
(2)
 
6
 cm，2cm
 
(3)
 1 
 
15
 
  2 
(4)
 6
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        4/11 ページ
4
次の問に答えなさい．
4
3点×3
(1) 半径6cmの円があります．円Oの弦ABの長さが，10cmのとき，中心Oから弦ABまでの距離を求めなさい．   [393-00]
O
A
B
H
cm
 10
 
cm
 6
 
x
    
2
2
2
 AO=OH＋AH
 
OHを x とすると．
    
2
2
2
 x=6−5=11
 
x＞0 だから
    
 
11
 x=
 
(2) １辺の長さが
 
6
の
 
 
正三角形ABCの面積を求めなさい．   [391-00]
B
A
C
 
6
 
 
 h
 
 1 
 
6
 
  2 
    
2
 
6
2
 1 
 
6
2
 9 
 h=−()=
  2  2 
h＞0 だから  3 
 
2
 h=
  2 
面積
 S
 
 1 
 
6
 3 
 
2
 =××
  2  2 
 S
 
 3 
 
3
 =
  2 
(3) 次の座標を持つ２点の間の距離を求めなさい．   [394-01]
 A(−1，−8)，B(6，9)
 
    
2
 AB
 
2
2
 ={6−(−1)}＋{9−(−8)}
 
 
 
2
2
 =7＋17
 
2
 AB
 
 =338
 
AB＞0 だから
    
 
2
 AB=13
 
(1)
 
11
cm
 
 
(2)
 3 
 
3
 
  2 
(3)
 
2
 13
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        5/11 ページ
5
次の問に答えなさい．
5
4点×2
(1) 次の図で，APは，Pを接点とする円Oの接線です．xの値を求めなさい．   [395-00]
A
P
O
 
3
 2
 
 2
 
 x
 
    
2
 
3
2
2
 x=(2)＋2=16
 
x＞0 だから
    
 x=4
 
(2) xの値を求めなさい．   [396-00]
C
45°
B
 
2
 
 
x
A
H
60°
45°
30°
頂点AからCBに垂線を引き，その交点をHとする．
△ACHは，45°,45°,90°の直角二等辺三角形だから，
 AH=1
 
△ABHは，30°,60°,90°の直角三角形だから，
 2 
 
3
 x=
  3 

(1)
 4
 
(2)
 2 
 
3
 
  3 
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【解答例】
定期試験対策テスト        6/11 ページ
6
次の問に答えなさい．
6
4点×2
(1) xの値を求めなさい．   [397-20]
A
B
C
D
 3
 
x
 4
 
 9
 
H
 4
 
 5
 
頂点Dから BCに垂線を引き，その交点をHとする．
直角三角形DHCについて，
HC＝BC-ADだから，
    
2
 x
 
2
2
 =DH＋HC
 
 
 
2
2
 =3＋(9−4)
 
2
 x
 
 =34
 
x＞0 だから
    
 
34
 x=
 

(2) xの値を求めなさい．   [397-30]
A
B
C
D
 6
 
 2
 
 5
 
x
直線BDを引く．
直角三角形ABDについて，
    
2
 BD
 
2
2
 =6＋2
 
 
 
 =40
 
直角三角形BCDについて，
    
2
 x
 
2
2
 =BD−5
 
2
 x
 
 =15
 
x＞0 だから
    
 
15
 x=
 

(1)
 
34
 
 
(2)
 
15
 
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        7/11 ページ
7
次の問に答えなさい．
7
3点×3
次の図は直方体です．次の問に答えなさい．   [3A0-00]
A
B
C
D
E
F
G
H


１．ACの長さを AB，BCを使って求めなさい．

△ABCの直角三角形から
    
2
2
2
        ---①
 AC=AB＋BC
 
AC＞0 だから
    
 
2
2
AB＋BC
 AC=
 



２．AGの長さを AB，BC，CGを使って求めなさい．

△ACGに着目すると，∠ACG＝90°だから
    
2
2
2
 AG=AC＋CG
 
①より
    
2
2
2
2
 AG=AB＋BC＋CG
 
AG＞0 だから
    
 
2
2
2
AB＋BC＋CG
 AG=
 


３．AB＝2cm ，BC＝3cm ，CG＝3cm のとき，AGの長さを求めなさい．
    
 AG
 
 
2
2
2
AB＋BC＋CG
 =
 
 AG
 
 
2
2
2
2＋3＋3
 =
 
 AG
 
 
22
 =
 
1
 
2
2
AB＋BC
 AC=
 
2
 
2
2
2
AB＋BC＋CG
 AG=
 
3
 
22
cm
 
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        8/11 ページ
8
次の問に答えなさい．
8
3点×3
正四角錐OABCDがあります．底面ABCDは，１辺が3cm の正方形で，他の辺の長さは，すべて6cm です．次の問に答えなさい．   [3A2-00]
A
B
C
D
O
H
6cm
3cm


１．AHの長さを求めなさい．
正方形ABCDの対角線ACの長さは，
    
 
2
 AC=AB
 
正方形ABCDの対角線は，中点で交わるから，AHの長さは
    
 AH
 
 1 
 =AC
  2 
 
 
 1 
 
2
 =AB
  2 
 
 
 1 
 
2
 =×3
  2 
 AH
 
 3 
 
2
 =
  2 

２．OHの長さを求めなさい．
△OAHに着目すると，∠AHO＝90°だから
    
2
 OH
 
2
2
 =OA−AH
 
 
 
2
 3 
 
2
2
 =6−()
  2 
 
 
 63 
 =
  2 
OH＞0 だから
    
 OH
 
 
 63 
 2 
 =
 
 
 
 3 
 
14
 =
  2 

３．OABCDの体積を求めなさい．
正四角錐OABCDの体積をVとすると，
    
 V
 
 1 
2
 =ABOH
  3 
 
 
 1 
2
 3 
 
14
 =×3×
  3  2 
 
 
 9 
 
14
 =
  2 
1
  3 
 
2
cm
 
  2 
2
  3 
 
14
cm
 
  2 
3
  9 
 
14
cm3
 
  2 
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【解答例】
定期試験対策テスト        9/11 ページ
9
次の問に答えなさい．   [3A3-30]
9
9点 部分点可
底面が半径 3cm の円形で，高さが，5cm である円錐の側面積を求めなさい．
A
O
H
5cm
3cm

［OAの長さを求める］
    
2
 OA
 
2
2
 =OH＋AH
 
 
 
2
2
 =5＋3
 
 
 
 =25＋9
 
 
 
 =34
 
OH＞0 だから
    
 
34
 OA=
 

［円錐の側面積を求める］
右図は，この円錐の展開図です．

扇形OAPの面積（円錐の側面積）と Oを中心として半径OAの円Oの面積の比は，弧APと 円Oの円周の長さ の比に等しいので
    
 扇形OAP：円O
 
 =弧AP：円Oの円周の長さ
 
 扇形OAP
 
弧AP
    ---①
 =円O×
 
円Oの円周の長さ
弧APは，底面（円H）の円周の長さ と等しいので
    
2
    ---②
 弧AP=2πAH
 

①②より
    
 扇形OAP
 
2
2πAH
 =πOA×
 
2πOA
 
 
 =πOAAH
 
よって
    
 扇形OAP
 
 
34
 =π××3
 
 
 
 
34
 =3π
 
 
34
cm2
 3π
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        10/11 ページ
10
次の問に答えなさい．   [3A4-20]
10
9点 部分点可
半径5cmの球Oを，中心Oから，2cmの距離にある平面で切った時，切り口の図形は円になります．この円の円周の長さを求めなさい．
O
A
H
cm
 2
 
cm
 5
 


［切り口の円の半径を求める］
    
2
2
2
 AO=OH＋AH
 
AHを r とすると．
    
2
2
2
 r=5−2=21
 

r＞0 だから
    
 
21
 r=
 


［切り口の円周の長さ l を求める］
    
 l
 
 =2πr
 
 
 
 
21
 =2π×
 
 
 
 
21
 =2π
 
 
21
cm
 2π
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        11/11 ページ
11
次の問に答えなさい．   [3A4-00]
11
6点×2
次の図は，底面の１辺が，2cm，高さが，3cmの正四角柱です．頂点Aから頂点Eまで，糸を最短距離でかけます．次の問に答えなさい．
A
B
C
D
E
F
G
H


１．かけた糸を，下の展開図に描きなさい．
最短距離で糸をかけるから，展開図上では 直線になる．展開図上の点Pは，正四角柱における頂点Eです．また，展開図上の点Qは，正四角柱における頂点Aです．

２．糸の長さを求めなさい．

△APQに着目すると，∠AQP＝90°だから
    
2
2
2
 AP=AQ＋PQ
 
 AQ=4×2=8
 
 PQ=3
 
より
    
2
 AP
 
2
2
 =8＋3
 
2
 AP
 
 =73
 
AP＞0 だから
    
 
73
 AP=
 
1 図に記入
2
 
 
73
cm
 
 
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