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三平方の定理
定期試験対策テスト    時間 50分        1/11 ページ
点
1
次の問に答えなさい．
1
2点×4
(1) xの値を求めなさい．   [381-00]
 x
 
 
3
 
 
 
5
 
 
(2) xの値を求めなさい．   [381-00]
 4
 
 x
 
 6
 
(3) xの値を求めなさい．   [381-00]
 1
 
 x
 
 
10
 
 
(4) 次の長さを３辺とする三角形のうち，直角三角形はどれですか．   [382-00]
    (ア)  
 
6
 
7
 1，，
 
    (イ)  
 4，6，7
 
    (ウ)  
 1，5，6
 
    (エ)  
 
5
 2，4，6
 

(1)
(2)
(3)
(4)
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定期試験対策テスト        2/11 ページ
2
次の問に答えなさい．   [380-00]
2
11点 部分点可
∠C＝90°の直角三角形ABCと合同な三角形を，次の図のように並べます．四角形ABDEと四角形CFGHが正方形であることから，a2＋b2＝c2となることを証明しなさい．
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
c
空欄に記入
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3
次の問に答えなさい．
3
2点×4
(1) 次の長方形の対角線の長さを求めなさい．    [383-00]
 1
 
 
3
 
 
(2) ２辺の長さが
 
5
の三角形があります．
 2cm，cm
 
この三角形が直角三角形であるためには，残りの１辺の長さは，何cmであればよいですか．   [384-00]
(3) １辺の長さがの
 4
 
正三角形ABCの高さを求めなさい．   [390-00]
B
A
C
 h
 
 4
 
(4) xの値を求めなさい．   [392-00]
 x
 
 10
 
30°
(1)
(2)
(3)
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4
次の問に答えなさい．
4
3点×3
(1) 半径3cmの円があります．円Oの弦ABの長さが，4cmのとき，中心Oから弦ABまでの距離を求めなさい．   [393-00]
O
A
B
H
cm
 4
 
(2) １辺の長さがの
 2
 
正三角形ABCの面積を求めなさい．   [391-00]
B
A
C
 2
 
(3) 次の座標を持つ２点の間の距離を求めなさい．   [394-01]
 A(−4，−8)，B(−7，−3)
 
(1)
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次の問に答えなさい．
5
4点×2
(1) 次の図で，APは，Pを接点とする円Oの接線です．xの値を求めなさい．   [395-00]
A
P
O
 4
 
 5
 
 x
 
(2) xの値を求めなさい．   [396-00]
C
120°
B
 
3
 4
 
x
A
30°
(1)
(2)
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次の問に答えなさい．
6
4点×2
(1) xの値を求めなさい．   [397-30]
A
B
C
D
 5
 
 7
 
 3
 
x

(2) xの値を求めなさい．   [397-20]
A
B
C
D
 7
 
x
 1
 
 5
 

(1)
(2)
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7
次の問に答えなさい．
7
3点×3
次の図は直方体です．次の問に答えなさい．   [3A0-00]
A
B
C
D
E
F
G
H


１．ACの長さを AB，BCを使って求めなさい．




２．AGの長さを AB，BC，CGを使って求めなさい．









３．AB＝2cm ，BC＝3cm ，CG＝3cm のとき，AGの長さを求めなさい．
1
2
3
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8
次の問に答えなさい．
8
3点×3
正四角錐OABCDがあります．底面ABCDは，１辺が6cm の正方形で，他の辺の長さは，すべて6cm です．次の問に答えなさい．   [3A2-00]
A
B
C
D
O
H
6cm
6cm


１．AHの長さを求めなさい．




２．OHの長さを求めなさい．










３．OABCDの体積を求めなさい．
1
2
3
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9
次の問に答えなさい．   [3A3-30]
9
9点 部分点可
底面が半径 3cm の円形で，高さが，7cm である円錐の側面積を求めなさい．
A
O
H
7cm
3cm
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10
次の問に答えなさい．   [3A4-20]
10
9点 部分点可
半径7cmの球Oを，中心Oから，3cmの距離にある平面で切った時，切り口の図形は円になります．この円の円周の長さを求めなさい．
O
A
H
cm
 3
 
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11
次の問に答えなさい．   [3A4-30]
11
4点×3
１辺の長さが，4cm の立方体があります．３点 B，E，Gを通る平面でこの立方体を切るとき，次の問に答えなさい．
A
B
C
D
E
F
G
H

１．三角錐FBEGの体積を求めなさい．
２．△BEGの面積を求めなさい．








３．角錐FBEGの底面を△BEGと考えるとき，高さを求めなさい．
1
2
3
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【解答例】
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1
次の問に答えなさい．
1
2点×4
(1) xの値を求めなさい．   [381-00]
 x
 
 
3
 
 
 
5
 
 
    
2
 
5
2
 
3
2
 x=−=2
 
x＞0 だから
    
 
2
 x=
 
(2) xの値を求めなさい．   [381-00]
 4
 
 x
 
 6
 
    
2
2
2
 x=6−4=20
 
x＞0 だから
    
 
5
 x=2
 
(3) xの値を求めなさい．   [381-00]
 1
 
 x
 
 
10
 
 
    
2
 
10
2
2
 x=−1=9
 
x＞0 だから
    
 x=3
 
(4) 次の長さを３辺とする三角形のうち，直角三角形はどれですか．   [382-00]
    (ア)  
 
6
 
7
 1，，
 
    (イ)  
 4，6，7
 
    (ウ)  
 1，5，6
 
    (エ)  
 
5
 2，4，6
 

(ア)
2
 
6
2
 
7
2
    ◯
 1＋=
 
(イ)
2
2
2
 4＋6=52≠7
 
(ウ)
2
2
2
 1＋5=26≠6
 
(エ)
 
5
2
2
2
    ◯
 (2)＋4=36=6
 
(1)
 
2
 
 
(2)
 
5
 2
 
(3)
 3
 
(4) ア ,エ
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【解答例】
定期試験対策テスト        2/11 ページ
2
次の問に答えなさい．   [380-00]
2
11点 部分点可
∠C＝90°の直角三角形ABCと合同な三角形を，次の図のように並べます．四角形ABDEと四角形CFGHが正方形であることから，a2＋b2＝c2となることを証明しなさい．
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
c
四角形ABDEの面積を S とする．
四角形ABDEは正方形だから，
    S＝c2    ---①

また，四角形ABDEの面積は，４つの直角三角形と正方形CFGHに分けることができるから，
     1 
2
    ---②
 S=4×ab＋(a−b)
  2 

① ② から，
     1 
2
 4×ab＋(a−b)
  2 
2
 =c
 
2
2
 2ab＋(a−2ab＋b)
 
2
 =c
 
2
2
 a＋b
 
2
 =c
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        3/11 ページ
3
次の問に答えなさい．
3
2点×4
(1) 次の長方形の対角線の長さを求めなさい．    [383-00]
 1
 
 
3
 
 
対角線の長さをx とする．
    
2
2
 
3
2
 x=1＋=4
 
x＞0 だから
    
 x=2
 
(2) ２辺の長さが
 
5
の三角形があります．
 2cm，cm
 
この三角形が直角三角形であるためには，残りの１辺の長さは，何cmであればよいですか．   [384-00]
残りの１辺の長さをx cm とする．
直角をはさむ２辺の長さが
 
5
のとき
 2cm，cm
 
    
2
2
 
5
2
 x=2＋=9
 
x＞0 だから
    
 x=3
 
   
斜辺の長さが
 
5
のとき
 cm
 
    
2
 
5
2
2
 x=−2=1
 
x＞0 だから
    
 x=1
 
(3) １辺の長さがの
 4
 
正三角形ABCの高さを求めなさい．   [390-00]
B
A
C
 h
 
 4
 
 2
 
    
2
2
2
 h=4−2=12
 
x＞0 だから
    
 
3
 h=2
 
(4) xの値を求めなさい．   [392-00]
 x
 
 10
 
30°
    
 x：10
 
 =1：2
 
 x
 
 =5
 
(1)
 2
 
(2)
 3cm，1cm
 
(3)
 
3
 2
 
(4)
 5
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        4/11 ページ
4
次の問に答えなさい．
4
3点×3
(1) 半径3cmの円があります．円Oの弦ABの長さが，4cmのとき，中心Oから弦ABまでの距離を求めなさい．   [393-00]
O
A
B
H
cm
 4
 
cm
 3
 
x
    
2
2
2
 AO=OH＋AH
 
OHを x とすると．
    
2
2
2
 x=3−2=5
 
x＞0 だから
    
 
5
 x=
 
(2) １辺の長さがの
 2
 
正三角形ABCの面積を求めなさい．   [391-00]
B
A
C
 2
 
 h
 
 1
 
    
2
2
2
 h=2−1=3
 
h＞0 だから
 
3
 h=
 
面積
 S
 
 1 
 
3
 =×2×
  2 
 S
 
 
3
 =
 
(3) 次の座標を持つ２点の間の距離を求めなさい．   [394-01]
 A(−4，−8)，B(−7，−3)
 
    
2
 AB
 
2
2
 ={−7−(−4)}＋{−3−(−8)}
 
 
 
2
2
 =(−3)＋5
 
2
 AB
 
 =34
 
AB＞0 だから
    
 
34
 AB=
 
(1)
 
5
cm
 
 
(2)
 
3
 
 
(3)
 
34
 
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        5/11 ページ
5
次の問に答えなさい．
5
4点×2
(1) 次の図で，APは，Pを接点とする円Oの接線です．xの値を求めなさい．   [395-00]
A
P
O
 4
 
 5
 
 x
 
    
2
2
2
 x=4＋5=41
 
x＞0 だから
    
 
41
 x=
 
(2) xの値を求めなさい．   [396-00]
C
120°
B
 
3
 4
 
x
A
30°
H
30°
60°
BCを延長した直線に，頂点Aからに垂線を引き，その交点をHとする．
△ACHは，30°,60°,90°の直角三角形だから，
 AH=6
 
△ABHは，30°,60°,90°の直角三角形だから，
 x=12
 

(1)
 
41
 
 
(2)
 12
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        6/11 ページ
6
次の問に答えなさい．
6
4点×2
(1) xの値を求めなさい．   [397-30]
A
B
C
D
 5
 
 7
 
 3
 
x
直線BDを引く．
直角三角形ABDについて，
    
2
 BD
 
2
2
 =5＋7
 
 
 
 =74
 
直角三角形BCDについて，
    
2
 x
 
2
2
 =BD−3
 
2
 x
 
 =65
 
x＞0 だから
    
 
65
 x=
 

(2) xの値を求めなさい．   [397-20]
A
B
C
D
 7
 
x
 1
 
 5
 
H
 1
 
 4
 
頂点Dから BCに垂線を引き，その交点をHとする．
直角三角形DHCについて，
HC＝BC-ADだから，
    
2
 x
 
2
2
 =DH＋HC
 
 
 
2
2
 =7＋(5−1)
 
2
 x
 
 =65
 
x＞0 だから
    
 
65
 x=
 

(1)
 
65
 
 
(2)
 
65
 
 
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【解答例】
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7
次の問に答えなさい．
7
3点×3
次の図は直方体です．次の問に答えなさい．   [3A0-00]
A
B
C
D
E
F
G
H


１．ACの長さを AB，BCを使って求めなさい．

△ABCの直角三角形から
    
2
2
2
        ---①
 AC=AB＋BC
 
AC＞0 だから
    
 
2
2
AB＋BC
 AC=
 



２．AGの長さを AB，BC，CGを使って求めなさい．

△ACGに着目すると，∠ACG＝90°だから
    
2
2
2
 AG=AC＋CG
 
①より
    
2
2
2
2
 AG=AB＋BC＋CG
 
AG＞0 だから
    
 
2
2
2
AB＋BC＋CG
 AG=
 


３．AB＝2cm ，BC＝3cm ，CG＝3cm のとき，AGの長さを求めなさい．
    
 AG
 
 
2
2
2
AB＋BC＋CG
 =
 
 AG
 
 
2
2
2
2＋3＋3
 =
 
 AG
 
 
22
 =
 
1
 
2
2
AB＋BC
 AC=
 
2
 
2
2
2
AB＋BC＋CG
 AG=
 
3
 
22
cm
 
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        8/11 ページ
8
次の問に答えなさい．
8
3点×3
正四角錐OABCDがあります．底面ABCDは，１辺が6cm の正方形で，他の辺の長さは，すべて6cm です．次の問に答えなさい．   [3A2-00]
A
B
C
D
O
H
6cm
6cm


１．AHの長さを求めなさい．
正方形ABCDの対角線ACの長さは，
    
 
2
 AC=AB
 
正方形ABCDの対角線は，中点で交わるから，AHの長さは
    
 AH
 
 1 
 =AC
  2 
 
 
 1 
 
2
 =AB
  2 
 
 
 1 
 
2
 =×6
  2 
 AH
 
 
2
 =3
 

２．OHの長さを求めなさい．
△OAHに着目すると，∠AHO＝90°だから
    
2
 OH
 
2
2
 =OA−AH
 
 
 
2
 
2
2
 =6−(3)
 
 
 
 =18
 
OH＞0 だから
    
 OH
 
 
18
 =
 
 
 
 
2
 =3
 

３．OABCDの体積を求めなさい．
正四角錐OABCDの体積をVとすると，
    
 V
 
 1 
2
 =ABOH
  3 
 
 
 1 
2
 
2
 =×6×3
  3 
 
 
 
2
 =36
 
1
 
 
2
cm
 3
 
2
 
 
2
cm
 3
 
3
 
 
2
cm3
 36
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        9/11 ページ
9
次の問に答えなさい．   [3A3-30]
9
9点 部分点可
底面が半径 3cm の円形で，高さが，7cm である円錐の側面積を求めなさい．
A
O
H
7cm
3cm

［OAの長さを求める］
    
2
 OA
 
2
2
 =OH＋AH
 
 
 
2
2
 =7＋3
 
 
 
 =49＋9
 
 
 
 =58
 
OH＞0 だから
    
 
58
 OA=
 

［円錐の側面積を求める］
右図は，この円錐の展開図です．

扇形OAPの面積（円錐の側面積）と Oを中心として半径OAの円Oの面積の比は，弧APと 円Oの円周の長さ の比に等しいので
    
 扇形OAP：円O
 
 =弧AP：円Oの円周の長さ
 
 扇形OAP
 
弧AP
    ---①
 =円O×
 
円Oの円周の長さ
弧APは，底面（円H）の円周の長さ と等しいので
    
2
    ---②
 弧AP=2πAH
 

①②より
    
 扇形OAP
 
2
2πAH
 =πOA×
 
2πOA
 
 
 =πOAAH
 
よって
    
 扇形OAP
 
 
58
 =π××3
 
 
 
 
58
 =3π
 
 
58
cm2
 3π
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        10/11 ページ
10
次の問に答えなさい．   [3A4-20]
10
9点 部分点可
半径7cmの球Oを，中心Oから，3cmの距離にある平面で切った時，切り口の図形は円になります．この円の円周の長さを求めなさい．
O
A
H
cm
 3
 
cm
 7
 


［切り口の円の半径を求める］
    
2
2
2
 AO=OH＋AH
 
AHを r とすると．
    
2
2
2
 r=7−3=40
 

r＞0 だから
    
 
10
 r=2
 


［切り口の円周の長さ l を求める］
    
 l
 
 =2πr
 
 
 
 
10
 =2π×2
 
 
 
 
10
 =4π
 
 
10
cm
 4π
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        11/11 ページ
11
次の問に答えなさい．   [3A4-30]
11
4点×3
１辺の長さが，4cm の立方体があります．３点 B，E，Gを通る平面でこの立方体を切るとき，次の問に答えなさい．
A
B
C
D
E
F
G
H

１．三角錐FBEGの体積を求めなさい．
三角錐FBEGの底面を△BEFと考えると，高さはFGとなるから，三角錐FBEGの体積Vは．
 1 
 V=△BEF×FG
  3 
        
 △BEF
 
 1  1 
2
 =ABAE=×4=8
  2  2 
 V
 
 1 
 =△BEF×FG
  3 
 
 
 1  32 
 =×8×4=
  3  3 
２．△BEGの面積を求めなさい．
E
G
B
x
 
2
 4
 
 
2
 2
 
△BEGは正三角形．一辺の長さは，正方形ABFEの対角線の長さだから，
    
2
 BE
 
2
2
 =AB＋AE
 
 BE
 
 
2
 =4
 
正三角形BEGの高さ x は，30°,60°,90°の直角三角形の辺の比から
    
 x
 
 
2
 
3
 
6
 =2×=2
 
△BEGの面積は，
    
 △BEG
 
 1 
 =BEx
  2 
 
 
 1 
 
2
 
6
 
3
 =×4×2=8
  2 
３．角錐FBEGの底面を△BEGと考えるとき，高さを求めなさい．
角錐FBEGの体積 V を，底面△BEGの面積と高さ h からもとめる．
    
 V
 
 1 
 =△BEGh
  3 
 h
 
3V
 32 
 
3
1
 4 
 
3
 ==3×÷(8)=4=
 
△BEG
 3 
 
3
 3 
1
  32 cm3
 
  3 
2
 
 
3
cm2
 8
 
3
  4 
 
3
cm
 
  3 
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