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三平方の定理
定期試験対策テスト    時間 50分        1/11 ページ
1
次の問に答えなさい.
1
2点×4
(1) xの値を求めなさい.   [381-00]
 x
 
 4
 
 5
 
(2) xの値を求めなさい.   [381-00]
 1
 
 x
 
 
6
 
 
(3) xの値を求めなさい.   [381-00]
 
2
 
 
 x
 
 
7
 
 
(4) 次の長さを3辺とする三角形のうち,直角三角形はどれですか.   [382-00]
    (ア)  
 147
 
    (イ)  
 
33
 47
 
    (ウ)  
 
2
 
5
 1
 
    (エ)  
 
2
 
5
 2
 

(1)
(2)
(3)
(4)
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三平方の定理
定期試験対策テスト        2/11 ページ
2
次の問に答えなさい.   [380-00]
2
11点 部分点可
∠C=90°の直角三角形ABCと合同な三角形を,次の図のように並べます.四角形ABHGと四角形CDEFが正方形であることから,a2b2c2となることを証明しなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
c
空欄に記入
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定期試験対策テスト        3/11 ページ
3
次の問に答えなさい.
3
2点×4
(1) 次の長方形の対角線の長さを求めなさい.    [383-00]
 3
 
 
10
 2
 
(2) 2辺の長さがの三角形があります.
 2cm4cm
 
この三角形が直角三角形であるためには,残りの1辺の長さは,何cmであればよいですか.   [384-00]
(3) 1辺の長さが
 2
 
正三角形ABCの高さを求めなさい.   [390-00]
B
A
C
 h
 
 2
 
(4) xの値を求めなさい.   [392-00]
 x
 
 
2
 2
 
45°
(1)
(2)
(3)
(4)
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4
次の問に答えなさい.
4
3点×3
(1) 半径7cmの円があります.円Oの弦ABの長さが,8cmのとき,中心Oから弦ABまでの距離を求めなさい.   [393-00]
O
A
B
H
cm
 8
 
(2) 1辺の長さが
 
7
 
 
正三角形ABCの面積を求めなさい.   [391-00]
B
A
C
 
7
 
 
(3) 次の座標を持つ2点の間の距離を求めなさい.   [394-01]
 A(−79)B(−4−6)
 
(1)
(2)
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5
次の問に答えなさい.
5
4点×2
(1) 次の図で,APは,Pを接点とする円Oの接線です.xの値を求めなさい.   [395-00]
A
P
O
 x
 
 3
 
 
2
 3
 
(2) xの値を求めなさい.   [396-00]
A
45°
B
x
 2 
 
3
 
  3 
C
75°
(1)
(2)
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6
次の問に答えなさい.
6
4点×2
(1) xの値を求めなさい.   [397-30]
A
B
C
D
 2
 
 5
 
 3
 
x

(2) xの値を求めなさい.   [397-10]
A
B
C
H
x
 
2
 7
 
 3
 
 4
 

(1)
(2)
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7
次の問に答えなさい.
7
3点×3
次の図は直方体です.次の問に答えなさい.   [3A0-00]
A
B
C
D
E
F
G
H


1.ACの長さを AB,BCを使って求めなさい.




2.AGの長さを AB,BC,CGを使って求めなさい.









3.AB=3cm ,BC=2cm ,CG=3cm のとき,AGの長さを求めなさい.
1
2
3
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8
次の問に答えなさい.
8
3点×3
正四角錐OABCDがあります.底面ABCDは,1辺が6cm の正方形で,他の辺の長さは,すべて7cm です.次の問に答えなさい.   [3A2-00]
A
B
C
D
O
H
7cm
6cm


1.AHの長さを求めなさい.




2.OHの長さを求めなさい.










3.OABCDの体積を求めなさい.
1
2
3
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9
次の問に答えなさい.   [3A3-30]
9
9点 部分点可
底面が半径 3cm の円形で,高さが,7cm である円錐の表面積を求めなさい.
A
O
H
7cm
3cm
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定期試験対策テスト        10/11 ページ
10
次の問に答えなさい.   [3A4-10]
10
9点 部分点可
次の図の直角三角形ABCを,直線 l のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めなさい.
A
l
B
C
3cm
1cm
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11
次の問に答えなさい.   [3A4-00]
11
6点×2
次の図は,底面の1辺が,4cm,高さが,4cmの正四角柱です.頂点Aから頂点Eまで,糸を最短距離でかけます.次の問に答えなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H


1.かけた糸を,下の展開図に描きなさい.
2.糸の長さを求めなさい.
1 図に記入
2
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【解答例】
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1
次の問に答えなさい.
1
2点×4
(1) xの値を求めなさい.   [381-00]
 x
 
 4
 
 5
 
    
2
2
2
 x=54=9
 
x>0 だから
    
 x=3
 
(2) xの値を求めなさい.   [381-00]
 1
 
 x
 
 
6
 
 
    
2
 
6
2
2
 x=1=5
 
x>0 だから
    
 
5
 x=
 
(3) xの値を求めなさい.   [381-00]
 
2
 
 
 x
 
 
7
 
 
    
2
 
7
2
 
2
2
 x==5
 
x>0 だから
    
 
5
 x=
 
(4) 次の長さを3辺とする三角形のうち,直角三角形はどれですか.   [382-00]
    (ア)  
 147
 
    (イ)  
 
33
 47
 
    (ウ)  
 
2
 
5
 1
 
    (エ)  
 
2
 
5
 2
 

(ア)
2
2
2
 14=177
 
(イ)
2
 
33
2
2
    ◯
 4=49=7
 
(ウ)
 
2
2
2
 
3
2
 
5
2
 1=
 
(エ)
 
2
2
2
 
6
2
 
5
2
 2=
 
(1)
 3
 
(2)
 
5
 
 
(3)
 
5
 
 
(4)
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【解答例】
定期試験対策テスト        2/11 ページ
2
次の問に答えなさい.   [380-00]
2
11点 部分点可
∠C=90°の直角三角形ABCと合同な三角形を,次の図のように並べます.四角形ABHGと四角形CDEFが正方形であることから,a2b2c2となることを証明しなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
c
四角形CDEFの面積を S とする.
四角形CDEFは正方形だから,
    S=(ab)2    ---①

また,四角形CDEFの面積は,4つの直角三角形と正方形ABHGに分けることができるから,
     1 
2
    ---②
 S=4×abc
  2 

① ② から,
    
2
 (ab)
 
 1 
2
 =4×abc
  2 
2
2
 a2abb
 
2
 =2abc
 
2
2
 ab
 
2
 =c
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        3/11 ページ
3
次の問に答えなさい.
3
2点×4
(1) 次の長方形の対角線の長さを求めなさい.    [383-00]
 3
 
 
10
 2
 
対角線の長さをx とする.
    
2
2
 
10
2
 x=3(2)=49
 
x>0 だから
    
 x=7
 
(2) 2辺の長さがの三角形があります.
 2cm4cm
 
この三角形が直角三角形であるためには,残りの1辺の長さは,何cmであればよいですか.   [384-00]
残りの1辺の長さをx cm とする.
直角をはさむ2辺の長さがのとき
 2cm4cm
 
    
2
2
2
 x=24=20
 
x>0 だから
    
 
5
 x=2
 
   
斜辺の長さがのとき
 4cm
 
    
2
2
2
 x=42=12
 
x>0 だから
    
 
3
 x=2
 
(3) 1辺の長さが
 2
 
正三角形ABCの高さを求めなさい.   [390-00]
B
A
C
 h
 
 2
 
 1
 
    
2
2
2
 h=21=3
 
x>0 だから
    
 
3
 h=
 
(4) xの値を求めなさい.   [392-00]
 x
 
 
2
 2
 
45°
    
 
2
 x2
 
 
2
 =1
 
 x
 
 =2
 
(1)
 7
 
(2)
 
5
 
3
 2cm2cm
 
(3)
 
3
 
 
(4)
 2
 
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【解答例】
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4
次の問に答えなさい.
4
3点×3
(1) 半径7cmの円があります.円Oの弦ABの長さが,8cmのとき,中心Oから弦ABまでの距離を求めなさい.   [393-00]
O
A
B
H
cm
 8
 
cm
 7
 
x
    
2
2
2
 AO=OHAH
 
OHを x とすると.
    
2
2
2
 x=74=33
 
x>0 だから
    
 
33
 x=
 
(2) 1辺の長さが
 
7
 
 
正三角形ABCの面積を求めなさい.   [391-00]
B
A
C
 
7
 
 
 h
 
 1 
 
7
 
  2 
    
2
 
7
2
 1 
 
7
2
 21 
 h=()=
  2  4 
h>0 だから  1 
 
21
 h=
  2 
面積
 S
 
 1 
 
7
 1 
 
21
 =××
  2  2 
 S
 
 7 
 
3
 =
  4 
(3) 次の座標を持つ2点の間の距離を求めなさい.   [394-01]
 A(−79)B(−4−6)
 
    
2
 AB
 
2
2
 ={−4(−7)}(−69)
 
 
 
2
2
 =3(−15)
 
2
 AB
 
 =234
 
AB>0 だから
    
 
26
 AB=3
 
(1)
 
33
cm
 
 
(2)
 7 
 
3
 
  4 
(3)
 
26
 3
 
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【解答例】
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5
次の問に答えなさい.
5
4点×2
(1) 次の図で,APは,Pを接点とする円Oの接線です.xの値を求めなさい.   [395-00]
A
P
O
 x
 
 3
 
 
2
 3
 
    
2
 
2
2
2
 x=(3)3=9
 
x>0 だから
    
 x=3
 
(2) xの値を求めなさい.   [396-00]
A
45°
B
x
 2 
 
3
 
  3 
C
H
60°
45°
30°
頂点CからABに垂線を引き,その交点をHとする.
△CBHは,30°,60°,90°の直角三角形だから,
 CH=1
 
△CAHは,45°,45°,90°の直角二等辺三角形だから,
 
2
 x=
 

(1)
 3
 
(2)
 
2
 
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        6/11 ページ
6
次の問に答えなさい.
6
4点×2
(1) xの値を求めなさい.   [397-30]
A
B
C
D
 2
 
 5
 
 3
 
x
直線BDを引く.
直角三角形ABDについて,
    
2
 BD
 
2
2
 =25
 
 
 
 =29
 
直角三角形BCDについて,
    
2
 x
 
2
2
 =BD3
 
2
 x
 
 =20
 
x>0 だから
    
 
5
 x=2
 

(2) xの値を求めなさい.   [397-10]
A
B
C
H
x
 
2
 7
 
 3
 
 4
 
直角三角形ABHについて,
    
2
 AH
 
 
2
2
2
 =(7)(34)
 
2
 AH
 
 =49
 
直角三角形ACHについて,
    
2
 x
 
2
2
 =4AH
 
2
 x
 
 =65
 
x>0 だから
    
 
65
 x=
 

(1)
 
5
 2
 
(2)
 
65
 
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        7/11 ページ
7
次の問に答えなさい.
7
3点×3
次の図は直方体です.次の問に答えなさい.   [3A0-00]
A
B
C
D
E
F
G
H


1.ACの長さを AB,BCを使って求めなさい.

△ABCの直角三角形から
    
2
2
2
        ---①
 AC=ABBC
 
AC>0 だから
    
 
2
2
ABBC
 AC=
 



2.AGの長さを AB,BC,CGを使って求めなさい.

△ACGに着目すると,∠ACG=90°だから
    
2
2
2
 AG=ACCG
 
①より
    
2
2
2
2
 AG=ABBCCG
 
AG>0 だから
    
 
2
2
2
ABBCCG
 AG=
 


3.AB=3cm ,BC=2cm ,CG=3cm のとき,AGの長さを求めなさい.
    
 AG
 
 
2
2
2
ABBCCG
 =
 
 AG
 
 
2
2
2
323
 =
 
 AG
 
 
22
 =
 
1
 
2
2
ABBC
 AC=
 
2
 
2
2
2
ABBCCG
 AG=
 
3
 
22
cm
 
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        8/11 ページ
8
次の問に答えなさい.
8
3点×3
正四角錐OABCDがあります.底面ABCDは,1辺が6cm の正方形で,他の辺の長さは,すべて7cm です.次の問に答えなさい.   [3A2-00]
A
B
C
D
O
H
7cm
6cm


1.AHの長さを求めなさい.
正方形ABCDの対角線ACの長さは,
    
 
2
 AC=AB
 
正方形ABCDの対角線は,中点で交わるから,AHの長さは
    
 AH
 
 1 
 =AC
  2 
 
 
 1 
 
2
 =AB
  2 
 
 
 1 
 
2
 =×6
  2 
 AH
 
 
2
 =3
 

2.OHの長さを求めなさい.
△OAHに着目すると,∠AHO=90°だから
    
2
 OH
 
2
2
 =OAAH
 
 
 
2
 
2
2
 =7(3)
 
 
 
 =31
 
OH>0 だから
    
 OH
 
 
31
 =
 

3.OABCDの体積を求めなさい.
正四角錐OABCDの体積をVとすると,
    
 V
 
 1 
2
 =ABOH
  3 
 
 
 1 
2
 
31
 =×6×
  3 
 
 
 
31
 =12
 
1
 
 
2
cm
 3
 
2
 
 
31
cm
 
 
3
 
 
31
cm3
 12
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        9/11 ページ
9
次の問に答えなさい.   [3A3-30]
9
9点 部分点可
底面が半径 3cm の円形で,高さが,7cm である円錐の表面積を求めなさい.
A
O
H
7cm
3cm

[OAの長さを求める]
    
2
 OA
 
2
2
 =OHAH
 
 
 
2
2
 =73
 
 
 
 =499
 
 
 
 =58
 
OH>0 だから
    
 
58
 OA=
 

[円錐の側面積を求める]
右図は,この円錐の展開図です.

扇形OAPの面積(円錐の側面積)と Oを中心として半径OAの円Oの面積の比は,弧APと 円Oの円周の長さ の比に等しいので
    
 扇形OAP円O
 
 =弧AP円Oの円周の長さ
 
 扇形OAP
 
弧AP
    ---①
 =円O×
 
円Oの円周の長さ
弧APは,底面(円H)の円周の長さ と等しいので
    
2
    ---②
 弧AP=2πAH
 

①②より
    
 扇形OAP
 
2
2πAH
 =πOA×
 
2πOA
 
 
 =πOAAH
 
よって
    
 扇形OAP
 
 
58
 =π××3
 
 
 
 
58
 =3π
 

[円錐の表面積を求める]
円錐の表面積をSとすると,    S=側面積+底面積    だから,
    
 S
 
 
58
2
 =3ππ×3
 
 
 
 
58
 =3π9π
 
 
58
cm2
 3π9π
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        10/11 ページ
10
次の問に答えなさい.   [3A4-10]
10
9点 部分点可
次の図の直角三角形ABCを,直線 l のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めなさい.
A
l
B
C
3cm
1cm

[CBの長さ(円錐の高さ)を求める]
    
2
 CB
 
2
2
 =ACAB
 
 
 
2
2
 =31
 
 
 
 =91
 
 
 
 =8
 
AC>0 だから
    
 
2
 CB=2
 


[円錐の体積を求める]
円錐の体積をVとすると,
 1     だから
 V=×底面積×高さ
  3 
    
 V
 
 1 
2
 
2
 =×π×1×2
  3 
 V
 
 2 
 
2
 =π
  3 

 2 
 
2
cm3
 π
  3 
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【解答例】
定期試験対策テスト        11/11 ページ
11
次の問に答えなさい.   [3A4-00]
11
6点×2
次の図は,底面の1辺が,4cm,高さが,4cmの正四角柱です.頂点Aから頂点Eまで,糸を最短距離でかけます.次の問に答えなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H


1.かけた糸を,下の展開図に描きなさい.
最短距離で糸をかけるから,展開図上では 直線になる.展開図上の点Pは,正四角柱における頂点Eです.また,展開図上の点Qは,正四角柱における頂点Aです.

2.糸の長さを求めなさい.

△APQに着目すると,∠AQP=90°だから
    
2
2
2
 AP=AQPQ
 
 AQ=4×4=16
 
 PQ=4
 
より
    
2
 AP
 
2
2
 =164
 
2
 AP
 
 =272
 
AP>0 だから
    
 
17
 AP=4
 
1 図に記入
2
 
 
17
cm
 4
 
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