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三平方の定理
定期試験対策テスト    時間 50分        1/11 ページ
1
次の問に答えなさい.
1
2点×4
(1) xの値を求めなさい.   [381-00]
 1
 
 x
 
 
5
 
 
(2) xの値を求めなさい.   [381-00]
 1
 
 
2
 
 
 x
 
(3) xの値を求めなさい.   [381-00]
 x
 
 3
 
 4
 
(4) 次の長さを3辺とする三角形のうち,直角三角形はどれですか.   [382-00]
    (ア)  
 
26
 15
 
    (イ)  
 
5
 426
 
    (ウ)  
 435
 
    (エ)  
 113
 

(1)
(2)
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三平方の定理
定期試験対策テスト        2/11 ページ
2
次の問に答えなさい.   [380-00]
2
11点 部分点可
∠C=90°の直角三角形ABCと合同な三角形を,次の図のように並べます.四角形ABDEと四角形CFGHが正方形であることから,a2b2c2となることを証明しなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
c
空欄に記入
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定期試験対策テスト        3/11 ページ
3
次の問に答えなさい.
3
2点×4
(1) 次の長方形の対角線の長さを求めなさい.    [383-00]
 2
 
 
3
 2
 
(2) 2辺の長さが
 
3
の三角形があります.
 1cmcm
 
この三角形が直角三角形であるためには,残りの1辺の長さは,何cmであればよいですか.   [384-00]
(3) 1辺の長さが
 2
 
正三角形ABCの高さを求めなさい.   [390-00]
B
A
C
 h
 
 2
 
(4) xの値を求めなさい.   [392-00]
 x
 
 
2
 
 
45°
(1)
(2)
(3)
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定期試験対策テスト        4/11 ページ
4
次の問に答えなさい.
4
3点×3
(1) 半径3cmの円Oで,中心Oから距離が2cmである弦の長さを求めなさい.   [393-00]
O
A
B
H
cm
 2
 
(2) 1辺の長さが
 
3
 
 
正三角形ABCの面積を求めなさい.   [391-00]
B
A
C
 
3
 
 
(3) 次の座標を持つ2点の間の距離を求めなさい.   [394-01]
 A(−66)B(54)
 
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5
次の問に答えなさい.
5
4点×2
(1) 次の図で,APは,Pを接点とする円Oの接線です.xの値を求めなさい.   [395-00]
A
P
O
 2
 
 
5
 
 
 x
 
(2) xの値を求めなさい.   [396-00]
C
120°
B
 
3
 2
 
x
A
30°
(1)
(2)
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6
次の問に答えなさい.
6
4点×2
(1) xの値を求めなさい.   [397-00]
A
B
C
H
 
74
 
 
x
 5
 
 2
 

(2) xの値を求めなさい.   [397-20]
A
B
C
D
 5
 
x
 3
 
 8
 

(1)
(2)
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7
次の問に答えなさい.
7
3点×3
次の図は直方体です.次の問に答えなさい.   [3A0-00]
A
B
C
D
E
F
G
H


1.ACの長さを AB,BCを使って求めなさい.




2.AGの長さを AB,BC,CGを使って求めなさい.









3.AB=4cm ,BC=7cm ,CG=6cm のとき,AGの長さを求めなさい.
1
2
3
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8
次の問に答えなさい.
8
3点×3
正四角錐OABCDがあります.底面ABCDは,1辺が6cm の正方形で,他の辺の長さは,すべて6cm です.次の問に答えなさい.   [3A2-00]
A
B
C
D
O
H
6cm
6cm


1.AHの長さを求めなさい.




2.OHの長さを求めなさい.










3.OABCDの体積を求めなさい.
1
2
3
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9
次の問に答えなさい.   [3A3-30]
9
9点 部分点可
底面が半径 2cm の円形で,高さが,4cm である円錐の側面積を求めなさい.
A
O
H
4cm
2cm
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定期試験対策テスト        10/11 ページ
10
次の問に答えなさい.   [3A4-20]
10
9点 部分点可
半径6cmの球Oを,中心Oから,5cmの距離にある平面で切った時,切り口の図形は円になります.この円の円周の長さを求めなさい.
O
A
H
cm
 5
 
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11
次の問に答えなさい.   [3A4-30]
11
4点×3
1辺の長さが,5cm の立方体があります.3点 B,E,Gを通る平面でこの立方体を切るとき,次の問に答えなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H

1.三角錐FBEGの体積を求めなさい.
2.△BEGの面積を求めなさい.








3.角錐FBEGの底面を△BEGと考えるとき,高さを求めなさい.
1
2
3
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【解答例】
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1
次の問に答えなさい.
1
2点×4
(1) xの値を求めなさい.   [381-00]
 1
 
 x
 
 
5
 
 
    
2
 
5
2
2
 x=1=4
 
x>0 だから
    
 x=2
 
(2) xの値を求めなさい.   [381-00]
 1
 
 
2
 
 
 x
 
    
2
2
 
2
2
 x=1=3
 
x>0 だから
    
 
3
 x=
 
(3) xの値を求めなさい.   [381-00]
 x
 
 3
 
 4
 
    
2
2
2
 x=43=7
 
x>0 だから
    
 
7
 x=
 
(4) 次の長さを3辺とする三角形のうち,直角三角形はどれですか.   [382-00]
    (ア)  
 
26
 15
 
    (イ)  
 
5
 426
 
    (ウ)  
 435
 
    (エ)  
 113
 

(ア)
2
2
 
26
2
    ◯
 15=26=
 
(イ)
2
 
5
2
2
    ◯
 4(2)=36=6
 
(ウ)
2
2
2
    ◯
 43=25=5
 
(エ)
2
2
2
 11=23
 
(1)
 2
 
(2)
 
3
 
 
(3)
 
7
 
 
(4) ア ,イ ,ウ
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【解答例】
定期試験対策テスト        2/11 ページ
2
次の問に答えなさい.   [380-00]
2
11点 部分点可
∠C=90°の直角三角形ABCと合同な三角形を,次の図のように並べます.四角形ABDEと四角形CFGHが正方形であることから,a2b2c2となることを証明しなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
c
四角形ABDEの面積を S とする.
四角形ABDEは正方形だから,
    Sc2    ---①

また,四角形ABDEの面積は,4つの直角三角形と正方形CFGHに分けることができるから,
     1 
2
    ---②
 S=4×ab(ab)
  2 

① ② から,
     1 
2
 4×ab(ab)
  2 
2
 =c
 
2
2
 2ab(a2abb)
 
2
 =c
 
2
2
 ab
 
2
 =c
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        3/11 ページ
3
次の問に答えなさい.
3
2点×4
(1) 次の長方形の対角線の長さを求めなさい.    [383-00]
 2
 
 
3
 2
 
対角線の長さをx とする.
    
2
2
 
3
2
 x=2(2)=16
 
x>0 だから
    
 x=4
 
(2) 2辺の長さが
 
3
の三角形があります.
 1cmcm
 
この三角形が直角三角形であるためには,残りの1辺の長さは,何cmであればよいですか.   [384-00]
残りの1辺の長さをx cm とする.
直角をはさむ2辺の長さが
 
3
のとき
 1cmcm
 
    
2
2
 
3
2
 x=1=4
 
x>0 だから
    
 x=2
 
   
斜辺の長さが
 
3
のとき
 cm
 
    
2
 
3
2
2
 x=1=2
 
x>0 だから
    
 
2
 x=
 
(3) 1辺の長さが
 2
 
正三角形ABCの高さを求めなさい.   [390-00]
B
A
C
 h
 
 2
 
 1
 
    
2
2
2
 h=21=3
 
x>0 だから
    
 
3
 h=
 
(4) xの値を求めなさい.   [392-00]
 x
 
 
2
 
 
45°
    
 
2
 x
 
 
2
 =1
 
 x
 
 =1
 
(1)
 4
 
(2)
 
2
 2cmcm
 
(3)
 
3
 
 
(4)
 1
 
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4
次の問に答えなさい.
4
3点×3
(1) 半径3cmの円Oで,中心Oから距離が2cmである弦の長さを求めなさい.   [393-00]
O
A
B
H
cm
 2
 
cm
 3
 
x
    
2
2
2
 AO=OHAH
 
AHを x とすると.
    
2
2
2
 x=32=5
 
x>0 だから
 
5
 x=
 
したがって,
 
5
 AB=2
 
(2) 1辺の長さが
 
3
 
 
正三角形ABCの面積を求めなさい.   [391-00]
B
A
C
 
3
 
 
 h
 
 1 
 
3
 
  2 
    
2
 
3
2
 1 
 
3
2
 9 
 h=()=
  2  4 
h>0 だから  3 
 h=
  2 
面積
 S
 
 1 
 
3
 3 
 =××
  2  2 
 S
 
 3 
 
3
 =
  4 
(3) 次の座標を持つ2点の間の距離を求めなさい.   [394-01]
 A(−66)B(54)
 
    
2
 AB
 
2
2
 ={5(−6)}(46)
 
 
 
2
2
 =11(−2)
 
2
 AB
 
 =125
 
AB>0 だから
    
 
5
 AB=5
 
(1)
 
5
cm
 2
 
(2)
 3 
 
3
 
  4 
(3)
 
5
 5
 
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5
次の問に答えなさい.
5
4点×2
(1) 次の図で,APは,Pを接点とする円Oの接線です.xの値を求めなさい.   [395-00]
A
P
O
 2
 
 
5
 
 
 x
 
    
2
2
 
5
2
 x=2=9
 
x>0 だから
    
 x=3
 
(2) xの値を求めなさい.   [396-00]
C
120°
B
 
3
 2
 
x
A
30°
H
30°
60°
BCを延長した直線に,頂点Aからに垂線を引き,その交点をHとする.
△ACHは,30°,60°,90°の直角三角形だから,
 AH=3
 
△ABHは,30°,60°,90°の直角三角形だから,
 x=6
 

(1)
 3
 
(2)
 6
 
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【解答例】
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6
次の問に答えなさい.
6
4点×2
(1) xの値を求めなさい.   [397-00]
A
B
C
H
 
74
 
 
x
 5
 
 2
 
直角三角形ABHについて,
    
2
 AH
 
 
74
2
2
 =5
 
2
 AH
 
 =49
 
直角三角形ACHについて,
    
2
 x
 
2
2
 =2AH
 
2
 x
 
 =53
 
x>0 だから
    
 
53
 x=
 

(2) xの値を求めなさい.   [397-20]
A
B
C
D
 5
 
x
 3
 
 8
 
H
 3
 
 5
 
頂点Dから BCに垂線を引き,その交点をHとする.
直角三角形DHCについて,
HC=BC-ADだから,
    
2
 x
 
2
2
 =DHHC
 
 
 
2
2
 =5(83)
 
2
 x
 
 =50
 
x>0 だから
    
 
2
 x=5
 

(1)
 
53
 
 
(2)
 
2
 5
 
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7
次の問に答えなさい.
7
3点×3
次の図は直方体です.次の問に答えなさい.   [3A0-00]
A
B
C
D
E
F
G
H


1.ACの長さを AB,BCを使って求めなさい.

△ABCの直角三角形から
    
2
2
2
        ---①
 AC=ABBC
 
AC>0 だから
    
 
2
2
ABBC
 AC=
 



2.AGの長さを AB,BC,CGを使って求めなさい.

△ACGに着目すると,∠ACG=90°だから
    
2
2
2
 AG=ACCG
 
①より
    
2
2
2
2
 AG=ABBCCG
 
AG>0 だから
    
 
2
2
2
ABBCCG
 AG=
 


3.AB=4cm ,BC=7cm ,CG=6cm のとき,AGの長さを求めなさい.
    
 AG
 
 
2
2
2
ABBCCG
 =
 
 AG
 
 
2
2
2
476
 =
 
 AG
 
 
101
 =
 
1
 
2
2
ABBC
 AC=
 
2
 
2
2
2
ABBCCG
 AG=
 
3
 
101
cm
 
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        8/11 ページ
8
次の問に答えなさい.
8
3点×3
正四角錐OABCDがあります.底面ABCDは,1辺が6cm の正方形で,他の辺の長さは,すべて6cm です.次の問に答えなさい.   [3A2-00]
A
B
C
D
O
H
6cm
6cm


1.AHの長さを求めなさい.
正方形ABCDの対角線ACの長さは,
    
 
2
 AC=AB
 
正方形ABCDの対角線は,中点で交わるから,AHの長さは
    
 AH
 
 1 
 =AC
  2 
 
 
 1 
 
2
 =AB
  2 
 
 
 1 
 
2
 =×6
  2 
 AH
 
 
2
 =3
 

2.OHの長さを求めなさい.
△OAHに着目すると,∠AHO=90°だから
    
2
 OH
 
2
2
 =OAAH
 
 
 
2
 
2
2
 =6(3)
 
 
 
 =18
 
OH>0 だから
    
 OH
 
 
18
 =
 
 
 
 
2
 =3
 

3.OABCDの体積を求めなさい.
正四角錐OABCDの体積をVとすると,
    
 V
 
 1 
2
 =ABOH
  3 
 
 
 1 
2
 
2
 =×6×3
  3 
 
 
 
2
 =36
 
1
 
 
2
cm
 3
 
2
 
 
2
cm
 3
 
3
 
 
2
cm3
 36
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        9/11 ページ
9
次の問に答えなさい.   [3A3-30]
9
9点 部分点可
底面が半径 2cm の円形で,高さが,4cm である円錐の側面積を求めなさい.
A
O
H
4cm
2cm

[OAの長さを求める]
    
2
 OA
 
2
2
 =OHAH
 
 
 
2
2
 =42
 
 
 
 =164
 
 
 
 =20
 
OH>0 だから
    
 
5
 OA=2
 

[円錐の側面積を求める]
右図は,この円錐の展開図です.

扇形OAPの面積(円錐の側面積)と Oを中心として半径OAの円Oの面積の比は,弧APと 円Oの円周の長さ の比に等しいので
    
 扇形OAP円O
 
 =弧AP円Oの円周の長さ
 
 扇形OAP
 
弧AP
    ---①
 =円O×
 
円Oの円周の長さ
弧APは,底面(円H)の円周の長さ と等しいので
    
2
    ---②
 弧AP=2πAH
 

①②より
    
 扇形OAP
 
2
2πAH
 =πOA×
 
2πOA
 
 
 =πOAAH
 
よって
    
 扇形OAP
 
 
5
 =π×2×2
 
 
 
 
5
 =4π
 
 
5
cm2
 4π
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        10/11 ページ
10
次の問に答えなさい.   [3A4-20]
10
9点 部分点可
半径6cmの球Oを,中心Oから,5cmの距離にある平面で切った時,切り口の図形は円になります.この円の円周の長さを求めなさい.
O
A
H
cm
 5
 
cm
 6
 


[切り口の円の半径を求める]
    
2
2
2
 AO=OHAH
 
AHを r とすると.
    
2
2
2
 r=65=11
 

r>0 だから
    
 
11
 r=
 


[切り口の円周の長さ l を求める]
    
 l
 
 =2πr
 
 
 
 
11
 =2π×
 
 
 
 
11
 =2π
 
 
11
cm
 2π
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        11/11 ページ
11
次の問に答えなさい.   [3A4-30]
11
4点×3
1辺の長さが,5cm の立方体があります.3点 B,E,Gを通る平面でこの立方体を切るとき,次の問に答えなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H

1.三角錐FBEGの体積を求めなさい.
三角錐FBEGの底面を△BEFと考えると,高さはFGとなるから,三角錐FBEGの体積Vは.
 1 
 V=△BEF×FG
  3 
        
 △BEF
 
 1  1 
2
 25 
 =ABAE=×5=
  2  2  2 
 V
 
 1 
 =△BEF×FG
  3 
 
 
 1  25  125 
 =××5=
  3  2  6 
2.△BEGの面積を求めなさい.
E
G
B
x
 
2
 5
 
 5 
 
2
 
  2 
△BEGは正三角形.一辺の長さは,正方形ABFEの対角線の長さだから,
    
2
 BE
 
2
2
 =ABAE
 
 BE
 
 
2
 =5
 
正三角形BEGの高さ x は,30°,60°,90°の直角三角形の辺の比から
    
 x
 
 5 
 
2
 
3
 5 
 
6
 =×=
  2  2 
△BEGの面積は,
    
 △BEG
 
 1 
 =BEx
  2 
 
 
 1 
 
2
 5 
 
6
 25 
 
3
 =×5×=
  2  2  2 
3.角錐FBEGの底面を△BEGと考えるとき,高さを求めなさい.
角錐FBEGの体積 V を,底面△BEGの面積と高さ h からもとめる.
    
 V
 
 1 
 =△BEGh
  3 
 h
 
3V
 125  25 
 
3
1
 5 
 
3
 ==3×÷()=5=
 
△BEG
 6  2 
 
3
 3 
1
  125 cm3
 
  6 
2
  25 
 
3
cm2
 
  2 
3
  5 
 
3
cm
 
  3 
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