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三平方の定理
定期試験対策テスト    時間 50分        1/11 ページ
点
1
次の問に答えなさい．
1
2点×4
(1) xの値を求めなさい．   [381-00]
 
3
 4
 
 1
 
 x
 
(2) xの値を求めなさい．   [381-00]
 1
 
 
3
 4
 
 x
 
(3) xの値を求めなさい．   [381-00]
 4
 
 
5
 2
 
 x
 
(4) 次の長さを３辺とする三角形のうち，直角三角形はどれですか．   [382-00]
    (ア)  
 
3
 2，2，4
 
    (イ)  
 
3
 
7
 ，2，
 
    (ウ)  
 2，3，7
 
    (エ)  
 
3
 
6
 ，2，
 

(1)
(2)
(3)
(4)
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三平方の定理
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2
次の問に答えなさい．   [380-00]
2
11点 部分点可
∠C＝90°の直角三角形ABCと合同な三角形を，次の図のように並べます．四角形ABHGと四角形CDEFが正方形であることから，a2＋b2＝c2となることを証明しなさい．
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
c
空欄に記入
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3
次の問に答えなさい．
3
2点×4
(1) 次の長方形の対角線の長さを求めなさい．    [383-00]
 4
 
 3
 
(2) ２辺の長さが
 
2
の三角形があります．
 cm，2cm
 
この三角形が直角三角形であるためには，残りの１辺の長さは，何cmであればよいですか．   [384-00]
(3) １辺の長さがの
 2
 
正三角形ABCの高さを求めなさい．   [390-00]
B
A
C
 h
 
 2
 
(4) xの値を求めなさい．   [392-00]
 
3
 
 
 x
 
60°
(1)
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4
次の問に答えなさい．
4
3点×3
(1) 半径5cmの円があります．円Oの弦ABの長さが，6cmのとき，中心Oから弦ABまでの距離を求めなさい．   [393-00]
O
A
B
H
cm
 6
 
(2) １辺の長さが
 
7
の
 
 
正三角形ABCの面積を求めなさい．   [391-00]
B
A
C
 
7
 
 
(3) 次の座標を持つ２点の間の距離を求めなさい．   [394-01]
 A(6，−10)，B(5，6)
 
(1)
(2)
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次の問に答えなさい．
5
4点×2
(1) 次の図で，APは，Pを接点とする円Oの接線です．xの値を求めなさい．   [395-00]
また，円Oの半径を
 
13
とする．
 
 
A
P
O
 6
 
 x
 
(2) xの値を求めなさい．   [396-00]
C
135°
B
 
2
 5
 
x
A
15°
(1)
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6
次の問に答えなさい．
6
4点×2
(1) xの値を求めなさい．   [397-20]
A
B
C
D
 2
 
x
 4
 
 5
 

(2) xの値を求めなさい．   [397-00]
A
B
C
H
 
58
 
 
x
 3
 
 5
 

(1)
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7
次の問に答えなさい．
7
3点×3
次の図は直方体です．次の問に答えなさい．   [3A0-00]
A
B
C
D
E
F
G
H


１．ACの長さを AB，BCを使って求めなさい．




２．AGの長さを AB，BC，CGを使って求めなさい．









３．AB＝6cm ，BC＝6cm ，CG＝6cm のとき，AGの長さを求めなさい．
1
2
3
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定期試験対策テスト        8/11 ページ
8
次の問に答えなさい．
8
3点×3
正四角錐OABCDがあります．底面ABCDは，１辺が6cm の正方形で，他の辺の長さは，すべて5cm です．次の問に答えなさい．   [3A2-00]
A
B
C
D
O
H
5cm
6cm


１．AHの長さを求めなさい．




２．OHの長さを求めなさい．










３．OABCDの体積を求めなさい．
1
2
3
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9
次の問に答えなさい．   [3A3-30]
9
9点 部分点可
底面が半径 2cm の円形で，高さが，6cm である円錐の表面積を求めなさい．
A
O
H
6cm
2cm
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定期試験対策テスト        10/11 ページ
10
次の問に答えなさい．   [3A4-20]
10
9点 部分点可
半径5cmの球Oを，中心Oから，3cmの距離にある平面で切った時，切り口の図形は円になります．この円の円周の長さを求めなさい．
O
A
H
cm
 3
 
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定期試験対策テスト        11/11 ページ
11
次の問に答えなさい．   [3A4-30]
11
4点×3
１辺の長さが，5cm の立方体があります．３点 B，E，Gを通る平面でこの立方体を切るとき，次の問に答えなさい．
A
B
C
D
E
F
G
H

１．三角錐FBEGの体積を求めなさい．
２．△BEGの面積を求めなさい．








３．角錐FBEGの底面を△BEGと考えるとき，高さを求めなさい．
1
2
3
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【解答例】
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1
次の問に答えなさい．
1
2点×4
(1) xの値を求めなさい．   [381-00]
 
3
 4
 
 1
 
 x
 
    
2
 
3
2
2
 x=(4)＋1=49
 
x＞0 だから
    
 x=7
 
(2) xの値を求めなさい．   [381-00]
 1
 
 
3
 4
 
 x
 
    
2
2
 
3
2
 x=1＋(4)=49
 
x＞0 だから
    
 x=7
 
(3) xの値を求めなさい．   [381-00]
 4
 
 
5
 2
 
 x
 
    
2
2
 
5
2
 x=4＋(2)=36
 
x＞0 だから
    
 x=6
 
(4) 次の長さを３辺とする三角形のうち，直角三角形はどれですか．   [382-00]
    (ア)  
 
3
 2，2，4
 
    (イ)  
 
3
 
7
 ，2，
 
    (ウ)  
 2，3，7
 
    (エ)  
 
3
 
6
 ，2，
 

(ア)
2
 
3
2
2
    ◯
 2＋(2)=16=4
 
(イ)
 
3
2
2
 
7
2
    ◯
 ＋2=
 
(ウ)
2
2
2
 2＋3=13≠7
 
(エ)
 
3
2
2
 
7
2
 
6
2
 ＋2=≠
 
(1)
 7
 
(2)
 7
 
(3)
 6
 
(4) ア ,イ
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【解答例】
定期試験対策テスト        2/11 ページ
2
次の問に答えなさい．   [380-00]
2
11点 部分点可
∠C＝90°の直角三角形ABCと合同な三角形を，次の図のように並べます．四角形ABHGと四角形CDEFが正方形であることから，a2＋b2＝c2となることを証明しなさい．
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
c
四角形CDEFの面積を S とする．
四角形CDEFは正方形だから，
    S＝(a＋b)2    ---①

また，四角形CDEFの面積は，４つの直角三角形と正方形ABHGに分けることができるから，
     1 
2
    ---②
 S=4×ab＋c
  2 

① ② から，
    
2
 (a＋b)
 
 1 
2
 =4×ab＋c
  2 
2
2
 a＋2ab＋b
 
2
 =2ab＋c
 
2
2
 a＋b
 
2
 =c
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        3/11 ページ
3
次の問に答えなさい．
3
2点×4
(1) 次の長方形の対角線の長さを求めなさい．    [383-00]
 4
 
 3
 
対角線の長さをx とする．
    
2
2
2
 x=4＋3=25
 
x＞0 だから
    
 x=5
 
(2) ２辺の長さが
 
2
の三角形があります．
 cm，2cm
 
この三角形が直角三角形であるためには，残りの１辺の長さは，何cmであればよいですか．   [384-00]
残りの１辺の長さをx cm とする．
直角をはさむ２辺の長さが
 
2
のとき
 cm，2cm
 
    
2
 
2
2
2
 x=＋2=6
 
x＞0 だから
    
 
6
 x=
 
   
斜辺の長さがのとき
 2cm
 
    
2
2
 
2
2
 x=2−=2
 
x＞0 だから
    
 
2
 x=
 
(3) １辺の長さがの
 2
 
正三角形ABCの高さを求めなさい．   [390-00]
B
A
C
 h
 
 2
 
 1
 
    
2
2
2
 h=2−1=3
 
x＞0 だから
    
 
3
 h=
 
(4) xの値を求めなさい．   [392-00]
 
3
 
 
 x
 
60°
    
 
3
 ：x
 
 
3
 =：2
 
 x
 
 =2
 
(1)
 5
 
(2)
 
6
 
2
 cm，cm
 
(3)
 
3
 
 
(4)
 2
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        4/11 ページ
4
次の問に答えなさい．
4
3点×3
(1) 半径5cmの円があります．円Oの弦ABの長さが，6cmのとき，中心Oから弦ABまでの距離を求めなさい．   [393-00]
O
A
B
H
cm
 6
 
cm
 5
 
x
    
2
2
2
 AO=OH＋AH
 
OHを x とすると．
    
2
2
2
 x=5−3=16
 
x＞0 だから
    
 x=4
 
(2) １辺の長さが
 
7
の
 
 
正三角形ABCの面積を求めなさい．   [391-00]
B
A
C
 
7
 
 
 h
 
 1 
 
7
 
  2 
    
2
 
7
2
 1 
 
7
2
 21 
 h=−()=
  2  4 
h＞0 だから  1 
 
21
 h=
  2 
面積
 S
 
 1 
 
7
 1 
 
21
 =××
  2  2 
 S
 
 7 
 
3
 =
  4 
(3) 次の座標を持つ２点の間の距離を求めなさい．   [394-01]
 A(6，−10)，B(5，6)
 
    
2
 AB
 
2
2
 =(5−6)＋{6−(−10)}
 
 
 
2
2
 =(−1)＋16
 
2
 AB
 
 =257
 
AB＞0 だから
    
 
257
 AB=
 
(1)
cm
 4
 
(2)
 7 
 
3
 
  4 
(3)
 
257
 
 
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【解答例】
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5
次の問に答えなさい．
5
4点×2
(1) 次の図で，APは，Pを接点とする円Oの接線です．xの値を求めなさい．   [395-00]
また，円Oの半径を
 
13
とする．
 
 
A
P
O
 6
 
 x
 
    
2
 
13
2
2
 x=＋6=49
 
x＞0 だから
    
 x=7
 
(2) xの値を求めなさい．   [396-00]
C
135°
B
 
2
 5
 
x
A
15°
H
30°
45°
BCを延長した直線に，頂点Aからに垂線を引き，その交点をHとする．
△ACHは，45°,45°,90°の直角二等辺三角形だから，
 AH=5
 
△ABHは，30°,60°,90°の直角三角形だから，
 x=10
 

(1)
 7
 
(2)
 10
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        6/11 ページ
6
次の問に答えなさい．
6
4点×2
(1) xの値を求めなさい．   [397-20]
A
B
C
D
 2
 
x
 4
 
 5
 
H
 4
 
 1
 
頂点Dから BCに垂線を引き，その交点をHとする．
直角三角形DHCについて，
HC＝BC-ADだから，
    
2
 x
 
2
2
 =DH＋HC
 
 
 
2
2
 =2＋(5−4)
 
2
 x
 
 =5
 
x＞0 だから
    
 
5
 x=
 

(2) xの値を求めなさい．   [397-00]
A
B
C
H
 
58
 
 
x
 3
 
 5
 
直角三角形ABHについて，
    
2
 AH
 
 
58
2
2
 =−3
 
2
 AH
 
 =49
 
直角三角形ACHについて，
    
2
 x
 
2
2
 =5＋AH
 
2
 x
 
 =74
 
x＞0 だから
    
 
74
 x=
 

(1)
 
5
 
 
(2)
 
74
 
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        7/11 ページ
7
次の問に答えなさい．
7
3点×3
次の図は直方体です．次の問に答えなさい．   [3A0-00]
A
B
C
D
E
F
G
H


１．ACの長さを AB，BCを使って求めなさい．

△ABCの直角三角形から
    
2
2
2
        ---①
 AC=AB＋BC
 
AC＞0 だから
    
 
2
2
AB＋BC
 AC=
 



２．AGの長さを AB，BC，CGを使って求めなさい．

△ACGに着目すると，∠ACG＝90°だから
    
2
2
2
 AG=AC＋CG
 
①より
    
2
2
2
2
 AG=AB＋BC＋CG
 
AG＞0 だから
    
 
2
2
2
AB＋BC＋CG
 AG=
 


３．AB＝6cm ，BC＝6cm ，CG＝6cm のとき，AGの長さを求めなさい．
    
 AG
 
 
2
2
2
AB＋BC＋CG
 =
 
 AG
 
 
2
2
2
6＋6＋6
 =
 
 AG
 
 
108
 =
 
 AG
 
 
3
 =6
 
1
 
2
2
AB＋BC
 AC=
 
2
 
2
2
2
AB＋BC＋CG
 AG=
 
3
 
3
cm
 6
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        8/11 ページ
8
次の問に答えなさい．
8
3点×3
正四角錐OABCDがあります．底面ABCDは，１辺が6cm の正方形で，他の辺の長さは，すべて5cm です．次の問に答えなさい．   [3A2-00]
A
B
C
D
O
H
5cm
6cm


１．AHの長さを求めなさい．
正方形ABCDの対角線ACの長さは，
    
 
2
 AC=AB
 
正方形ABCDの対角線は，中点で交わるから，AHの長さは
    
 AH
 
 1 
 =AC
  2 
 
 
 1 
 
2
 =AB
  2 
 
 
 1 
 
2
 =×6
  2 
 AH
 
 
2
 =3
 

２．OHの長さを求めなさい．
△OAHに着目すると，∠AHO＝90°だから
    
2
 OH
 
2
2
 =OA−AH
 
 
 
2
 
2
2
 =5−(3)
 
 
 
 =7
 
OH＞0 だから
    
 OH
 
 
7
 =
 

３．OABCDの体積を求めなさい．
正四角錐OABCDの体積をVとすると，
    
 V
 
 1 
2
 =ABOH
  3 
 
 
 1 
2
 
7
 =×6×
  3 
 
 
 
7
 =12
 
1
 
 
2
cm
 3
 
2
 
 
7
cm
 
 
3
 
 
7
cm3
 12
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        9/11 ページ
9
次の問に答えなさい．   [3A3-30]
9
9点 部分点可
底面が半径 2cm の円形で，高さが，6cm である円錐の表面積を求めなさい．
A
O
H
6cm
2cm

［OAの長さを求める］
    
2
 OA
 
2
2
 =OH＋AH
 
 
 
2
2
 =6＋2
 
 
 
 =36＋4
 
 
 
 =40
 
OH＞0 だから
    
 
10
 OA=2
 

［円錐の側面積を求める］
右図は，この円錐の展開図です．

扇形OAPの面積（円錐の側面積）と Oを中心として半径OAの円Oの面積の比は，弧APと 円Oの円周の長さ の比に等しいので
    
 扇形OAP：円O
 
 =弧AP：円Oの円周の長さ
 
 扇形OAP
 
弧AP
    ---①
 =円O×
 
円Oの円周の長さ
弧APは，底面（円H）の円周の長さ と等しいので
    
2
    ---②
 弧AP=2πAH
 

①②より
    
 扇形OAP
 
2
2πAH
 =πOA×
 
2πOA
 
 
 =πOAAH
 
よって
    
 扇形OAP
 
 
10
 =π×2×2
 
 
 
 
10
 =4π
 

［円錐の表面積を求める］
円錐の表面積をSとすると，    S＝側面積＋底面積    だから，
    
 S
 
 
10
2
 =4π＋π×2
 
 
 
 
10
 =4π＋4π
 
 
10
cm2
 4π＋4π
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        10/11 ページ
10
次の問に答えなさい．   [3A4-20]
10
9点 部分点可
半径5cmの球Oを，中心Oから，3cmの距離にある平面で切った時，切り口の図形は円になります．この円の円周の長さを求めなさい．
O
A
H
cm
 3
 
cm
 5
 


［切り口の円の半径を求める］
    
2
2
2
 AO=OH＋AH
 
AHを r とすると．
    
2
2
2
 r=5−3=16
 

r＞0 だから
    
 r=4
 


［切り口の円周の長さ l を求める］
    
 l
 
 =2πr
 
 
 
 =2π×4
 
 
 
 =8π
 
cm
 8π
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        11/11 ページ
11
次の問に答えなさい．   [3A4-30]
11
4点×3
１辺の長さが，5cm の立方体があります．３点 B，E，Gを通る平面でこの立方体を切るとき，次の問に答えなさい．
A
B
C
D
E
F
G
H

１．三角錐FBEGの体積を求めなさい．
三角錐FBEGの底面を△BEFと考えると，高さはFGとなるから，三角錐FBEGの体積Vは．
 1 
 V=△BEF×FG
  3 
        
 △BEF
 
 1  1 
2
 25 
 =ABAE=×5=
  2  2  2 
 V
 
 1 
 =△BEF×FG
  3 
 
 
 1  25  125 
 =××5=
  3  2  6 
２．△BEGの面積を求めなさい．
E
G
B
x
 
2
 5
 
 5 
 
2
 
  2 
△BEGは正三角形．一辺の長さは，正方形ABFEの対角線の長さだから，
    
2
 BE
 
2
2
 =AB＋AE
 
 BE
 
 
2
 =5
 
正三角形BEGの高さ x は，30°,60°,90°の直角三角形の辺の比から
    
 x
 
 5 
 
2
 
3
 5 
 
6
 =×=
  2  2 
△BEGの面積は，
    
 △BEG
 
 1 
 =BEx
  2 
 
 
 1 
 
2
 5 
 
6
 25 
 
3
 =×5×=
  2  2  2 
３．角錐FBEGの底面を△BEGと考えるとき，高さを求めなさい．
角錐FBEGの体積 V を，底面△BEGの面積と高さ h からもとめる．
    
 V
 
 1 
 =△BEGh
  3 
 h
 
3V
 125  25 
 
3
1
 5 
 
3
 ==3×÷()=5=
 
△BEG
 6  2 
 
3
 3 
1
  125 cm3
 
  6 
2
  25 
 
3
cm2
 
  2 
3
  5 
 
3
cm
 
  3 
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