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三平方の定理
定期試験対策テスト    時間 50分        1/11 ページ
点
1
次の問に答えなさい．
1
2点×4
(1) xの値を求めなさい．   [381-00]
 x
 
 
3
 
 
 
5
 
 
(2) xの値を求めなさい．   [381-00]
 
13
 
 
 6
 
 x
 
(3) xの値を求めなさい．   [381-00]
 5
 
 x
 
 
34
 
 
(4) 次の長さを３辺とする三角形のうち，直角三角形はどれですか．   [382-00]
    (ア)  
 
5
 4，2，6
 
    (イ)  
 
2
 
7
 ，2，
 
    (ウ)  
 
2
 
3
 1，，
 
    (エ)  
 1，4，5
 

(1)
(2)
(3)
(4)
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2
次の問に答えなさい．   [380-00]
2
11点 部分点可
∠C＝90°の直角三角形ABCと合同な三角形を，次の図のように並べます．四角形ABDEと四角形CFGHが正方形であることから，a2＋b2＝c2となることを証明しなさい．
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
c
空欄に記入
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3
次の問に答えなさい．
3
2点×4
(1) 次の長方形の対角線の長さを求めなさい．    [383-00]
 2
 
 6
 
(2) ２辺の長さが
 
3
 
5
の三角形があります．
 cm，cm
 
この三角形が直角三角形であるためには，残りの１辺の長さは，何cmであればよいですか．   [384-00]
(3) １辺の長さが
 
5
の
 
 
正三角形ABCの高さを求めなさい．   [390-00]
B
A
C
 h
 
 
5
 
 
(4) xの値を求めなさい．   [392-00]
 x
 
 
2
 7
 
45°
(1)
(2)
(3)
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次の問に答えなさい．
4
3点×3
(1) 半径7cmの円があります．円Oの弦ABの長さが，12cmのとき，中心Oから弦ABまでの距離を求めなさい．   [393-00]
O
A
B
H
cm
 12
 
(2) １辺の長さが
 
2
の
 
 
正三角形ABCの面積を求めなさい．   [391-00]
B
A
C
 
2
 
 
(3) 次の座標を持つ２点の間の距離を求めなさい．   [394-01]
 A(−4，3)，B(−10，−8)
 
(1)
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次の問に答えなさい．
5
4点×2
(1) 次の図で，APは，Pを接点とする円Oの接線です．xの値を求めなさい．   [395-00]
A
P
O
 4
 
 3
 
 x
 
(2) xの値を求めなさい．   [396-00]
A
45°
C
x
 8
 
B
105°
(1)
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次の問に答えなさい．
6
4点×2
(1) xの値を求めなさい．   [397-20]
A
B
C
D
 4
 
x
 5
 
 11
 

(2) xの値を求めなさい．   [397-00]
A
B
C
H
 
2
 5
 
x
 5
 
 7
 

(1)
(2)
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7
次の問に答えなさい．
7
3点×3
次の図は直方体です．次の問に答えなさい．   [3A0-00]
A
B
C
D
E
F
G
H


１．ACの長さを AB，BCを使って求めなさい．




２．AGの長さを AB，BC，CGを使って求めなさい．









３．AB＝2cm ，BC＝3cm ，CG＝4cm のとき，AGの長さを求めなさい．
1
2
3
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8
次の問に答えなさい．
8
3点×3
正四角錐OABCDがあります．底面ABCDは，１辺が2cm の正方形で，他の辺の長さは，すべて4cm です．次の問に答えなさい．   [3A2-00]
A
B
C
D
O
H
4cm
2cm


１．AHの長さを求めなさい．




２．OHの長さを求めなさい．










３．OABCDの体積を求めなさい．
1
2
3
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9
次の問に答えなさい．   [3A3-10]
9
9点 部分点可
底面が１辺 7cm の正方形で，他の辺の長さが，すべて7cm である正四角錐の表面積を求めなさい．
A
B
C
D
O
7cm
7cm
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10
次の問に答えなさい．   [3A4-10]
10
9点 部分点可
次の図の直角三角形ABCを，直線 l のまわりに１回転させてできる立体の体積を求めなさい．
A
l
B
C
4cm
2cm
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11
次の問に答えなさい．   [3A4-00]
11
6点×2
次の図は，底面の１辺が，3cm，高さが，4cmの正四角柱です．頂点Aから頂点Eまで，糸を最短距離でかけます．次の問に答えなさい．
A
B
C
D
E
F
G
H


１．かけた糸を，下の展開図に描きなさい．
２．糸の長さを求めなさい．
1 図に記入
2
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【解答例】
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1
次の問に答えなさい．
1
2点×4
(1) xの値を求めなさい．   [381-00]
 x
 
 
3
 
 
 
5
 
 
    
2
 
5
2
 
3
2
 x=−=2
 
x＞0 だから
    
 
2
 x=
 
(2) xの値を求めなさい．   [381-00]
 
13
 
 
 6
 
 x
 
    
2
 
13
2
2
 x=＋6=49
 
x＞0 だから
    
 x=7
 
(3) xの値を求めなさい．   [381-00]
 5
 
 x
 
 
34
 
 
    
2
 
34
2
2
 x=−5=9
 
x＞0 だから
    
 x=3
 
(4) 次の長さを３辺とする三角形のうち，直角三角形はどれですか．   [382-00]
    (ア)  
 
5
 4，2，6
 
    (イ)  
 
2
 
7
 ，2，
 
    (ウ)  
 
2
 
3
 1，，
 
    (エ)  
 1，4，5
 

(ア)
2
 
5
2
2
    ◯
 4＋(2)=36=6
 
(イ)
 
2
2
2
 
6
2
 
7
2
 ＋2=≠
 
(ウ)
2
 
2
2
 
3
2
    ◯
 1＋=
 
(エ)
2
2
2
 1＋4=17≠5
 
(1)
 
2
 
 
(2)
 7
 
(3)
 3
 
(4) ア ,ウ
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【解答例】
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2
次の問に答えなさい．   [380-00]
2
11点 部分点可
∠C＝90°の直角三角形ABCと合同な三角形を，次の図のように並べます．四角形ABDEと四角形CFGHが正方形であることから，a2＋b2＝c2となることを証明しなさい．
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
c
四角形ABDEの面積を S とする．
四角形ABDEは正方形だから，
    S＝c2    ---①

また，四角形ABDEの面積は，４つの直角三角形と正方形CFGHに分けることができるから，
     1 
2
    ---②
 S=4×ab＋(a−b)
  2 

① ② から，
     1 
2
 4×ab＋(a−b)
  2 
2
 =c
 
2
2
 2ab＋(a−2ab＋b)
 
2
 =c
 
2
2
 a＋b
 
2
 =c
 
空欄に記入
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【解答例】
定期試験対策テスト        3/11 ページ
3
次の問に答えなさい．
3
2点×4
(1) 次の長方形の対角線の長さを求めなさい．    [383-00]
 2
 
 6
 
対角線の長さをx とする．
    
2
2
2
 x=2＋6=40
 
x＞0 だから
    
 
10
 x=2
 
(2) ２辺の長さが
 
3
 
5
の三角形があります．
 cm，cm
 
この三角形が直角三角形であるためには，残りの１辺の長さは，何cmであればよいですか．   [384-00]
残りの１辺の長さをx cm とする．
直角をはさむ２辺の長さが
 
3
 
5
のとき
 cm，cm
 
    
2
 
3
2
 
5
2
 x=＋=8
 
x＞0 だから
    
 
2
 x=2
 
   
斜辺の長さが
 
5
のとき
 cm
 
    
2
 
5
2
 
3
2
 x=−=2
 
x＞0 だから
    
 
2
 x=
 
(3) １辺の長さが
 
5
の
 
 
正三角形ABCの高さを求めなさい．   [390-00]
B
A
C
 h
 
 
5
 
 
 1 
 
5
 
  2 
    
2
 
5
2
 1 
 
5
2
 15 
 h=−()=
  2  4 
x＞0 だから
     1 
 
15
 h=
  2 
(4) xの値を求めなさい．   [392-00]
 x
 
 
2
 7
 
45°
    
 
2
 x：7
 
 
2
 =1：
 
 x
 
 =7
 
(1)
 
10
 2
 
(2)
 
2
 
2
 2cm，cm
 
(3)
 1 
 
15
 
  2 
(4)
 7
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        4/11 ページ
4
次の問に答えなさい．
4
3点×3
(1) 半径7cmの円があります．円Oの弦ABの長さが，12cmのとき，中心Oから弦ABまでの距離を求めなさい．   [393-00]
O
A
B
H
cm
 12
 
cm
 7
 
x
    
2
2
2
 AO=OH＋AH
 
OHを x とすると．
    
2
2
2
 x=7−6=13
 
x＞0 だから
    
 
13
 x=
 
(2) １辺の長さが
 
2
の
 
 
正三角形ABCの面積を求めなさい．   [391-00]
B
A
C
 
2
 
 
 h
 
 1 
 
2
 
  2 
    
2
 
2
2
 1 
 
2
2
 3 
 h=−()=
  2  2 
h＞0 だから  1 
 
6
 h=
  2 
面積
 S
 
 1 
 
2
 1 
 
6
 =××
  2  2 
 S
 
 1 
 
3
 =
  2 
(3) 次の座標を持つ２点の間の距離を求めなさい．   [394-01]
 A(−4，3)，B(−10，−8)
 
    
2
 AB
 
2
2
 ={−10−(−4)}＋(−8−3)
 
 
 
2
2
 =(−6)＋(−11)
 
2
 AB
 
 =157
 
AB＞0 だから
    
 
157
 AB=
 
(1)
 
13
cm
 
 
(2)
 1 
 
3
 
  2 
(3)
 
157
 
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        5/11 ページ
5
次の問に答えなさい．
5
4点×2
(1) 次の図で，APは，Pを接点とする円Oの接線です．xの値を求めなさい．   [395-00]
A
P
O
 4
 
 3
 
 x
 
    
2
2
2
 x=4＋3=25
 
x＞0 だから
    
 x=5
 
(2) xの値を求めなさい．   [396-00]
A
45°
C
x
 8
 
B
H
30°
45°
60°
頂点BからACに垂線を引き，その交点をHとする．
△BCHは，30°,60°,90°の直角三角形だから，
 BH=4
 
△BAHは，45°,45°,90°の直角二等辺三角形だから，
 
2
 x=4
 

(1)
 5
 
(2)
 
2
 4
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        6/11 ページ
6
次の問に答えなさい．
6
4点×2
(1) xの値を求めなさい．   [397-20]
A
B
C
D
 4
 
x
 5
 
 11
 
H
 5
 
 6
 
頂点Dから BCに垂線を引き，その交点をHとする．
直角三角形DHCについて，
HC＝BC-ADだから，
    
2
 x
 
2
2
 =DH＋HC
 
 
 
2
2
 =4＋(11−5)
 
2
 x
 
 =52
 
x＞0 だから
    
 
13
 x=2
 

(2) xの値を求めなさい．   [397-00]
A
B
C
H
 
2
 5
 
x
 5
 
 7
 
直角三角形ABHについて，
    
2
 AH
 
 
2
2
2
 =(5)−5
 
2
 AH
 
 =25
 
直角三角形ACHについて，
    
2
 x
 
2
2
 =7＋AH
 
2
 x
 
 =74
 
x＞0 だから
    
 
74
 x=
 

(1)
 
13
 2
 
(2)
 
74
 
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        7/11 ページ
7
次の問に答えなさい．
7
3点×3
次の図は直方体です．次の問に答えなさい．   [3A0-00]
A
B
C
D
E
F
G
H


１．ACの長さを AB，BCを使って求めなさい．

△ABCの直角三角形から
    
2
2
2
        ---①
 AC=AB＋BC
 
AC＞0 だから
    
 
2
2
AB＋BC
 AC=
 



２．AGの長さを AB，BC，CGを使って求めなさい．

△ACGに着目すると，∠ACG＝90°だから
    
2
2
2
 AG=AC＋CG
 
①より
    
2
2
2
2
 AG=AB＋BC＋CG
 
AG＞0 だから
    
 
2
2
2
AB＋BC＋CG
 AG=
 


３．AB＝2cm ，BC＝3cm ，CG＝4cm のとき，AGの長さを求めなさい．
    
 AG
 
 
2
2
2
AB＋BC＋CG
 =
 
 AG
 
 
2
2
2
2＋3＋4
 =
 
 AG
 
 
29
 =
 
1
 
2
2
AB＋BC
 AC=
 
2
 
2
2
2
AB＋BC＋CG
 AG=
 
3
 
29
cm
 
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        8/11 ページ
8
次の問に答えなさい．
8
3点×3
正四角錐OABCDがあります．底面ABCDは，１辺が2cm の正方形で，他の辺の長さは，すべて4cm です．次の問に答えなさい．   [3A2-00]
A
B
C
D
O
H
4cm
2cm


１．AHの長さを求めなさい．
正方形ABCDの対角線ACの長さは，
    
 
2
 AC=AB
 
正方形ABCDの対角線は，中点で交わるから，AHの長さは
    
 AH
 
 1 
 =AC
  2 
 
 
 1 
 
2
 =AB
  2 
 
 
 1 
 
2
 =×2
  2 
 AH
 
 
2
 =
 

２．OHの長さを求めなさい．
△OAHに着目すると，∠AHO＝90°だから
    
2
 OH
 
2
2
 =OA−AH
 
 
 
2
 
2
2
 =4−
 
 
 
 =14
 
OH＞0 だから
    
 OH
 
 
14
 =
 

３．OABCDの体積を求めなさい．
正四角錐OABCDの体積をVとすると，
    
 V
 
 1 
2
 =ABOH
  3 
 
 
 1 
2
 
14
 =×2×
  3 
 
 
 4 
 
14
 =
  3 
1
 
 
2
cm
 
 
2
 
 
14
cm
 
 
3
  4 
 
14
cm3
 
  3 
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【解答例】
定期試験対策テスト        9/11 ページ
9
次の問に答えなさい．   [3A3-10]
9
9点 部分点可
底面が１辺 7cm の正方形で，他の辺の長さが，すべて7cm である正四角錐の表面積を求めなさい．
A
B
C
D
O
7cm
7cm

［△OABの高さOGを求める］
    
2
 OG
 
2
2
 =AO−AG
 
 
 
2
 7 
2
 =7−()
  2 
 
 
 147 
 =
  4 
OG＞0 だから
    
 OG
 
 
 147 
 4 
 =
 
 
 
 7 
 
3
 =
  2 

［△OABの面積を求める］
    
 △OAB
 
 1 
 =ABOG
  2 
 
 
 1  7 
 
3
 =×7×
  2  2 
 
 
 49 
 
3
 =
  4 

［表面積を求める］
正四角錐OABCDの表面積をSとすると，
    
 S
 
 =4△OAB＋ABBC
 
 
 
 49 
 
3
2
 =4×＋7
  4 
 
 
 
3
 =49＋49
 

 
3
cm2
 49＋49
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        10/11 ページ
10
次の問に答えなさい．   [3A4-10]
10
9点 部分点可
次の図の直角三角形ABCを，直線 l のまわりに１回転させてできる立体の体積を求めなさい．
A
l
B
C
4cm
2cm

［CBの長さ(円錐の高さ)を求める］
    
2
 CB
 
2
2
 =AC−AB
 
 
 
2
2
 =4−2
 
 
 
 =16−4
 
 
 
 =12
 
AC＞0 だから
    
 
3
 CB=2
 


［円錐の体積を求める］
円錐の体積をVとすると，
 1     だから
 V=×底面積×高さ
  3 
    
 V
 
 1 
2
 
3
 =×π×2×2
  3 
 V
 
 8 
 
3
 =π
  3 

 8 
 
3
cm3
 π
  3 
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【解答例】
定期試験対策テスト        11/11 ページ
11
次の問に答えなさい．   [3A4-00]
11
6点×2
次の図は，底面の１辺が，3cm，高さが，4cmの正四角柱です．頂点Aから頂点Eまで，糸を最短距離でかけます．次の問に答えなさい．
A
B
C
D
E
F
G
H


１．かけた糸を，下の展開図に描きなさい．
最短距離で糸をかけるから，展開図上では 直線になる．展開図上の点Pは，正四角柱における頂点Eです．また，展開図上の点Qは，正四角柱における頂点Aです．

２．糸の長さを求めなさい．

△APQに着目すると，∠AQP＝90°だから
    
2
2
2
 AP=AQ＋PQ
 
 AQ=4×3=12
 
 PQ=4
 
より
    
2
 AP
 
2
2
 =12＋4
 
2
 AP
 
 =160
 
AP＞0 だから
    
 
10
 AP=4
 
1 図に記入
2
 
 
10
cm
 4
 
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