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三平方の定理
定期試験対策テスト    時間 50分        1/11 ページ
1
次の問に答えなさい.
1
2点×4
(1) xの値を求めなさい.   [381-00]
 x
 
 3
 
 
10
 
 
(2) xの値を求めなさい.   [381-00]
 
35
 
 
 1
 
 x
 
(3) xの値を求めなさい.   [381-00]
 1
 
 
3
 4
 
 x
 
(4) 次の長さを3辺とする三角形のうち,直角三角形はどれですか.   [382-00]
    (ア)  
 317
 
    (イ)  
 
11
 56
 
    (ウ)  
 
6
 257
 
    (エ)  
 
2
 
6
 2
 

(1)
(2)
(3)
(4)
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三平方の定理
定期試験対策テスト        2/11 ページ
2
次の問に答えなさい.   [380-00]
2
11点 部分点可
∠C=90°の直角三角形ABCと合同な三角形を,次の図のように並べます.四角形ABHGと四角形CDEFが正方形であることから,a2b2c2となることを証明しなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
c
空欄に記入
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3
次の問に答えなさい.
3
2点×4
(1) 次の長方形の対角線の長さを求めなさい.    [383-00]
 2
 
 3
 
(2) 2辺の長さが
 
2
 
5
の三角形があります.
 cmcm
 
この三角形が直角三角形であるためには,残りの1辺の長さは,何cmであればよいですか.   [384-00]
(3) 1辺の長さが
 2
 
正三角形ABCの高さを求めなさい.   [390-00]
B
A
C
 h
 
 2
 
(4) xの値を求めなさい.   [392-00]
 x
 
 5
 
45°
(1)
(2)
(3)
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次の問に答えなさい.
4
3点×3
(1) 半径7cmの円があります.円Oの弦ABの長さが,12cmのとき,中心Oから弦ABまでの距離を求めなさい.   [393-00]
O
A
B
H
cm
 12
 
(2) 1辺の長さが
 
7
 
 
正三角形ABCの面積を求めなさい.   [391-00]
B
A
C
 
7
 
 
(3) 次の座標を持つ2点の間の距離を求めなさい.   [394-01]
 A(59)B(−2−10)
 
(1)
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次の問に答えなさい.
5
4点×2
(1) 次の図で,APは,Pを接点とする円Oの接線です.xの値を求めなさい.   [395-00]
A
P
O
 1
 
 x
 
 
6
 
 
(2) xの値を求めなさい.   [396-00]
A
45°
B
 
2
 7
 
x
C
75°
(1)
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次の問に答えなさい.
6
4点×2
(1) xの値を求めなさい.   [397-30]
A
B
C
D
 2
 
 2
 
 1
 
x

(2) xの値を求めなさい.   [397-10]
A
B
C
H
x
 
2
 2
 
 1
 
 1
 

(1)
(2)
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7
次の問に答えなさい.
7
3点×3
次の図は直方体です.次の問に答えなさい.   [3A0-00]
A
B
C
D
E
F
G
H


1.ACの長さを AB,BCを使って求めなさい.




2.AGの長さを AB,BC,CGを使って求めなさい.









3.AB=3cm ,BC=4cm ,CG=6cm のとき,AGの長さを求めなさい.
1
2
3
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8
次の問に答えなさい.
8
3点×3
正四角錐OABCDがあります.底面ABCDは,1辺が6cm の正方形で,他の辺の長さは,すべて5cm です.次の問に答えなさい.   [3A2-00]
A
B
C
D
O
H
5cm
6cm


1.AHの長さを求めなさい.




2.OHの長さを求めなさい.










3.OABCDの体積を求めなさい.
1
2
3
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9
次の問に答えなさい.   [3A3-10]
9
9点 部分点可
底面が1辺 3cm の正方形で,他の辺の長さが,すべて6cm である正四角錐の側面積を求めなさい.
A
B
C
D
O
6cm
3cm
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10
次の問に答えなさい.   [3A4-20]
10
9点 部分点可
半径3cmの球Oを,中心Oから,2cmの距離にある平面で切った時,切り口の図形は円になります.この円の円周の長さを求めなさい.
O
A
H
cm
 2
 
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11
次の問に答えなさい.   [3A4-30]
11
4点×3
1辺の長さが,2cm の立方体があります.3点 B,E,Gを通る平面でこの立方体を切るとき,次の問に答えなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H

1.三角錐FBEGの体積を求めなさい.
2.△BEGの面積を求めなさい.








3.角錐FBEGの底面を△BEGと考えるとき,高さを求めなさい.
1
2
3
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【解答例】
定期試験対策テスト    時間 50分        1/11 ページ
1
次の問に答えなさい.
1
2点×4
(1) xの値を求めなさい.   [381-00]
 x
 
 3
 
 
10
 
 
    
2
 
10
2
2
 x=3=1
 
x>0 だから
    
 x=1
 
(2) xの値を求めなさい.   [381-00]
 
35
 
 
 1
 
 x
 
    
2
 
35
2
2
 x=1=36
 
x>0 だから
    
 x=6
 
(3) xの値を求めなさい.   [381-00]
 1
 
 
3
 4
 
 x
 
    
2
2
 
3
2
 x=1(4)=49
 
x>0 だから
    
 x=7
 
(4) 次の長さを3辺とする三角形のうち,直角三角形はどれですか.   [382-00]
    (ア)  
 317
 
    (イ)  
 
11
 56
 
    (ウ)  
 
6
 257
 
    (エ)  
 
2
 
6
 2
 

(ア)
2
2
2
 31=107
 
(イ)
 
11
2
2
2
    ◯
 5=36=6
 
(ウ)
 
6
2
2
2
    ◯
 (2)5=49=7
 
(エ)
 
2
2
2
 
6
2
    ◯
 2=
 
(1)
 1
 
(2)
 6
 
(3)
 7
 
(4) イ ,ウ ,エ
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【解答例】
定期試験対策テスト        2/11 ページ
2
次の問に答えなさい.   [380-00]
2
11点 部分点可
∠C=90°の直角三角形ABCと合同な三角形を,次の図のように並べます.四角形ABHGと四角形CDEFが正方形であることから,a2b2c2となることを証明しなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
c
四角形CDEFの面積を S とする.
四角形CDEFは正方形だから,
    S=(ab)2    ---①

また,四角形CDEFの面積は,4つの直角三角形と正方形ABHGに分けることができるから,
     1 
2
    ---②
 S=4×abc
  2 

① ② から,
    
2
 (ab)
 
 1 
2
 =4×abc
  2 
2
2
 a2abb
 
2
 =2abc
 
2
2
 ab
 
2
 =c
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        3/11 ページ
3
次の問に答えなさい.
3
2点×4
(1) 次の長方形の対角線の長さを求めなさい.    [383-00]
 2
 
 3
 
対角線の長さをx とする.
    
2
2
2
 x=23=13
 
x>0 だから
    
 
13
 x=
 
(2) 2辺の長さが
 
2
 
5
の三角形があります.
 cmcm
 
この三角形が直角三角形であるためには,残りの1辺の長さは,何cmであればよいですか.   [384-00]
残りの1辺の長さをx cm とする.
直角をはさむ2辺の長さが
 
2
 
5
のとき
 cmcm
 
    
2
 
2
2
 
5
2
 x==7
 
x>0 だから
    
 
7
 x=
 
   
斜辺の長さが
 
5
のとき
 cm
 
    
2
 
5
2
 
2
2
 x==3
 
x>0 だから
    
 
3
 x=
 
(3) 1辺の長さが
 2
 
正三角形ABCの高さを求めなさい.   [390-00]
B
A
C
 h
 
 2
 
 1
 
    
2
2
2
 h=21=3
 
x>0 だから
    
 
3
 h=
 
(4) xの値を求めなさい.   [392-00]
 x
 
 5
 
45°
    
 x5
 
 =11
 
 x
 
 =5
 
(1)
 
13
 
 
(2)
 
7
 
3
 cmcm
 
(3)
 
3
 
 
(4)
 5
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        4/11 ページ
4
次の問に答えなさい.
4
3点×3
(1) 半径7cmの円があります.円Oの弦ABの長さが,12cmのとき,中心Oから弦ABまでの距離を求めなさい.   [393-00]
O
A
B
H
cm
 12
 
cm
 7
 
x
    
2
2
2
 AO=OHAH
 
OHを x とすると.
    
2
2
2
 x=76=13
 
x>0 だから
    
 
13
 x=
 
(2) 1辺の長さが
 
7
 
 
正三角形ABCの面積を求めなさい.   [391-00]
B
A
C
 
7
 
 
 h
 
 1 
 
7
 
  2 
    
2
 
7
2
 1 
 
7
2
 21 
 h=()=
  2  4 
h>0 だから  1 
 
21
 h=
  2 
面積
 S
 
 1 
 
7
 1 
 
21
 =××
  2  2 
 S
 
 7 
 
3
 =
  4 
(3) 次の座標を持つ2点の間の距離を求めなさい.   [394-01]
 A(59)B(−2−10)
 
    
2
 AB
 
2
2
 =(−25)(−109)
 
 
 
2
2
 =(−7)(−19)
 
2
 AB
 
 =410
 
AB>0 だから
    
 
410
 AB=
 
(1)
 
13
cm
 
 
(2)
 7 
 
3
 
  4 
(3)
 
410
 
 
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【解答例】
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5
次の問に答えなさい.
5
4点×2
(1) 次の図で,APは,Pを接点とする円Oの接線です.xの値を求めなさい.   [395-00]
A
P
O
 1
 
 x
 
 
6
 
 
    
2
 
6
2
2
 x=1=5
 
x>0 だから
    
 
5
 x=
 
(2) xの値を求めなさい.   [396-00]
A
45°
B
 
2
 7
 
x
C
H
60°
45°
30°
頂点CからABに垂線を引き,その交点をHとする.
△CAHは,45°,45°,90°の直角二等辺三角形だから,
 CH=7
 
△CBHは,30°,60°,90°の直角三角形だから,
 14 
 
3
 x=
  3 

(1)
 
5
 
 
(2)
 14 
 
3
 
  3 
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【解答例】
定期試験対策テスト        6/11 ページ
6
次の問に答えなさい.
6
4点×2
(1) xの値を求めなさい.   [397-30]
A
B
C
D
 2
 
 2
 
 1
 
x
直線BDを引く.
直角三角形ABDについて,
    
2
 BD
 
2
2
 =22
 
 
 
 =8
 
直角三角形BCDについて,
    
2
 x
 
2
2
 =BD1
 
2
 x
 
 =7
 
x>0 だから
    
 
7
 x=
 

(2) xの値を求めなさい.   [397-10]
A
B
C
H
x
 
2
 2
 
 1
 
 1
 
直角三角形ABHについて,
    
2
 AH
 
 
2
2
2
 =(2)(11)
 
2
 AH
 
 =4
 
直角三角形ACHについて,
    
2
 x
 
2
2
 =1AH
 
2
 x
 
 =5
 
x>0 だから
    
 
5
 x=
 

(1)
 
7
 
 
(2)
 
5
 
 
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【解答例】
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7
次の問に答えなさい.
7
3点×3
次の図は直方体です.次の問に答えなさい.   [3A0-00]
A
B
C
D
E
F
G
H


1.ACの長さを AB,BCを使って求めなさい.

△ABCの直角三角形から
    
2
2
2
        ---①
 AC=ABBC
 
AC>0 だから
    
 
2
2
ABBC
 AC=
 



2.AGの長さを AB,BC,CGを使って求めなさい.

△ACGに着目すると,∠ACG=90°だから
    
2
2
2
 AG=ACCG
 
①より
    
2
2
2
2
 AG=ABBCCG
 
AG>0 だから
    
 
2
2
2
ABBCCG
 AG=
 


3.AB=3cm ,BC=4cm ,CG=6cm のとき,AGの長さを求めなさい.
    
 AG
 
 
2
2
2
ABBCCG
 =
 
 AG
 
 
2
2
2
346
 =
 
 AG
 
 
61
 =
 
1
 
2
2
ABBC
 AC=
 
2
 
2
2
2
ABBCCG
 AG=
 
3
 
61
cm
 
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        8/11 ページ
8
次の問に答えなさい.
8
3点×3
正四角錐OABCDがあります.底面ABCDは,1辺が6cm の正方形で,他の辺の長さは,すべて5cm です.次の問に答えなさい.   [3A2-00]
A
B
C
D
O
H
5cm
6cm


1.AHの長さを求めなさい.
正方形ABCDの対角線ACの長さは,
    
 
2
 AC=AB
 
正方形ABCDの対角線は,中点で交わるから,AHの長さは
    
 AH
 
 1 
 =AC
  2 
 
 
 1 
 
2
 =AB
  2 
 
 
 1 
 
2
 =×6
  2 
 AH
 
 
2
 =3
 

2.OHの長さを求めなさい.
△OAHに着目すると,∠AHO=90°だから
    
2
 OH
 
2
2
 =OAAH
 
 
 
2
 
2
2
 =5(3)
 
 
 
 =7
 
OH>0 だから
    
 OH
 
 
7
 =
 

3.OABCDの体積を求めなさい.
正四角錐OABCDの体積をVとすると,
    
 V
 
 1 
2
 =ABOH
  3 
 
 
 1 
2
 
7
 =×6×
  3 
 
 
 
7
 =12
 
1
 
 
2
cm
 3
 
2
 
 
7
cm
 
 
3
 
 
7
cm3
 12
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        9/11 ページ
9
次の問に答えなさい.   [3A3-10]
9
9点 部分点可
底面が1辺 3cm の正方形で,他の辺の長さが,すべて6cm である正四角錐の側面積を求めなさい.
A
B
C
D
O
6cm
3cm

[△OABの高さOGを求める]
    
2
 OG
 
2
2
 =AOAG
 
 
 
2
 3 
2
 =6()
  2 
 
 
 135 
 =
  4 
OG>0 だから
    
 OG
 
 
 135 
 4 
 =
 
 
 
 3 
 
15
 =
  2 

[△OABの面積を求める]
    
 △OAB
 
 1 
 =ABOG
  2 
 
 
 1  3 
 
15
 =×3×
  2  2 
 
 
 9 
 
15
 =
  4 

[側面積を求める]
正四角錐OABCDの側面積をSとすると,
    
 S
 
 =4△OAB
 
 
 
 9 
 
15
 =4×
  4 
 
 
 
15
 =9
 

 
15
cm2
 9
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        10/11 ページ
10
次の問に答えなさい.   [3A4-20]
10
9点 部分点可
半径3cmの球Oを,中心Oから,2cmの距離にある平面で切った時,切り口の図形は円になります.この円の円周の長さを求めなさい.
O
A
H
cm
 2
 
cm
 3
 


[切り口の円の半径を求める]
    
2
2
2
 AO=OHAH
 
AHを r とすると.
    
2
2
2
 r=32=5
 

r>0 だから
    
 
5
 r=
 


[切り口の円周の長さ l を求める]
    
 l
 
 =2πr
 
 
 
 
5
 =2π×
 
 
 
 
5
 =2π
 
 
5
cm
 2π
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        11/11 ページ
11
次の問に答えなさい.   [3A4-30]
11
4点×3
1辺の長さが,2cm の立方体があります.3点 B,E,Gを通る平面でこの立方体を切るとき,次の問に答えなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H

1.三角錐FBEGの体積を求めなさい.
三角錐FBEGの底面を△BEFと考えると,高さはFGとなるから,三角錐FBEGの体積Vは.
 1 
 V=△BEF×FG
  3 
        
 △BEF
 
 1  1 
2
 =ABAE=×2=2
  2  2 
 V
 
 1 
 =△BEF×FG
  3 
 
 
 1  4 
 =×2×2=
  3  3 
2.△BEGの面積を求めなさい.
E
G
B
x
 
2
 2
 
 
2
 
 
△BEGは正三角形.一辺の長さは,正方形ABFEの対角線の長さだから,
    
2
 BE
 
2
2
 =ABAE
 
 BE
 
 
2
 =2
 
正三角形BEGの高さ x は,30°,60°,90°の直角三角形の辺の比から
    
 x
 
 
2
 
3
 
6
 =×=
 
△BEGの面積は,
    
 △BEG
 
 1 
 =BEx
  2 
 
 
 1 
 
2
 
6
 
3
 =×2×=2
  2 
3.角錐FBEGの底面を△BEGと考えるとき,高さを求めなさい.
角錐FBEGの体積 V を,底面△BEGの面積と高さ h からもとめる.
    
 V
 
 1 
 =△BEGh
  3 
 h
 
3V
 4 
 
3
1
 2 
 
3
 ==3×÷(2)=2=
 
△BEG
 3 
 
3
 3 
1
  4 cm3
 
  3 
2
 
 
3
cm2
 2
 
3
  2 
 
3
cm
 
  3 
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