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三平方の定理
定期試験対策テスト    時間 50分        1/11 ページ
1
次の問に答えなさい.
1
2点×4
(1) xの値を求めなさい.   [381-00]
 3
 
 x
 
 
10
 
 
(2) xの値を求めなさい.   [381-00]
 
2
 
 
 x
 
 
5
 
 
(3) xの値を求めなさい.   [381-00]
 3
 
 4
 
 x
 
(4) 次の長さを3辺とする三角形のうち,直角三角形はどれですか.   [382-00]
    (ア)  
 
2
 12
 
    (イ)  
 467
 
    (ウ)  
 
3
 147
 
    (エ)  
 
3
 
7
 2
 

(1)
(2)
(3)
(4)
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三平方の定理
定期試験対策テスト        2/11 ページ
2
次の問に答えなさい.   [380-00]
2
11点 部分点可
∠C=90°の直角三角形ABCと合同な三角形を,次の図のように並べます.四角形ABHGと四角形CDEFが正方形であることから,a2b2c2となることを証明しなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
c
空欄に記入
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定期試験対策テスト        3/11 ページ
3
次の問に答えなさい.
3
2点×4
(1) 次の長方形の対角線の長さを求めなさい.    [383-00]
 1
 
 3
 
(2) 2辺の長さが
 
5
の三角形があります.
 2cmcm
 
この三角形が直角三角形であるためには,残りの1辺の長さは,何cmであればよいですか.   [384-00]
(3) 1辺の長さが
 4
 
正三角形ABCの高さを求めなさい.   [390-00]
B
A
C
 h
 
 4
 
(4) xの値を求めなさい.   [392-00]
 4
 
 x
 
60°
(1)
(2)
(3)
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4
次の問に答えなさい.
4
3点×3
(1) 半径5cmの円があります.円Oの弦ABの長さが,8cmのとき,中心Oから弦ABまでの距離を求めなさい.   [393-00]
O
A
B
H
cm
 8
 
(2) 1辺の長さが
 1
 
正三角形ABCの面積を求めなさい.   [391-00]
B
A
C
 1
 
(3) 次の座標を持つ2点の間の距離を求めなさい.   [394-01]
 A(−84)B(−510)
 
(1)
(2)
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5
次の問に答えなさい.
5
4点×2
(1) 次の図で,APは,Pを接点とする円Oの接線です.xの値を求めなさい.   [395-00]
A
P
O
 x
 
 2
 
 4
 
(2) xの値を求めなさい.   [396-00]
A
45°
C
x
 6
 
B
105°
(1)
(2)
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次の問に答えなさい.
6
4点×2
(1) xの値を求めなさい.   [397-10]
A
B
C
H
x
 
2
 6
 
 3
 
 3
 

(2) xの値を求めなさい.   [397-20]
A
B
C
D
 3
 
x
 1
 
 4
 

(1)
(2)
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7
次の問に答えなさい.
7
3点×3
次の図は直方体です.次の問に答えなさい.   [3A0-00]
A
B
C
D
E
F
G
H


1.ACの長さを AB,BCを使って求めなさい.




2.AGの長さを AB,BC,CGを使って求めなさい.









3.AB=2cm ,BC=3cm ,CG=4cm のとき,AGの長さを求めなさい.
1
2
3
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8
次の問に答えなさい.
8
3点×3
正四角錐OABCDがあります.底面ABCDは,1辺が6cm の正方形で,他の辺の長さは,すべて6cm です.次の問に答えなさい.   [3A2-00]
A
B
C
D
O
H
6cm
6cm


1.AHの長さを求めなさい.




2.OHの長さを求めなさい.










3.OABCDの体積を求めなさい.
1
2
3
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定期試験対策テスト        9/11 ページ
9
次の問に答えなさい.   [3A3-30]
9
9点 部分点可
底面が半径 2cm の円形で,高さが,6cm である円錐の表面積を求めなさい.
A
O
H
6cm
2cm
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定期試験対策テスト        10/11 ページ
10
次の問に答えなさい.   [3A4-10]
10
9点 部分点可
次の図の直角三角形ABCを,直線 l のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めなさい.
A
l
B
C
7cm
3cm
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11
次の問に答えなさい.   [3A4-00]
11
6点×2
次の図は,底面の1辺が,4cm,高さが,2cmの正四角柱です.頂点Aから頂点Eまで,糸を最短距離でかけます.次の問に答えなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H


1.かけた糸を,下の展開図に描きなさい.
2.糸の長さを求めなさい.
1 図に記入
2
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【解答例】
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1
次の問に答えなさい.
1
2点×4
(1) xの値を求めなさい.   [381-00]
 3
 
 x
 
 
10
 
 
    
2
 
10
2
2
 x=3=1
 
x>0 だから
    
 x=1
 
(2) xの値を求めなさい.   [381-00]
 
2
 
 
 x
 
 
5
 
 
    
2
 
5
2
 
2
2
 x==3
 
x>0 だから
    
 
3
 x=
 
(3) xの値を求めなさい.   [381-00]
 3
 
 4
 
 x
 
    
2
2
2
 x=34=25
 
x>0 だから
    
 x=5
 
(4) 次の長さを3辺とする三角形のうち,直角三角形はどれですか.   [382-00]
    (ア)  
 
2
 12
 
    (イ)  
 467
 
    (ウ)  
 
3
 147
 
    (エ)  
 
3
 
7
 2
 

(ア)
 
2
2
2
 
3
2
2
 1=2
 
(イ)
2
2
2
 46=527
 
(ウ)
2
 
3
2
2
    ◯
 1(4)=49=7
 
(エ)
 
3
2
2
 
7
2
    ◯
 2=
 
(1)
 1
 
(2)
 
3
 
 
(3)
 5
 
(4) ウ ,エ
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【解答例】
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2
次の問に答えなさい.   [380-00]
2
11点 部分点可
∠C=90°の直角三角形ABCと合同な三角形を,次の図のように並べます.四角形ABHGと四角形CDEFが正方形であることから,a2b2c2となることを証明しなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
c
四角形CDEFの面積を S とする.
四角形CDEFは正方形だから,
    S=(ab)2    ---①

また,四角形CDEFの面積は,4つの直角三角形と正方形ABHGに分けることができるから,
     1 
2
    ---②
 S=4×abc
  2 

① ② から,
    
2
 (ab)
 
 1 
2
 =4×abc
  2 
2
2
 a2abb
 
2
 =2abc
 
2
2
 ab
 
2
 =c
 
空欄に記入
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【解答例】
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3
次の問に答えなさい.
3
2点×4
(1) 次の長方形の対角線の長さを求めなさい.    [383-00]
 1
 
 3
 
対角線の長さをx とする.
    
2
2
2
 x=13=10
 
x>0 だから
    
 
10
 x=
 
(2) 2辺の長さが
 
5
の三角形があります.
 2cmcm
 
この三角形が直角三角形であるためには,残りの1辺の長さは,何cmであればよいですか.   [384-00]
残りの1辺の長さをx cm とする.
直角をはさむ2辺の長さが
 
5
のとき
 2cmcm
 
    
2
2
 
5
2
 x=2=9
 
x>0 だから
    
 x=3
 
   
斜辺の長さが
 
5
のとき
 cm
 
    
2
 
5
2
2
 x=2=1
 
x>0 だから
    
 x=1
 
(3) 1辺の長さが
 4
 
正三角形ABCの高さを求めなさい.   [390-00]
B
A
C
 h
 
 4
 
 2
 
    
2
2
2
 h=42=12
 
x>0 だから
    
 
3
 h=2
 
(4) xの値を求めなさい.   [392-00]
 4
 
 x
 
60°
    
 4x
 
 =12
 
 x
 
 =8
 
(1)
 
10
 
 
(2)
 3cm1cm
 
(3)
 
3
 2
 
(4)
 8
 
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【解答例】
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4
次の問に答えなさい.
4
3点×3
(1) 半径5cmの円があります.円Oの弦ABの長さが,8cmのとき,中心Oから弦ABまでの距離を求めなさい.   [393-00]
O
A
B
H
cm
 8
 
cm
 5
 
x
    
2
2
2
 AO=OHAH
 
OHを x とすると.
    
2
2
2
 x=54=9
 
x>0 だから
    
 x=3
 
(2) 1辺の長さが
 1
 
正三角形ABCの面積を求めなさい.   [391-00]
B
A
C
 1
 
 h
 
 1 
 
  2 
    
2
2
 1 
2
 3 
 h=1()=
  2  4 
h>0 だから  1 
 
3
 h=
  2 
面積
 S
 
 1  1 
 
3
 =×1×
  2  2 
 S
 
 1 
 
3
 =
  4 
(3) 次の座標を持つ2点の間の距離を求めなさい.   [394-01]
 A(−84)B(−510)
 
    
2
 AB
 
2
2
 ={−5(−8)}(104)
 
 
 
2
2
 =36
 
2
 AB
 
 =45
 
AB>0 だから
    
 
5
 AB=3
 
(1)
cm
 3
 
(2)
 1 
 
3
 
  4 
(3)
 
5
 3
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        5/11 ページ
5
次の問に答えなさい.
5
4点×2
(1) 次の図で,APは,Pを接点とする円Oの接線です.xの値を求めなさい.   [395-00]
A
P
O
 x
 
 2
 
 4
 
    
2
2
2
 x=42=12
 
x>0 だから
    
 
3
 x=2
 
(2) xの値を求めなさい.   [396-00]
A
45°
C
x
 6
 
B
H
30°
45°
60°
頂点BからACに垂線を引き,その交点をHとする.
△BCHは,30°,60°,90°の直角三角形だから,
 BH=3
 
△BAHは,45°,45°,90°の直角二等辺三角形だから,
 
2
 x=3
 

(1)
 
3
 2
 
(2)
 
2
 3
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        6/11 ページ
6
次の問に答えなさい.
6
4点×2
(1) xの値を求めなさい.   [397-10]
A
B
C
H
x
 
2
 6
 
 3
 
 3
 
直角三角形ABHについて,
    
2
 AH
 
 
2
2
2
 =(6)(33)
 
2
 AH
 
 =36
 
直角三角形ACHについて,
    
2
 x
 
2
2
 =3AH
 
2
 x
 
 =45
 
x>0 だから
    
 
5
 x=3
 

(2) xの値を求めなさい.   [397-20]
A
B
C
D
 3
 
x
 1
 
 4
 
H
 1
 
 3
 
頂点Dから BCに垂線を引き,その交点をHとする.
直角三角形DHCについて,
HC=BC-ADだから,
    
2
 x
 
2
2
 =DHHC
 
 
 
2
2
 =3(41)
 
2
 x
 
 =18
 
x>0 だから
    
 
2
 x=3
 

(1)
 
5
 3
 
(2)
 
2
 3
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        7/11 ページ
7
次の問に答えなさい.
7
3点×3
次の図は直方体です.次の問に答えなさい.   [3A0-00]
A
B
C
D
E
F
G
H


1.ACの長さを AB,BCを使って求めなさい.

△ABCの直角三角形から
    
2
2
2
        ---①
 AC=ABBC
 
AC>0 だから
    
 
2
2
ABBC
 AC=
 



2.AGの長さを AB,BC,CGを使って求めなさい.

△ACGに着目すると,∠ACG=90°だから
    
2
2
2
 AG=ACCG
 
①より
    
2
2
2
2
 AG=ABBCCG
 
AG>0 だから
    
 
2
2
2
ABBCCG
 AG=
 


3.AB=2cm ,BC=3cm ,CG=4cm のとき,AGの長さを求めなさい.
    
 AG
 
 
2
2
2
ABBCCG
 =
 
 AG
 
 
2
2
2
234
 =
 
 AG
 
 
29
 =
 
1
 
2
2
ABBC
 AC=
 
2
 
2
2
2
ABBCCG
 AG=
 
3
 
29
cm
 
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        8/11 ページ
8
次の問に答えなさい.
8
3点×3
正四角錐OABCDがあります.底面ABCDは,1辺が6cm の正方形で,他の辺の長さは,すべて6cm です.次の問に答えなさい.   [3A2-00]
A
B
C
D
O
H
6cm
6cm


1.AHの長さを求めなさい.
正方形ABCDの対角線ACの長さは,
    
 
2
 AC=AB
 
正方形ABCDの対角線は,中点で交わるから,AHの長さは
    
 AH
 
 1 
 =AC
  2 
 
 
 1 
 
2
 =AB
  2 
 
 
 1 
 
2
 =×6
  2 
 AH
 
 
2
 =3
 

2.OHの長さを求めなさい.
△OAHに着目すると,∠AHO=90°だから
    
2
 OH
 
2
2
 =OAAH
 
 
 
2
 
2
2
 =6(3)
 
 
 
 =18
 
OH>0 だから
    
 OH
 
 
18
 =
 
 
 
 
2
 =3
 

3.OABCDの体積を求めなさい.
正四角錐OABCDの体積をVとすると,
    
 V
 
 1 
2
 =ABOH
  3 
 
 
 1 
2
 
2
 =×6×3
  3 
 
 
 
2
 =36
 
1
 
 
2
cm
 3
 
2
 
 
2
cm
 3
 
3
 
 
2
cm3
 36
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        9/11 ページ
9
次の問に答えなさい.   [3A3-30]
9
9点 部分点可
底面が半径 2cm の円形で,高さが,6cm である円錐の表面積を求めなさい.
A
O
H
6cm
2cm

[OAの長さを求める]
    
2
 OA
 
2
2
 =OHAH
 
 
 
2
2
 =62
 
 
 
 =364
 
 
 
 =40
 
OH>0 だから
    
 
10
 OA=2
 

[円錐の側面積を求める]
右図は,この円錐の展開図です.

扇形OAPの面積(円錐の側面積)と Oを中心として半径OAの円Oの面積の比は,弧APと 円Oの円周の長さ の比に等しいので
    
 扇形OAP円O
 
 =弧AP円Oの円周の長さ
 
 扇形OAP
 
弧AP
    ---①
 =円O×
 
円Oの円周の長さ
弧APは,底面(円H)の円周の長さ と等しいので
    
2
    ---②
 弧AP=2πAH
 

①②より
    
 扇形OAP
 
2
2πAH
 =πOA×
 
2πOA
 
 
 =πOAAH
 
よって
    
 扇形OAP
 
 
10
 =π×2×2
 
 
 
 
10
 =4π
 

[円錐の表面積を求める]
円錐の表面積をSとすると,    S=側面積+底面積    だから,
    
 S
 
 
10
2
 =4ππ×2
 
 
 
 
10
 =4π4π
 
 
10
cm2
 4π4π
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        10/11 ページ
10
次の問に答えなさい.   [3A4-10]
10
9点 部分点可
次の図の直角三角形ABCを,直線 l のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めなさい.
A
l
B
C
7cm
3cm

[CBの長さ(円錐の高さ)を求める]
    
2
 CB
 
2
2
 =ACAB
 
 
 
2
2
 =73
 
 
 
 =499
 
 
 
 =40
 
AC>0 だから
    
 
10
 CB=2
 


[円錐の体積を求める]
円錐の体積をVとすると,
 1     だから
 V=×底面積×高さ
  3 
    
 V
 
 1 
2
 
10
 =×π×3×2
  3 
 V
 
 
10
 =6π
 

 
10
cm3
 6π
 
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【解答例】
定期試験対策テスト        11/11 ページ
11
次の問に答えなさい.   [3A4-00]
11
6点×2
次の図は,底面の1辺が,4cm,高さが,2cmの正四角柱です.頂点Aから頂点Eまで,糸を最短距離でかけます.次の問に答えなさい.
A
B
C
D
E
F
G
H


1.かけた糸を,下の展開図に描きなさい.
最短距離で糸をかけるから,展開図上では 直線になる.展開図上の点Pは,正四角柱における頂点Eです.また,展開図上の点Qは,正四角柱における頂点Aです.

2.糸の長さを求めなさい.

△APQに着目すると,∠AQP=90°だから
    
2
2
2
 AP=AQPQ
 
 AQ=4×4=16
 
 PQ=2
 
より
    
2
 AP
 
2
2
 =162
 
2
 AP
 
 =260
 
AP>0 だから
    
 
65
 AP=2
 
1 図に記入
2
 
 
65
cm
 2
 
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